Disequazioni goniometriche

Cos'è una disequazione goniometrica?

Una disequazione goniometrica è una disequazione con un'incognita nell' argomento di una funzione goniometrica.

Esempi di disequazioni goniometriche sono:

• $\cos(x)>0$
• $\sin^2(x) + 4\sin(x) + 1 < 0$
• $\cos(x) + x^2 + 3x + 5 < 0$

Mentre non sono disequazioni goniometriche le seguenti:

• $x^2 + 3x > 5$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; perché non appare alcuna funzione goniometrica
• $\cos(3)x + 17> 0$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; perché non appare l'incognita nell'argomento del coseno. Infatti $\cos(3)$ è solo una costante.
  
• $\cos(x) + x - \cos(x) >0$ &nbsp; perché i due coseni si semplificano e si tratta in realtà di una disequazione lineare.

Per vedere come risolverle, le divideremo negli stessi casi delle equazioni goniometriche.

Disequazioni goniometriche elementari

Iniziamo con le disequazioni dove abbiamo una funzione goniometrica da un lato e una costante dall'altra, per esempio:

$\displaystyle { \sin(x) > {1\over 2} }$

Queste disequazioni goniometriche sono dette elementari.

Il procedimento iniziale è uguale a quello delle equazioni goniometriche. Se non ve lo ricordate, vi consigliamo di andare a vedere la nostra lezione sulle equazioni goniometriche (clicca qui).

Alcune di queste disequazioni possono essere risolte immediatamente se ci ricordiamo i valori che possono assumere le funzioni trigonometriche.

Infatti, se troviamo una disequazione come:

$\displaystyle { \cos(x) > 7 }$

Possiamo subito dire che la disequazione è impossibile perché il coseno è sempre minore di $1$ e quindi non potrà mai essere maggiore di $7.$

Oppure possiamo incontrare qualcosa come:

$\displaystyle { \sin(x)> -2 }$

In questo caso la disequazione è sempre verificata, perché il seno è sempre maggiore di $-1$ e quindi sarà sempre maggiore anche di $-2$.

Nel caso generale, invece, dobbiamo seguire i seguenti step:

1. Tracciamo la circonferenza goniometrica.
2. Troviamo le intersezioni.
3. In base alla funzione e al segno della disequazione deduciamo quali sono le soluzioni.

Vediamo nella pratica come seguire questo procedimento risolvendo l'equazione che abbiamo introdotto ad inizio capitolo, ovvero $\sin(x)={1\over 2}$.

Per prima cosa, come per le equazioni goniometriche, tracciamo la retta $\displaystyle { y={1\over 2} }$ e vediamo quando interseca la circonferenza goniometrica:

Se alle intersezioni abbiamo l'uguaglianza, allora i valori sopra di esse saranno maggiori e quelli sotto saranno minori.

Dunque, in questo caso, le soluzioni alle disequazioni sono gli angoli corrispondenti ai punti della circonferenza sopra le intersezioni:

Troviamo quindi le intersezioni:

Per farlo risolviamo l'equazione:

$\displaystyle { \sin(x) = {1\over 2} }$

Sappiamo bene che le sue soluzioni sono:

$\displaystyle { x={\pi \over 6} + 2k\pi \vee x={5\pi \over 6}+2k\pi }$

I punti al di sopra sono quelli compresi tra le due soluzioni dell'equazione, dunque le soluzioni della disequazione saranno:

$\displaystyle { {\pi \over 6} + 2k\pi < x < {5\pi \over 6} + 2k\pi }$

Così, al variare di $\displaystyle { k }$ otteniamo tutti gli intervalli che verificano la disequazione.

Anche nelle disequazioni potrebbe essere necessario effettuare un sostituzione se l'argomento è troppo complicato.

Vediamo un esempio:

Risolviamo la disequazione:

$\displaystyle { \cos(4x+1)>{\sqrt{3}\over 2} }$

Imponiamo $\displaystyle { y=4x+1 }$ e sostituiamo:

$\displaystyle { \cos(y) > {\sqrt 3 \over 2} }$

Ora risolviamo la disequazione goniometrica elementare e dopo sostituiamo.

Le soluzioni dell'equazione sono:

$\displaystyle { y={\pi\over 6} + 2k\pi \vee y= -{\pi \over 6} + 2k\pi }$

Se con il seno dovevamo guardare ai valori più alti o più bassi, con il coseno dobbiamo guardare i valori a destra o a sinistra.

Le soluzioni delle disequazioni sono dunque:

$\displaystyle { -{\pi\over 6}+ 2k\pi < y < {\pi\over 6} + 2k\pi }$

Lasciamo i calcoli dell'equazione e della disequazione come esercizio.

Ora sostituiamo:

$\displaystyle { -{\pi\over 6}+ 2k\pi < 4x+1 < {\pi\over 6} + 2k\pi }$

Alcuni professori potrebbero chiedervi di mettere le due disequazioni a sistema, ma noi semplificheremo direttamente da questa notazione siccome si tratta di operazioni semplici:

$\displaystyle { -{\pi\over 6}+ 2k\pi -1 < 4x < {\pi\over 6} + 2k\pi - 1 }$

$\displaystyle { {-{\pi\over 6}+ 2k\pi-1 \over 4} < x < {{\pi\over 6} + 2k\pi-1\over 4} }$

Potrebbero capitarvi argomenti più complicati e nell'ultimo passaggio forse dovrete mettere le disequazioni a sistema, ma il procedimento è questo.

Disequazioni goniometriche di secondo grado

Per le disequazioni goniometriche di secondo grado del tipo:

$\displaystyle { a\sin^2(x) + b\sin(x) + c>0 }$

o con qualche altra funzione goniometrica al posto del seno, ci basterà sostituire $\displaystyle { y=\sin(x) }$ e risolvere l'equazione associata con la quale possiamo risolvere la disequazione.

Una volta risolta la disequazione per $\displaystyle { y }$ risostituiamo $\displaystyle { \sin(x) }$ ed isoliamo la $\displaystyle { x }$ . Vediamo un esempio:

Risolviamo la disequazione $2\sin^2(x) + 5\sin(x) -3 >0$.

Iniziando sostituendo la $y$ al posto di $\sin(x):$

$\displaystyle { 2y^2 + 5y -3 > 0 }$

Risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { 2y^2 + 5y -3 =0 }$

Le soluzioni sono:

$\displaystyle { y={1\over 2} \vee y=-3 }$

Il coefficiente di $\displaystyle { y^2 }$ è maggiore di $\displaystyle { 0 }$ , dunque la concavità della parabola associata è verso l'alto; infine il segno della disequazione è il maggiore, dunque le soluzioni della disequazione sono:

$\displaystyle { y< -3 \vee y> {1\over 2} }$

Quindi risostituiamo $\displaystyle { \sin(x) }$ ed otteniamo:

$\displaystyle { \sin(x) < -3 \vee \sin(x) > {1\over 2} }$

La prima disequazione è chiaramente impossibile perché $\displaystyle { \sin(x) }$ è sempre maggiore di $\displaystyle { -1 }$ .

La seconda disequazione, invece, è una disequazione goniometrica elementare che abbiamo risolto nel capitolo precedente, quindi sappiamo già che le sue soluzioni sono:

$\displaystyle { {\pi \over 6} + 2k\pi < x < {5\pi \over 6} + 2k\pi }$

Disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno

Potremmo trovare delle disequazioni del tipo:

$\displaystyle { a\sin(x) + b\cos(x) + c>0 }$

Esse vengono chiamate disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno.

"Lineari" perché non ci sono termini elevati a potenza e "in seno e coseno" perché appaiono solo queste due funzioni goniometriche.

Come nelle equazioni lineari in seno e coseno, possiamo usare le formule parametriche.

Supponendo che il denominatore sia diverso da $\displaystyle { 0 }$ , ovvero che $\displaystyle { x }$ sia diverso da $\displaystyle { {\pi \over 2} + k\pi }$ , possiamo sostituire ed ottenere:

$\displaystyle { a {2t \over 1 + t^2 } + b{1-t^2 \over 1 + t^2} + c >0 }$

Se non vi ricordate le formule parametriche, vi consigliate di andarle a vedere sulla nostra lezione sulle formule goniometriche (clicca qui). Adesso, portando tutto allo stesso denominatore, otteniamo:

$\displaystyle { {2at + b - bt^2 + c + ct^2 \over 1 + t^2 }>0 }$

$\displaystyle { t^2 }$ è un quadrato, dunque è sempre positivo. Di conseguenza, $\displaystyle { 1+t^2 }$ è sempre maggiore di $\displaystyle { 0 }$ e quindi possiamo semplificare il denominatore e raccogliere:

$\displaystyle { (c-b) t^2 + 2at + b+c >0 }$

Da qui basta risolvere la disequazione goniometrica di secondo grado.

Alternativamente, possiamo usare il fatto che:

$\displaystyle { a\sin(x) + b\cos(x) = r \sin(x+\alpha) }$

Dove $\displaystyle { r=\sqrt{a^2 + b^2} }$ e $\displaystyle { \tan(\alpha) = {a\over b} }$

Se riuscite a trovare $\displaystyle { \alpha }$ , tutto quello che dovete fare, poi, è risolvere la disequazione goniometrica riconducibile ad elementare tramite sostituzione che ottenete.