Cosa sono?

Avevamo già incontrato le funzioni trigonometriche definendole usando i triangoli rettangoli. In realtà, conviene studiarle utilizzando una circonferenza di raggio $1$ , con la quale potremo anche definire altre funzioni goniometriche.

Disegnamo quindi questa circonferenza incentrata nell'origine e con raggio $1$ , che chiameremo circonferenza goniometrica:

Prendiamo ora un punto su questa circonferenza:

Tracciamo le perpendicolari da quel punto all'asse delle $x$ :

Per la definizione del coseno, essendo $\overset{\triangle}{PHO}$ un triangolo rettangolo, se chiamiamo $\alpha$ l'angolo $H\hat{O}P,$ dobbiamo avere:

$\cos(\alpha) = {OH\over OP}$

e per la definizione del seno dovremo avere:

$\sin(\alpha) = {PH\over OP}$

Notiamo quindi che il segmento $OP$ è un raggio e, per costruzione, la circonferenza ha raggio $1,$ dunque $OP$ è lungo $1.$

Per questo, i rapporti delle formule di prima varranno, rispettivamente, la lunghezza di $OH$ e la lunghezza di $PH.$

State però attenti a non dire che il coseno e il seno sono quei due segmenti. Il seno e il coseno sono definiti come rapporti tra segmenti.

Poi il loro valore è uguale alla lunghezza di quei segmenti, ma ricordatevi che sono rapporti tra segmenti.

Cosa sono, però, la lunghezza di $PH$ e $OH?$ Sono l'ordinata e l'ascissa del punto $P!$

Quindi, il punto $P$ avrà coordinate $(\cos(\alpha) ; \sin(\alpha)):$

Quando facciamo il rapporto tra segmenti, dobbiamo prendere le loro lunghezze orientate, perciò otterremo dei valori del coseno e del seno negativi se le coordinate del punto sono negative:

Nel grafico qui sopra, entrambe le coordinate di $T$ sono negative, per questo il coseno e il seno di $\beta$ saranno entrambi negativi.

Quindi, il coseno sarà negativo quando la $x$ del punto è negativa, ovvero nel secondo e terzo quadrante:

Mentre il seno sarà negativo quando la $y$ del punto sarà negativa, cioè nel terzo e nel quarto quadrante:

Ora possiamo dimostrare le cinque relazioni fondamentali della goniometria e definire le altre funzioni goniometriche:

Le cinque relazioni fondamentali della goniometria e le altre funzioni goniometriche

La prima relazione fondamentale già la conoscete benissimo. Essa dice che:

La seconda relazione fondamentale più o meno già la conoscete, ma c'è comunque da aggiungere molto da dire. Essa riguarda la funzione tangente, quindi iniziamo definendola:

Prendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta $x=1,$ che sarà tangente alla circonferenza nel punto $(0;1):$

Ora prendiamo un punto $P$ sulla circonferenza goniometrica:

Tracciamo il raggio che congiunge il punto $P$ e tracciamo la retta che lo contiene:

Questa nuova retta intersecherà la retta tangente in un punto $T.$ Chiamiamo poi $S$ il punto di tangenza $(1;0).$

Definiamo la tangente dell'angolo $\alpha$ come il rapporto tra i segmenti $TS$ e $OS:$

$\tan(\alpha) = {TS\over OS}$

Notiamo che $OS$ è un raggio della circonferenza goniometrica, dunque la sua lunghezza dovrà essere uguale ad $1.$ La lunghezza orientata di $TS$ è uguale all'ordinata di $T,$ dunque la tangente è uguale alla $y$ di $T.$

Adesso, però, tracciamo la proiezione di $P$ sull'asse delle $x:$

I triangoli $\overset{\triangle}{TSO}$ e $\overset{\triangle}{PHO}$ sono due triangoli simili, dunque dobbiamo avere:

${TS\over OS} = {PH\over OH}$

Possiamo riscrivere $PH\over OH$ come:

${PH\over OH} = {PH \over OH} \cdot {{1\over OP}\over {1\over OP}}=$ ${{PH\over OP}\over {OH\over OP}}$

Ricordiamo poi che avevamo definito le funzioni seno e coseno come:

$\sin(\alpha) = {PH\over OP}$

$\cos(\alpha) = {OH\over OP}$

Dunque avremo:

${{PH\over OP}\over {OH\over OP}} = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)}$

Quindi:

$\tan(\alpha) = {TS\over OS} = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)}$

$\tan(\alpha) = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)}$

Cioè, la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.

Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria.

Definiamo ora un'altra funzione goniometrica: la cotangente.

Per farlo, prendiamo sempre la circonferenza goniometrica, ma questa volta invece che prendere la retta tangente al punto $(1;0),$ prendiamo quella tangente al punto $(0;1).$

Facciamo lo stesso procedimento di prima ma con questa retta orizzontale invece che quella verticale:

Definiamo quindi la cotangente di alfa come il rapporto tra i segmenti $TS$ e $OS:$

$\cot(\alpha) = {TS\over OS}$

Tracciamo ora la proiezione di $P$ sugli assi cartesiani:

Notiamo che i triangoli $\overset{\triangle}{TSO}$ e $\overset{\triangle}{PKO}$ e dunque dobbiamo avere:

${TS\over OS}= {PK\over KO}$

Siccome poi $PK = OH$ e $KO = PH,$ dovremo avere:

${TS\over OS}= {HO\over PH}$

Adesso, come prima, possiamo moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per ${1\over OP},$ ottenendo:

${TS\over OS} = {{HO\over OP}\over {PH\over OP}}$

Per definizione, abbiamo:

${HO\over OP} = \cos(\alpha)$

${PH\over OP} = \sin(\alpha)$

Quindi:

${TS\over OS} = {\cos(\alpha)\over \sin(\alpha)}$

$\cot(\alpha) = {\cos(\alpha)\over \sin(\alpha)}$

La cotangente di alfa è uguale al coseno di alfa fratto il seno di alfa, cioè è il reciproco della tangente:

$\cot(\alpha) = {1\over \tan(\alpha)}$

Questa era la terza relazione fondamentale della goniometria.

Per passare alla quarta, dobbiamo prima definire la funzione secante:

Prendiamo come sempre la circonferenza goniometrica e la retta tangente ad essa nel punto $(1;0):$

Effettuiamo lo stesso procedimento per la tangente:

Definiamo quindi la secante di alfa come il rapporto tra i segmenti $OT$ e $OS:$

$\sec(\alpha) = {OT\over OS}$

Notiamo che i triangoli $\overset{\triangle}{TSO}$ e $\overset{\triangle}{PHO}$ sono due triangoli simili e dunque dobbiamo avere:

${OT\over OS} = {OP\over OH}$

Possiamo riscrivere $OP\over OH$ come ${1\over {OH \over OP}}.$ Siccome per definizione abbiamo $\cos(\alpha) = {OH\over OP},$ avremo:

${OT\over OS} = {1\over \cos(\alpha)}$

$\sec(\alpha) = {1\over \cos(\alpha)}$

Cioè la secante è il reciproco del coseno. Questa era la quarta relazione fondamentale della goniometria.

Per l'ultima relazione, dobbiamo prima definire la cosecante:

Effettuiamo lo stesso procedimento fatto per definire la cotangente:

Prendiamo la circonferenza goniometrica e la retta ad essa tangente nel punto $(0;1):$

Definiamo la cosecante di alfa come il rapporto tra i segmenti $OT$ e $OS:$

$\csc(\alpha) = {OT\over OS}$

Notiamo di nuovo che i triangoli $\overset{\triangle}{TSO}$ e $\overset{\triangle}{PKO}$ e dunque dovremo avere:

${OT\over OS} = {OP \over OK}$

Siccome $OK = PH,$ possiamo riscrivere ${OP\over OK}$ come $OP\over PH$ che a sua volta possiamo riscrivere come $1\over {PH\over OP}$ e per definizione abbiamo $\sin(\alpha) = {PH\over OP},$ quindi:

${OT\over OS} = {1\over \sin(\alpha)}$

$\csc(\alpha) = {1\over \sin(\alpha)}$

Cioè la cosecante è uguale al reciproco del seno.

Questa era l'ultima delle cinque relazioni fondamentali della goniometria, che dunque ricordiamo essere:

• $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$

• $\tan(\alpha) = {\sin(\alpha)\over \cos(\alpha)}$

• $\cot(\alpha) = {\cos(\alpha) \over \sin(\alpha)}$

• $\sec(\alpha) = {1\over \cos(\alpha)}$

• $\csc(\alpha) = {1\over \sin(\alpha)}$