Equazioni goniometriche

Cos'è un'equazione goniometrica?

Un'equazione goniometrica è un'equazione dove l'incognita appare nell'argomento di una funzione goniometrica.

Esempi di equazioni goniometriche sono:

• $\cos(x)=1$
• $\sin(8x+2) + 3x= 9$
• $\sin^2 (x) + 4\sin(x) =0$
• $\tan(8t)\cdot \cos(t-1) +t = 28$

Mentre non sono equazioni goniometriche le seguenti:

• $8x=19$  -       perché non appare alcuna funzione goniometrica
• $x+ \cos(17) + 9=0$   -   perché non appare alcuna incognita nell'argomento della funzione goniometrica. $\cos(17)$ è infatti solo una costante.

Vediamo dei casi particolari di equazioni goniometriche più semplici

Equazioni goniometriche elementari

Iniziamo vedendo come risolvere le equazioni goniometriche elementari, ovvero equazioni dove da un lato abbiamo una funzione goniometrica e dall'altro una costante.

Esempi di equazioni goniometriche elementari sono:

• $\cos(x) = {1\over 2}$
• $\sin(x)=1$
• \tan(3x)={\sqrt{3]\over 3}

Alcune di queste equazioni posso essere risolte immediatamente se ci ricordiamo i valori che le funzioni goniometriche posso assumere.

Infatti, sia il seno che il coseno sono sempre compresi tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ . Perciò se troviamo un'equazione come:

$\displaystyle { \cos(x)=2 }$

sappiamo subito che è impossibile.

La tangente e la cotangente, invece, posso assumere qualsiasi valore, dunque non possiamo mai usare questo trucchetto con loro.

Infine, la secante e la cosecante sono sempre minori di $-1$ o maggiori di $1,$ quindi se troviamo un'equazione come $\sec(x)=0,$ sappiamo subito che è impossibile.

Supponendo quindi che possiamo risolvere l'equazione, come possiamo trovare le soluzioni?

Il modo più semplice è iniziare disegnando la circonferenza goniometrica:

Supponiamo di avere un'equazione del tipo

$\displaystyle { \sin(x)=a }$

Siccome $\displaystyle { \sin(x) }$ è l'ordinata (la y) del punto sulla circonferenza, ci basta trovare i punti sulla circonferenza con ordinata $\displaystyle { a }$ . Per fare ciò, tracciamo la retta $\displaystyle { y=a }$ e guardiamo alle intersezioni:

La retta intersecherà la circonferenza perché $\displaystyle { a }$ deve essere compreso tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ .

Le intersezioni daranno tutti i punti il cui seno vale $\displaystyle { a }$ , ovvero le soluzioni dell'equazione.

Come calcolarle però?

Per quanto riguarda trovare la soluzione nel primo o nel quarto quadrante, se si tratta di angoli ben noti, dovremmo già sapere quanto vale. Per trovare l'altra soluzione, poi, basterà usare gli archi associati.

Vediamo un esempio

Risolviamo l'equazione:

$\displaystyle { \sin(x)={1\over 2} }$

Sappiamo bene che l'angolo il cui seno vale $\displaystyle { 1\over 2 }$ è $\displaystyle { \pi \over 6 }$ :

Manca ancora l'altra soluzione. Per trovarla, usiamo gli archi associati : quale angolo ha lo stesso seno di $\displaystyle { {\pi \over 6}? }$ Deve trattarsi di $\displaystyle { \pi - {\pi\over 6} }$ che equivale a $\displaystyle { 5\pi \over 6. }$

Finito qua? No, perché dobbiamo ricordarci che la funzione seno, come anche la funzione coseno, è una funzione periodica con periodo pari a $\displaystyle { 2\pi }$ .

Dunque, se vado "avanti o indietro" di $\displaystyle { 2\pi }$ quante volte voglio, il valore del seno è sempre uguale.

Geometricamente, stiamo girando intorno al cerchio e ogni $\displaystyle { 2\pi }$ corrisponde a un giro completo e dunque si torna al punto di partenza:

Dunque, alle nostre due soluzioni dobbiamo aggiungere le infinite altre soluzioni che si ottengono facendo più giri, in senso orario o antiorario, del cerchio. Per fare questo, ci basta aggiungere multipli di $\displaystyle { 2\pi }$ . Quindi le soluzioni saranno:

$\displaystyle { x={\pi \over 6}+ 2k\pi \vee x={5\pi \over 6}+ 2k\pi }$

Dove $\displaystyle { k }$ è un numero intero. Quando $\displaystyle { k=0 }$ otteniamo le soluzioni principali e facendolo variare otteniamo tutte le altre.

Se però abbiamo una costante più complessa che non sappiamo ricollegare al seno di un angolo? Possiamo usare l'arcoseno , che ci darà la soluzione che si trova nel primo o nel quarto quadrante.

Come calcolare l'arcoseno? Basta usare la calcolatrice.

Se abbiamo un'equazione del tipo:

$\displaystyle { \cos(x)=a }$

Il procedimento è lo stesso, ma siccome il coseno rappresenta l'ascissa (la $\displaystyle { x }$ ) del punto sulla circonferenza, dovremo prendere la retta di equazione:

$\displaystyle { x=a }$

Se dobbiamo usare l'arcocoseno, ricordate che la calcolatrice vi darà la soluzione che si trova nel primo o nel secondo quadrante.

Per trovare l'altra soluzione, anche qui, ti basta usare gli archi associati. Infine, ricordateti di concludere aggiungendo i multipli di $\displaystyle { 2\pi }$ alle soluzioni.

Per la tangente e la cotangente il procedimento è quasi lo stesso. Infatti questa volta avremo solo una soluzione principale. La seconda è sempre uguale alla prima più $\displaystyle { \pi, }$ che coincide infatti con il periodo della tangente e della cotangente.

Quindi troveremo una sola soluzione a cui aggiungeremo multipli di $\displaystyle { \pi. }$

Vediamo un'esempio:

Risolviamo l'equazione:

$\displaystyle { \tan(x)=1 }$

Sappiamo bene che $\displaystyle { \tan({\pi \over 4})=1, }$ dunque la prima soluzione è $\displaystyle { \pi \over 4 }$ . Aggiungiamo multipli di $\displaystyle { \pi }$ per considerare anche tutte le altre infinite soluzioni ed otteniamo:

$\displaystyle { x={\pi \over 4} +k\pi }$

Se non riuscite a ricondurre la costante ad un valore noto della tangente o della cotangente, potete usare l'arcotangente o l'arcocotangente.

Per la secante e la cosecante, siccome hanno periodo pari a $\displaystyle { 2\pi }$ come il seno e il coseno, il procedimento è lo stesso.

Potreste però trovare equazioni dove la funzione goniometrica non ha come argomento $\displaystyle { x }$ ma una funzione di $\displaystyle { x }$ . Per esempio:

$\displaystyle { \cos(3x+1)=1 }$

Come risolverla? Possiamo effettuare una sostituzione. Ci basta chiamare l'argomento $\displaystyle { y }$ e sostituirlo. In questo caso avremo $\displaystyle { y=3x+1 }$ . In questo modo otteniamo la seguente equazione goniometrica elementare:

$\displaystyle { \cos(y)=1 }$

Che sappiamo risolvere. Le soluzioni sono infatti:

$\displaystyle { y=2k\pi }$

Fatto questo, sostituiamo e isoliamo la $\displaystyle { x }$ :

$\displaystyle { 3x+1 = 2k\pi }$

$\displaystyle { 3x = 2k\pi -1 }$

$\displaystyle { x={2k\pi -1 \over 3} }$

La sostituzione non era fondamentale, serve solo per semplificare la comprensione di quello che sta succedendo. Talvolta l'argomento può essere più complicato, ma il procedimento è lo stesso, può solo essere più complicato isolare la $\displaystyle { x }$ nell'ultimo passaggio.

Equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche elementari

Può capitare di trovare delle equazioni goniometriche elementari un po' camuffate. Ovvero, a prima vista non si nota facilmente, ma se guardiamo con attenzione possiamo scoprire che effettuando dei vari passaggi è possibile ricondurla a un'equazione goniometrica elementare.

Vediamo subito un esempio

Prendiamo l'equazione che abbiamo messo come esempio nella prima sezione:

$\displaystyle { \sin^2(x) + 4\sin(x) = 0 }$

Sembra tutt'altro che elementare. Se però raccogliamo $\displaystyle { \sin(x) }$ otteniamo:

$\displaystyle { \sin(x) (\sin(x) + 4)=0 }$

Per la legge dell'annullamento del prodotto, avremo che o:

$\displaystyle { \sin(x)=0 }$

che è un'equazione elementare, oppure:

$\displaystyle { \sin(x) +4=0 }$

che è un'altra equazione elementare. Le soluzioni della prima sono:

$\displaystyle { x=2k\pi }$

Mentre se riscriviamo la seconda equazione come:

$\displaystyle { \sin(x) = -4 }$

Notiamo che l'equazione è impossibile perché, come ben sappiamo, $\displaystyle { \sin(x) }$ è sempre compreso tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ e non può dunque essere uguale a $\displaystyle { -4. }$

Le uniche soluzioni sono dunque $\displaystyle { x = 2k\pi. }$

Potreste trovare equazioni di questo tipo più complicate, ma se conoscete bene le formule goniometriche saprete ricondurle ad equazioni elementari.

Equazioni goniometriche di secondo grado

Potremmo trovare equazioni goniometriche di secondo grado, ovvero equazioni goniometriche in cui compare un'incognita dentro una funzione goniometrica elevata al quadrato, come ad esempio:

$\displaystyle { \sin^2(x) + 3\sin(x) + 2 = 0 }$

In generale avranno la forma:

$\displaystyle { a\sin^2(x) + b\sin(x) + c=0 }$

o con qualche altra funzione goniometrica al posto di $\displaystyle { \sin(x). }$

Come risolverle? Possiamo applicare una sostituzione, come facevamo per le equazioni biquadratiche (clicca qui per approfondire).

Quindi imponiamo $\displaystyle { y=\sin(x) }$ e sostituiamo:

$\displaystyle { ay^2 + by + c=0 }$

Si tratta di una normale equazione di secondo grado che possiamo risolvere. Una volta fatto questo, risostituiamo e risolviamo per $\displaystyle { x }$ .

Risolviamo l'esempio di prima. Sostituendo otteniamo:

$\displaystyle { y+ 3y +2=0 }$

Notiamo che si tratta di un trinomio speciale fattorizzabile in:

$\displaystyle { (y+2)(y+1)=0 }$

Dunque, per la legge dell'annullamento del prodotto, avremo che o:

$\displaystyle { y+2=0 }$

oppure:

$\displaystyle { y+1=0 }$

Sostituendo, la prima equazione diventa:

$\displaystyle { \sin(x) +2=0 }$

ovvero

$\displaystyle { \sin(x)=-2 }$

che però è impossibile perché il seno di $\displaystyle { x }$ è compreso sempre tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ . La seconda equazione, invece, diventa:

$\displaystyle { \sin(x)+1=0 }$

ovvero

$\displaystyle { \sin(x)=-1 }$

che si tratta di un'equazione goniometrica elementare che possiamo risolvere ottenendo le seguenti soluzioni:

$\displaystyle { x={3\pi \over 2} + 2k\pi }$

Dove $\displaystyle { k }$ è un qualsiasi numero intero.

Se al posto di $\displaystyle { \sin(x) }$ troviamo qualche altra funzione goniometrica, il procedimento è lo stesso:

Prendiamo la funzione goniometrica, la chiamiamo $\displaystyle { y }$ , la sostituiamo, risolviamo l'equazione di secondo grado e infine risostituiamo.

Potrebbero però capitarvi equazioni più complicate, del tipo:

$\displaystyle { a\sin^2(x) + b \sin(x) \cos(x) }$ $\displaystyle { + c\cos^2(x) + d = }$ $\displaystyle { 0 }$

Per esempio potremmo avere:

$\displaystyle { \sin^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) }$ $\displaystyle { + 3\cos^2(x) = }$ $\displaystyle { 0 }$

Per risolverla, possiamo dividere l'equazione per $\displaystyle { \cos^2(x) }$ per trasformarla in un'equazione di secondo grado con solo la tangente di $\displaystyle { x }$ :

$\displaystyle { {\sin^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) + 3\cos^2(x) \over \cos^2(x)} }$ $\displaystyle { ={0 \over \cos^2(x)} }$

Semplificando otteniamo:

$\displaystyle { {\sin^2(x)\over \cos^2(x)} + {4\sin(x) \cos(x)\over \cos^2(x)} + {3\cos^2(x)\over \cos^2(x)}=0 }$

$\displaystyle { \tan^2(x) + 4\tan(x) + 3 =0 }$

E noi sappiamo risolvere questa equazione. Prima, però, abbiamo diviso per $\displaystyle { \cos^2(x) }$ , ma per farlo $\displaystyle { \cos^2(x) }$ deve essere diverso da $\displaystyle { 0 }$ (perché non si può dividere per 0), dunque vediamo cosa succede quando è uguale a $\displaystyle { 0 }$ .

Quando $\displaystyle { \cos(x)=0 }$ , sappiamo che il seno vale $\displaystyle { 1 }$ o $\displaystyle { -1 }$ ed in entrambi i casi otteniamo due equazioni non verificate. Dunque possiamo escludere i casi $\displaystyle { x={\pi\over 2} + k\pi }$ , che sono i valori per cui $\displaystyle { \cos(x)=0 }$ e passare a risolvere l'equazione di secondo grado:

Usando la formula risolutrice delle equazioni di secondo grado otteniamo:

$\displaystyle { \tan(x)= {-3 \pm \sqrt{2}\over 2} }$

Perciò le soluzioni saranno:

$\displaystyle { x=\arctan({-3\pm \sqrt{2}\over 2})+ k\pi }$

In questo caso avevamo messo $\displaystyle { d=0 }$ , ma se abbiamo qualche altro numero, dividendo per $\displaystyle { \cos^2(x) }$ otteniamo un termine con $\displaystyle { \sec^2(x) }$ e non è dunque tutto in $\displaystyle { \tan(x) }$ . Come risolvere il problema?

Possiamo moltiplicare $\displaystyle { d }$ per $\displaystyle { 1 }$ :

$\displaystyle { a\sin^2(x) }$ $\displaystyle { + b\sin(x)\cos(x) }$ $\displaystyle { + c\cos^2(x) + d\cdot 1 }$ $\displaystyle { =0 }$

Adesso sostituiamo $\displaystyle { \sin^2(x) + \cos^2(x) }$ al posto di $\displaystyle { 1 }$ perché la relazione fondamentale della goniometria ci dice che sono uguali:

$\displaystyle { a\sin^2(x) }$ $\displaystyle { + b\sin(x)\cos(x) }$ $\displaystyle { + c\cos^2(x) + d(\sin^2 (x) }$ $\displaystyle { + \cos^2(x)) }$ $\displaystyle { =0 }$

E riscrivendola riotteniamo la forma che sappiamo risolvere:

$\displaystyle { (a+d) \sin^2(x) }$ $\displaystyle { + b\sin(x)\cos(x) }$ $\displaystyle { + (c+d) \cos^2(x) }$ $\displaystyle { =0 }$

In questo modo sarete in grado di risolvere tutte le equazioni goniometriche di secondo grado.

Equazioni goniometriche lineari

Potremmo trovare equazioni in cui troviamo sia il coseno che il seno di $\displaystyle { x }$ . Se, in particolare, troviamo qualcosa del tipo:

$\displaystyle { a\sin(x) + b\cos(x) + c=0 }$

si tratta di un' equazione goniometrica lineare. Lineare perché sia il seno che il coseno vengono solo moltiplicati per uno scalare (un numero) e sommati. Non vengono né elevati a qualche potenza, né moltiplicati tra di loro.

Come risolverle? Possiamo usare le formule parametriche (clicca qui per ripassarle). Sappiamo infatti scrivere sia il seno che il coseno in funzione della tangente di metà dell'argomento, che chiamiamo $\displaystyle { t. }$ Ricordiamo che le formule parametriche del seno e del coseno sono:

Il seno e il coseno, espressi in questa forma, sono due frazioni con lo stesso denominatore, per questo è facile sommarle.

Vediamo un esempio.

Proviamo a risolvere l'equazione:

$\displaystyle { \sin(x) + 2\cos(x) -1 =0 }$

Prima di poter usare le formule parametriche, però, dobbiamo controllare che il denominatore crei problemi.

Siccome $\displaystyle { t^2 }$ è un quadrato, è sempre positivo. Dunque $\displaystyle { 1+t^2 }$ è sempre maggiore di $\displaystyle { 0 }$ e perciò è sempre diverso da $0.$

Quindi l'unico problema è se $\displaystyle { t }$ non è definita.

Questo avviene quando l'argomento è della forma $\displaystyle { {\pi \over 2} + k\pi }$ , ovvero quando $\displaystyle { x= \pi + 2k\pi }$ , cioè $\displaystyle { x= (2k+1)\pi }$ , perché ricordatevi che l'argomento di $\displaystyle { t }$ è $\displaystyle { {x\over 2}. }$

Cosa succede però se $\displaystyle { x }$ è uguale a questi valori?

Sostituiamo nell'equazione ed otteniamo:

$\displaystyle { \sin(2k\pi +\pi) }$ $\displaystyle { + 2\cos(2k\pi+ \pi) -1 =0 }$

Sommare multipli di $\displaystyle { 2\pi }$ all'argomento del coseno o del seno non cambia il risultato, dunque possiamo anche toglierli.

Semplificando otteniamo:

$\displaystyle { \sin(\pi) + 2\cos(\pi) -1 =0 }$

$\displaystyle { 0 -2 -1=0 }$

Che non è verificata. Dunque $\displaystyle { (2k+1)\pi }$ non sono delle soluzioni.

Tolti questi casi, possiamo quindi sostituire ed ottenere:

$\displaystyle { {2t\over 1+t^2} + 2{1-t^2 \over 1+t^2 }-1=0 }$

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

$\displaystyle { {2t + 2 - 2t^2 - 1-t^2 \over 1+t^2}=0 }$

Siccome il denominatore è diverso da $\displaystyle { 0 }$ , possiamo semplificarlo.

$\displaystyle { 2t+ 2 -2t^2 -1 -t^2 =0 }$

Semplifichiamo:

$\displaystyle { -3t^2 + 2t +1=0 }$

Le soluzioni sono:

$\displaystyle { t=1 }$

$\displaystyle { t=-{1\over 3} }$

La tangente è uguale a $\displaystyle { 1 }$ quando il suo argomento è uguale a $\displaystyle { {\pi\over 4}+ k\pi }$ , quindi avremo:

$\displaystyle { {x\over 2}= {\pi\over 4} + k\pi }$

$\displaystyle { x= {\pi\over 2} + 2k\pi }$

Per la seconda soluzione, invece, otteniamo:

$\displaystyle { t= {1\over 3} }$

Applichiamo l'arcotangente:

$\displaystyle { {x\over 2} = \arctan({1\over 3}) + k\pi }$

Non dimenticatevi di aggiungere i multipli di $\displaystyle { \pi }$ . Isoliamo quindi la $\displaystyle { x }$ per trovare le ultime soluzioni:

$\displaystyle { x= 2\arctan({1\over 3}) + 2k\pi }$

Ed ecco risolta l'equazione.

Esistono altri metodi per risolvere le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno. Se infatti vi capita qualcosa del tipo:

$\displaystyle { \sin(x) + \cos(x) + \sqrt2=0 }$

Notiamo che possiamo moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per $\displaystyle { \sqrt{2} \over 2 }$ :

$\displaystyle { {\sqrt{2}\over 2} \sin(x) + {\sqrt{2}\over 2} \cos (x) + {\sqrt{2}\over 2} \cdot \sqrt{2}=0 }$

Perché abbiamo moltiplicato per $\displaystyle { \sqrt{2} \over 2 }$ ? Perché equivale a sia a $\displaystyle { \sin({\pi \over 4}) }$ che a $\displaystyle { \cos({\pi \over 4}) }$ , dunque sostituendo e semplificando otteniamo:

$\displaystyle { \cos({\pi\over 4}) \sin (x) + \sin({\pi\over 4}) \cos(x) + 1 = 0 }$

Ricordiamoci ora la formula del seno di una somma:

$\displaystyle { \sin(\alpha + \beta) }$ $\displaystyle { = \cos(\alpha) \sin(\beta) }$ $\displaystyle { + \cos(\alpha) \sin(\beta) }$

Notiamo quindi che l'espressione nell'equazione equivale a $\displaystyle { \sin(x+{\pi\over 4}) }$ . Sostituendo otteniamo:

$\displaystyle { \sin(x+{\pi\over 4}) + 1=0 }$

Che si tratta di un'equazione goniometrica riconducibile ad una elementare tramite sostituzione, che dunque sappiamo bene come risolvere.

Il concetto, dunque, è di moltiplicare per un coefficiente un'espressione riconducibile al seno di una somma. In questo modo, dalla somma di due funzioni goniometriche, ne rimane solo una e possiamo risolvere l'equazione.

Può essere un po' complicato capire per quale numero moltiplicare e dipende dai coefficienti del seno e del coseno, però esercitandosi si cominciano a riconoscere alcuni dei casi più comuni.

In generale, si può usare la formula

$\displaystyle { a\sin(x) + b\cos(x) = r \sin(x+\alpha) }$

Dove $\displaystyle { r=\sqrt{a^2 + b^2} }$ e $\displaystyle { \tan(\alpha) = {a\over b} }$, anche se noi consigliamo di imparare il ragionamento piuttosto che la formula complicata.