Seno e coseno

Le funzioni seno e coseno hanno entrambe periodo $2\pi,$ dunque ci basterà trovare il grafico tra $0$ e $2\pi$ e poi ripeterlo.

Il seno di $0$ è uguale a $0,$ quindi il suo grafico passa per l'origine.

Raggiunge il suo massimo a $\pi\over 2$ quando è uguale ad $1,$ torna ad essere $0$ quando arriviamo a $\pi,$ raggiunge il suo minimo a ${3\pi\over 2}$ quando vale $-1$ e a $2\pi$ completa il periodo tornando a $0:$

Inserendo altri punti notiamo che si muove come un onda:

Adesso che abbiamo trovato un periodo del grafico, ci basta ripeterlo per ottenere le altre parti:

Siccome $\cos(x) = \sin({\pi\over 2} -x),$ il grafico del coseno sarà uguale a quello seno ma traslato.

Il coseno, infatti, invece che partire da $0$ parte da $1:$

Inserendo altri punti otteniamo infatti:

Avendo completato il periodo, possiamo ripeterlo e disegnare le altre parti del grafico:

Notiamo che infatti, come abbiamo detto prima, si tratta del grafico di $\sin(x)$ traslato di ${\pi\over 2}$ a sinistra.

Tangente e cotangente

La tangente e la cotangente hanno come periodo $\pi.$ Quindi ci basterà fermarci a $\pi$ e ripetere quello che abbiamo trovato.

La tangente di $0$ è uguale a $0,$ dunque il suo grafico passa per l'origine.

Tende a $+\infty$ quando la $x$ tende a $\pi\over 2$ e poi salta a $-\infty$ per poi tornare a $0$ quando la $x$ vale $\pi,$ completando così il periodo:

Possiamo trovare le altre parti del grafico ripetendo il periodo:

Notiamo che quindi presenterà asintoti verticali a ${\pi\over 2} + 2k\pi$ dove $k$ è un qualsiasi numero intero.

La cotangente, invece, parte a $+\infty,$ arriva a $0$ quando la $x$ vale ${\pi\over 2}$ e tende a $-\infty$ quando la $x$ tende a $\pi:$

Ripetendo il periodo otteniamo:

Quindi la cotangente avrà asintoti verticali $x= \pi + 2k\pi$ dove $k$ è un qualsiasi numero intero.

Ampiezza, periodo e fase

Abbiamo visto che il seno e il coseno sono sempre compresi tra $1$ e $-1.$ Se però moltiplichiamo il tutto per $2,$ allora sarà compreso tra $2$ e $-2:$

Il coefficiente davanti al seno o al coseno ci dice quindi il massimo e il minimo della funzione e viene chiamato ampiezza.

Se quindi prendiamo la funzione $f(x)=5\sin(x),$ la sua ampiezza sarà $5$ e il suo grafico sarà:

Oltre a mettere un coefficiente davanti alla funzione, possiamo mettere un coefficiente davanti alla $x$ che sta nell'argomento.

Com'è il grafico, per esempio, di $\cos(2x)?$

L'argomento, essendo il doppio di $x,$ aumenterà il due volte più velocemente di $x,$ quindi ci metterà metà spazio per completare un periodo:

Se il coseno aveva come periodo $2\pi,$ il coseno di $2x$ avrà infatti periodo di $\pi.$

In generale, se abbiamo una funzione $y=\cos(wx),$ il suo periodo $T$ varrà ${2\pi\over w}:$

Possiamo poi aggiungere una costante. Per esempio potremmo avere $y=\cos(x) + 1.$ Per rappresentarla, ci basta alzare di $1$ tutto il grafico del coseno.

Infatti, l'equazione della funzione ci dice che per ogni $x$ calcoliamo il suo coseno e poi lo alziamo di $1.$

Il grafico di $\cos(x) + 1$ sarà quindi:

Infine, possiamo aggiungere una costante dentro l'argomento. Per esempio potremmo avere $\cos(x + {\pi\over 4}).$

In alcuni casi possiamo usare gli archi associati per ricondurlo ad una funzione più semplice, ma non sempre è possibile e spesso dobbiamo lasciare quella costante lì dentro, chiamata fase.

Cosa fa la fase al nostro grafico? Se chiamiamo la nostra fase $\phi$ (lettera greca che si leggere "phi" ("fi") che viene solitamente usata per indicare la fase), quello che noi stiamo facendo è mettere $x+\phi$ al posto della $x.$

Se vi ricordate, questo significa traslare a sinistra il grafico di $\phi$ unità.

Nel nostro caso, quindi, se il grafico di $\cos(x)$ era:

il grafico di $\cos(x + {\pi\over 4})$ sarà:

Se la costante che sommiamo è negativa, dovremo spostare il grafico verso destra. Quindi il grafico di $\cos(x-{\pi\over 4})$ sarà: