Formule trigonometriche

Cosa sono le formule trigonometriche?

Abbiamo già incontrato molte volte le funzioni trigonometriche e sappiamo quindi che compaiono spesso nella risoluzione degli esercizi.

Le formule trigonometriche sono delle formule riguardanti le funzioni trigonometriche che cipermetteranno di semplificare molti problemi.

Iniziamo ripassando qualcosa che già sappiamo:

Abbiamo già dimostrato la seguente identità:

$\displaystyle { \cos^2(x) + \sin^2(x)=1 }$

La abbiamo già usata molte volte e sappiamo che si tratta dell' identità fondamentale della trigonometria.

Inoltre, abbiamo già visto gli archi associati (clicca qui per la lezione).

Se nell'argomento della funzione abbiamo qualcosa del tipo:

$\displaystyle { x + \pi }$

O comunque $\displaystyle { \pm x }$ a cui viene sottratto o sommato $\displaystyle { \pi, }$ $\displaystyle { \pi \over 2 }$ o $\displaystyle { 3\pi \over 2 }$ , sappiamo come semplificarlo.

Se però invece di questi $\displaystyle { 3 }$ numeri particolari volessi sommare un numero in generale, tipo $\displaystyle { 1 }$ ? Come faccio a semplificare qualcosa del tipo:

$\displaystyle { \cos(x+1) }$

Ci vengono in soccorso le formule di sommazione degli angoli:

Formule del coseno, seno e tangente di una somma o differenza

Iniziamo dal coseno. Se abbiamo il coseno di una somma, possiamo riscriverlo nel seguente modo:

$\cos(\alpha +\beta) = \cos(\alfa)\cos(\beta)-\sin(\alfa)\sin(\beta)

Ovvero il prodotto dei coseni dei due angoli meno il prodotto dei seni dei due angoli.

Se abbiamo il coseno di una somma, possiamo usare un trucchetto per ricondurlo al caso di prima.

Se infatti ho $\cos(\alpha -\beta),$ posso vedere la differenza $\alpha - \beta$ come $\alpha + (-\beta),$ cioè la somma tra $\alpha$ e $-\beta.$

Applicano la formula di prima otteniamo:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha + (-\beta))$$=\cos(\alfa)\cos(-\beta)-\sin(\alfa)\sin(-\beta)$

Ricordandoci che $\cos(-x)=\cos(x)$ e che $\sin(-x)=-\sin(x),$ otteniamo la formula finale:

$\cos(\alpha -\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Notiamo che è la stessa formula di prima ma con un segno cambiato. Possiamo dunque riscrive le due formule in maniera compatta nella seguente formula:

In questo contesto quei simboli significano che se scelgo di prendere il $+$ nel primo $\pm,$ allora prendo il meno nel secondo $\mp$ (ottenendo la formula del coseno di una somma), mentre se nel primo $\pm$ scelgo il $-,$ allora continuo a prendere i segni sotto e al $\mp$ devo prendere il $+$ (ottenendo così la formula del coseno di una differenza).

Ricapitolando, il coseno di un somma è uguale al prodotto dei singoli coseni meno il prodotto dei seni, mentre per la differenza basta cambiare i segni.

Fai attenzione, quindi, a ricordati che se nel coseno avete $\displaystyle { + }$ , dovrete sottrarre i due prodotti, mentre se avete $\displaystyle { - }$ dovrete sommarli.

Vediamo un esempio:

Prendiamo il coseno di prima:

$\displaystyle { \cos(x+1) }$

Esso si semplificherà in:

$\displaystyle { \cos(x+1)= }$ $\displaystyle { \cos(x)\cos(1) - \sin(x)\sin(1) }$

Non sembra molto meglio di prima, però ricordatevi che $\displaystyle { \cos(1) }$ è solo una costante che possiamo calcolare usando la calcolatrice.

Passiamo quindi al seno. Questa volta dobbiamo alternare coseno e seno, ma il segno ora rimane lo stesso:

$\displaystyle { \sin(\alpha \pm \beta)= }$ $\displaystyle { \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta) }$

Vediamo un esempio, proviamo a semplificare $\displaystyle { \sin(x+3y): }$

$\displaystyle { \sin(x+3y)= }$ $\displaystyle { \sin(x)\cos(3y) + \cos(x)\sin(3y) }$

Anche questa volta non sembra molto più semplice della forma iniziale, però in molti problemi può permetterci di semplificare dei calcoli.

Inoltre, possiamo anche usarla all'inverso. Se troviamo qualcosa del tipo $\displaystyle { \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) }$ sappiamo che sarà uguale a $\displaystyle { \sin(\alpha + \beta). }$

Passiamo infine alla tangente:

$\displaystyle { \tan(\alpha \pm \beta) = {\tan(\alpha) \pm \tan(\beta) \over 1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} }$

Questa è senza dubbio la più complicata delle tre.

Al numeratore sommiamo o sottraiamo le singole tangenti lasciando lo stesso segno. Al denominatore invece, aggiungiamo ad $\displaystyle { 1 }$ il prodotto delle tangenti con segno invertito.

Vediamo un esempio:

Espandiamo $\displaystyle { \tan(2x-3): }$

$\displaystyle { \tan(2x-3)={\tan(2x)- \tan(3) \over 1 + \tan(2x)\tan(3)} }$

Ricordatevi quindi che se abbiamo una somma, sommiamo sopra e sottraiamo sotto, mentre se abbiamo una differenza, sottraiamo sopra e sommiamo sotto.

Per quanto potranno sembrare complicate, con il tempo vi risulteranno utili in tante occasioni.

Una di queste è come trovare la formula di duplicazione:

Formula di duplicazione

Spesso può capitare di avere $\displaystyle { 2x }$ invece che $\displaystyle { x }$ come argomento, come possiamo semplificarla?

Ricordandoci che $\displaystyle { 2x = x + x }$ , possiamo usare le formule delle funzioni trigonometriche di una somma.

Iniziamo dal coseno:

$\displaystyle { \cos(2x)= \cos(x+x)= }$ $\displaystyle { \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x)= }$ $\displaystyle { \cos^2(x)- \sin^2(x) }$

Per il seno invece abbiamo:

$\displaystyle { \sin(2x)= }$ $\displaystyle { \sin(x+x)= }$ $\displaystyle { \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) = }$ $\displaystyle { 2\sin(x) \cos(x) }$

Infine per la tangente abbiamo:

$\displaystyle { \tan(2x)= }$ $\displaystyle { \tan(x+x)= }$ $\displaystyle { {\tan(x)+ \tan(x)\over 1- \tan(x)\tan(x)}= }$ $\displaystyle { {2\tan(x)\over 1-\tan^2 (x)} }$

Queste formule possono essere veramente utili.

Ad esempio, vi ricordate che la gittata del moto di un proiettile sparato da terra è uguale a:

$\displaystyle { G= {v^2 \cdot 2\sin(\theta)\cos(\theta)\over g} }$

dove $\displaystyle { \theta }$ è l'angolo del lancio rispetto al suolo? Vi ricordate tutti quei calcoli lunghi per dimostrare che la gittata massima si ha quando $\displaystyle { \theta = {\pi \over 4}? }$

Se notiamo che $\displaystyle { \sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta), }$ sostituendo otteniamo:

$\displaystyle { G={v^2 \sin(2\theta)\over g} }$

Siccome nella nostra domanda $\displaystyle { v }$ e $\displaystyle { g }$ rimangono costanti, ci basta trovare quando $\displaystyle { \sin(2\theta) }$ raggiunge il suo massimo, ma sappiamo che questo avviene quando $\displaystyle { 2\theta = {\pi \over 2}, }$ quindi $\displaystyle { \theta = {\pi \over 4}. }$

Questo è solo un esempio di come le formule di duplicazione possano aiutarci.

Formule parametriche con la tangente

Spesso può essere utile esprimere il coseno o il seno di un angolo usando la loro tangente. In realtà, risulta più comodo esprimerli in funzione della tangente di metà dell'angolo ( $\displaystyle { \tan({x\over 2}) }$ ).

Partiamo dal seno:

$\displaystyle { \sin(x) = {2\tan({x\over 2})\over 1 + \tan^2({x\over 2})} }$

Per semplificare, chiamiamo $\displaystyle { \tan({x\over 2}) }$ come $\displaystyle { t }$ :

$\displaystyle { \sin(x)={2t\over 1+t^2} }$

Per il coseno invece abbiamo:

$\displaystyle { \cos(x)={1-t^2 \over 1+t^2} }$

Notate che in questa forma il seno e il coseno hanno lo stesso denominatore, quindi sarà relativamente facile sommarli quando li esprimiamo in questa forma.

Siccome stiamo esprimendo tutto in funzione della tangente di metà di $\displaystyle { x }$ , possiamo esprimere anche la tangente in funzione di essa usando la formula di duplicazione:

$\displaystyle { \tan(x)= {2t \over 1-t^2} }$

Formule di bisezione

Abbiamo appena incontrato $\displaystyle { \tan({x\over 2}) }$ , quindi vi potreste star domandando se, come esiste una formula di duplicazione, esista una formula di bisezione.

Esiste e per il seno equivale a:

$\displaystyle { \sin({x\over 2}) = \pm \sqrt{1-\cos{x}\over 2} }$

Purtroppo, dovrete fare un extra step e guardare in qualche quadrante si trova $\displaystyle { \sin({x\over 2}) }$ per decidere se mettere il più o il meno. Infatti non sono entrambe due soluzioni, ma solo una delle due lo è.

Per il coseno invece abbiamo:

$\displaystyle { \cos({x\over 2})=\pm \sqrt{1+\cos{x}\over 2} }$

Anche qui, per il $\displaystyle { \pm }$ , vi toccherà scoprire quale dei due mettere.

Per la tangente, ricordando che $\displaystyle { \tan(x) = {\sin(x)\over \cos(x)}, }$ otteniamo:

$\displaystyle { \tan({x\over 2}) = \pm \sqrt{1-\cos(x)\over 1 + \cos(x)} }$

Anche qui dovrete decidere se mettere il più o il meno a seconda del vostro angolo.

Formule di Werner

Le formule di Werner ci permettono di fare il contrario delle formule della somma degli angoli, cioè esprimono il prodotto di funzione trigonometriche come le funzioni trigonometriche di somme.

Vediamo esattamente cosa dicono:

$\displaystyle { \sin(\alpha)\sin(\beta) = {\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \over 2} }$

E' un po' complicata, ma ci permette di fare quello che volevamo. Per il prodotto di due coseni, invece, abbiamo:

$\displaystyle { \cos(\alpha)\cos(\beta)={\cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta)\over 2} }$

E' la stessa formula ma invece che fare la differenza fra i due coseni, li sommiamo. Infine, per il prodotto tra un seno e un coseno abbiamo:

$\displaystyle { \sin(\alpha) \cos(\beta) = {\sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha+ \beta)\over 2} }$

È la stessa formula di prima ma invece che il coseno abbiamo il seno.

Formule di prostaferesi

Concludiamo con le formule di prostaferesi, che ci permettono di tramutare la somma delle funzioni in prodotti.

Vediamo la somma di due seni:

$\displaystyle { \sin(\alpha) + \sin(\beta) = }$ $\displaystyle { 2 \sin({\alpha + \beta \over 2}) \cos({\alpha - \beta \over 2}) }$

Non è semplicissima ma dobbiamo accontentarci. Per la differenza di due seni, invece, abbiamo:

$\displaystyle { \sin(\alpha) - \sin(\beta) = }$ $\displaystyle { 2 \cos({\alpha + \beta \over 2}) \sin ({\alpha - \beta \over 2}) }$

Abbiamo solo invertito il seno col coseno.

Per la somma di due coseni invece abbiamo:

$\displaystyle { \cos(\alpha) + \cos(\beta) = }$ $\displaystyle { 2\cos({\alpha + \beta \over 2})\cos({\alpha -\beta \over 2}) }$

Per la differenza di due coseni, infine, abbiamo:

$\displaystyle { cos(\alpha) - \cos(\beta) = }$ $\displaystyle { - 2 \sin({\alpha + \beta \over 2}) \sin ({\alpha - \beta \over 2}) }$

Per ricordarle meglio, notate che gli argomenti sono sempre gli stessi. Fate attenzione al $\displaystyle { - }$ che appare in quest'ultima formula.

Concludiamo rispondendo ad un'ultima domanda: ma tutte queste formule, dovete davvero impararle tutte a memoria?

Le prime formule che abbiamo visto non sono troppo difficili da imparare, mentre le ultime sembrano troppo difficili.

Capita a quasi tutti di dover andare a rivedere ogni tanto queste formule, però facendo tanti esercizi in cui vengono usate, a forza di usarle, almeno le più importanti, le imparerete a memoria senza troppa difficoltà.

Finiamo ricordandovi che la matematica non è fatta di formule da imparare a memoria, ma da ragionamenti logici. Dunque, più che sapere tutte le formule a memoria, è più importante sapere il loro significato, cosa ti permettono di fare e perché sono vere.