Funzioni goniometriche

Cosa sono?

Avevamo già incontrato le funzioni trigonometriche definendole usando i triangoli rettangoli. In realtà, conviene studiarle utilizzando una circonferenza di raggio $\displaystyle { 1 }$ , con la quale potremo anche definire altre funzioni goniometriche.

Disegnamo quindi questa circonferenza incentrata nell'origine e con raggio $\displaystyle { 1 }$ , che chiameremo circonferenza goniometrica:

Prendiamo ora un punto su questa circonferenza:

Tracciamo le perpendicolari da quel punto all'asse delle $\displaystyle { x }$ :

Per la definizione del coseno, essendo $\displaystyle { \overset{\triangle}{PHO} }$ un triangolo rettangolo, se chiamiamo $\displaystyle { \alpha }$ l'angolo $\displaystyle { H\hat{O}P, }$ dobbiamo avere:

$\displaystyle { \cos(\alpha) = {OH\over OP} }$

e per la definizione del seno dovremo avere:

$\displaystyle { \sin(\alpha) = {PH\over OP} }$

Notiamo quindi che il segmento $\displaystyle { OP }$ è un raggio e, per costruzione, la circonferenza ha raggio $\displaystyle { 1, }$ dunque $\displaystyle { OP }$ è lungo $\displaystyle { 1. }$

Per questo, i rapporti delle formule di prima varranno, rispettivamente, la lunghezza di $\displaystyle { OH }$ e la lunghezza di $\displaystyle { PH. }$

State però attenti a non dire che il coseno e il seno sono quei due segmenti. Il seno e il coseno sono definiti come rapporti tra segmenti.

Poi il loro valore è uguale alla lunghezza di quei segmenti, ma ricordatevi che sono rapporti tra segmenti.

Cosa sono, però, la lunghezza di $\displaystyle { PH }$ e $\displaystyle { OH? }$ Sono l'ordinata e l'ascissa del punto $\displaystyle { P! }$

Quindi, il punto $\displaystyle { P }$ avrà coordinate $\displaystyle { (\cos(\alpha) ; \sin(\alpha)): }$

Quando facciamo il rapporto tra segmenti, dobbiamo prendere le loro lunghezze orientate, perciò otterremo dei valori del coseno e del seno negativi se le coordinate del punto sono negative:

Nel grafico qui sopra, entrambe le coordinate di $\displaystyle { T }$ sono negative, per questo il coseno e il seno di $\displaystyle { \beta }$ saranno entrambi negativi.

Quindi, il coseno sarà negativo quando la $\displaystyle { x }$ del punto è negativa, ovvero nel secondo e terzo quadrante:

Mentre il seno sarà negativo quando la $\displaystyle { y }$ del punto sarà negativa, cioè nel terzo e nel quarto quadrante:

Ora possiamo dimostrare le cinque relazioni fondamentali della goniometria e definire le altre funzioni goniometriche:

Le cinque relazioni fondamentali della goniometria e le altre funzioni goniometriche

La prima relazione fondamentale già la conoscete benissimo. Essa dice che:

La seconda relazione fondamentale più o meno già la conoscete, ma c'è comunque da aggiungere molto da dire. Essa riguarda la funzione tangente, quindi iniziamo definendola:

Prendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta $\displaystyle { x=1, }$ che sarà tangente alla circonferenza nel punto $\displaystyle { (0;1): }$

Ora prendiamo un punto $\displaystyle { P }$ sulla circonferenza goniometrica:

Tracciamo il raggio che congiunge il punto $\displaystyle { P }$ e tracciamo la retta che lo contiene:

Questa nuova retta intersecherà la retta tangente in un punto $\displaystyle { T. }$ Chiamiamo poi $\displaystyle { S }$ il punto di tangenza $\displaystyle { (1;0). }$

Definiamo la tangente dell'angolo $\displaystyle { \alpha }$ come il rapporto tra i segmenti $\displaystyle { TS }$ e $\displaystyle { OS: }$

$\displaystyle { \tan(\alpha) = {TS\over OS} }$

Notiamo che $\displaystyle { OS }$ è un raggio della circonferenza goniometrica, dunque la sua lunghezza dovrà essere uguale ad $\displaystyle { 1. }$ La lunghezza orientata di $\displaystyle { TS }$ è uguale all'ordinata di $\displaystyle { T, }$ dunque la tangente è uguale alla $\displaystyle { y }$ di $\displaystyle { T. }$

Adesso, però, tracciamo la proiezione di $\displaystyle { P }$ sull'asse delle $\displaystyle { x: }$

I triangoli $\displaystyle { \overset{\triangle}{TSO} }$ e $\displaystyle { \overset{\triangle}{PHO} }$ sono due triangoli simili, dunque dobbiamo avere:

$\displaystyle { {TS\over OS} = {PH\over OH} }$

Possiamo riscrivere $\displaystyle { PH\over OH }$ come:

$\displaystyle { {PH\over OH} = {PH \over OH} \cdot {{1\over OP}\over {1\over OP}}= }$ $\displaystyle { {{PH\over OP}\over {OH\over OP}} }$

Ricordiamo poi che avevamo definito le funzioni seno e coseno come:

$\displaystyle { \sin(\alpha) = {PH\over OP} }$

$\displaystyle { \cos(\alpha) = {OH\over OP} }$

Dunque avremo:

$\displaystyle { {{PH\over OP}\over {OH\over OP}} = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)} }$

Quindi:

$\displaystyle { \tan(\alpha) = {TS\over OS} = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)} }$

$\displaystyle { \tan(\alpha) = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)} }$

Cioè, la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.

Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria.

Definiamo ora un'altra funzione goniometrica: la cotangente.

Per farlo, prendiamo sempre la circonferenza goniometrica, ma questa volta invece che prendere la retta tangente al punto $\displaystyle { (1;0), }$ prendiamo quella tangente al punto $\displaystyle { (0;1). }$

Facciamo lo stesso procedimento di prima ma con questa retta orizzontale invece che quella verticale:

Definiamo quindi la cotangente di alfa come il rapporto tra i segmenti $\displaystyle { TS }$ e $\displaystyle { OS: }$

$\displaystyle { \cot(\alpha) = {TS\over OS} }$

Tracciamo ora la proiezione di $\displaystyle { P }$ sugli assi cartesiani:

Notiamo che i triangoli $\displaystyle { \overset{\triangle}{TSO} }$ e $\displaystyle { \overset{\triangle}{PKO} }$ e dunque dobbiamo avere:

$\displaystyle { {TS\over OS}= {PK\over KO} }$

Siccome poi $\displaystyle { PK = OH }$ e $\displaystyle { KO = PH, }$ dovremo avere:

$\displaystyle { {TS\over OS}= {HO\over PH} }$

Adesso, come prima, possiamo moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per $\displaystyle { {1\over OP}, }$ ottenendo:

$\displaystyle { {TS\over OS} = {{HO\over OP}\over {PH\over OP}} }$

Per definizione, abbiamo:

$\displaystyle { {HO\over OP} = \cos(\alpha) }$

$\displaystyle { {PH\over OP} = \sin(\alpha) }$

Quindi:

$\displaystyle { {TS\over OS} = {\cos(\alpha)\over \sin(\alpha)} }$

$\displaystyle { \cot(\alpha) = {\cos(\alpha)\over \sin(\alpha)} }$

La cotangente di alfa è uguale al coseno di alfa fratto il seno di alfa, cioè è il reciproco della tangente:

$\displaystyle { \cot(\alpha) = {1\over \tan(\alpha)} }$

Questa era la terza relazione fondamentale della goniometria.

Per passare alla quarta, dobbiamo prima definire la funzione secante:

Prendiamo come sempre la circonferenza goniometrica e la retta tangente ad essa nel punto $\displaystyle { (1;0): }$

Effettuiamo lo stesso procedimento per la tangente:

Definiamo quindi la secante di alfa come il rapporto tra i segmenti $\displaystyle { OT }$ e $\displaystyle { OS: }$

$\displaystyle { \sec(\alpha) = {OT\over OS} }$

Notiamo che i triangoli $\displaystyle { \overset{\triangle}{TSO} }$ e $\displaystyle { \overset{\triangle}{PHO} }$ sono due triangoli simili e dunque dobbiamo avere:

$\displaystyle { {OT\over OS} = {OP\over OH} }$

Possiamo riscrivere $\displaystyle { OP\over OH }$ come $\displaystyle { {1\over {OH \over OP}}. }$ Siccome per definizione abbiamo $\displaystyle { \cos(\alpha) = {OH\over OP}, }$ avremo:

$\displaystyle { {OT\over OS} = {1\over \cos(\alpha)} }$

$\displaystyle { \sec(\alpha) = {1\over \cos(\alpha)} }$

Cioè la secante è il reciproco del coseno. Questa era la quarta relazione fondamentale della goniometria.

Per l'ultima relazione, dobbiamo prima definire la cosecante:

Effettuiamo lo stesso procedimento fatto per definire la cotangente:

Prendiamo la circonferenza goniometrica e la retta ad essa tangente nel punto $\displaystyle { (0;1): }$

Definiamo la cosecante di alfa come il rapporto tra i segmenti $\displaystyle { OT }$ e $\displaystyle { OS: }$

$\displaystyle { \csc(\alpha) = {OT\over OS} }$

Notiamo di nuovo che i triangoli $\displaystyle { \overset{\triangle}{TSO} }$ e $\displaystyle { \overset{\triangle}{PKO} }$ e dunque dovremo avere:

$\displaystyle { {OT\over OS} = {OP \over OK} }$

Siccome $\displaystyle { OK = PH, }$ possiamo riscrivere $\displaystyle { {OP\over OK} }$ come $\displaystyle { OP\over PH }$ che a sua volta possiamo riscrivere come $\displaystyle { 1\over {PH\over OP} }$ e per definizione abbiamo $\displaystyle { \sin(\alpha) = {PH\over OP}, }$ quindi:

$\displaystyle { {OT\over OS} = {1\over \sin(\alpha)} }$

$\displaystyle { \csc(\alpha) = {1\over \sin(\alpha)} }$

Cioè la cosecante è uguale al reciproco del seno.

Questa era l'ultima delle cinque relazioni fondamentali della goniometria, che dunque ricordiamo essere:

• $\displaystyle { \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 }$

• $\displaystyle { \tan(\alpha) = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)} }$

• $\displaystyle { \cot(\alpha) = {\cos(\alpha) \over \sin(\alpha)} }$

• $\displaystyle { \sec(\alpha) = {1\over \cos(\alpha)} }$

• $\displaystyle { \csc(\alpha) = {1\over \sin(\alpha)} }$