Equazioni di 2°grado

Cos’è un'equazione di secondo grado?

Le equazioni di secondo grado (o equazioni quadratiche) sono equazioni in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è $\displaystyle { 2 }$ .

Prima di approfondire ulteriormente, ecco a voi qualche esempio di equazioni di secondo grado:

• $\displaystyle { x^2+4x+1=0 }$

• $\displaystyle { 4x^2=11 }$

• $\displaystyle { y^2=0 }$

• $\displaystyle { 2d^2+5=-\frac{2}{3}d^2+d }$

Per fissare meglio il concetto vi proponiamo alcuni controesempi di equazioni che, per un motivo o per un altro, non sono di secondo grado.

Ecco qua:

Quindi, per essere sicuri che un’equazione data sia di secondo grado, bisogna sommare eventuali termini simili (con la stessa incognita), ponendo quindi l’equazione nella sua forma normale.

Forma normale delle equazioni di secondo grado

Ogni equazione di secondo grado può essere ricondotta alla sua forma normale (o standard) che si presenta in questo modo:

$\displaystyle { ax^2 + bx + c=0 }$ con $\displaystyle { a \neq 0 }$

Dove $\displaystyle { a }$ , $\displaystyle { b }$ e $\displaystyle { c }$ si chiamano rispettivamente primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione. Il coefficiente $\displaystyle { c }$ è anche detto termine noto.

Perché $\displaystyle { a \neq 0? }$ Semplicemente perché se $\displaystyle { a }$ valesse $\displaystyle { 0 }$ si avrebbe l’equazione $\displaystyle { bx + c=0 }$ che è evidentemente di primo grado.

Ad esempio un equazione come $\displaystyle { 4x^2-11=0 }$ è scritta in forma normale con:

• $\displaystyle { a=4 }$

• $\displaystyle { b=0 }$

• $\displaystyle { c=-11 }$

Metodo risolutivo delle equazioni di secondo grado complete

Un’equazione di secondo grado si dice completa quando la sua forma normale ha tutti i coefficienti diversi da zero:

$\displaystyle { ax^2+bx+c=0 }$ con $\displaystyle { a \neq 0 }$ , $\displaystyle { b \neq 0 }$ , $\displaystyle { c \neq 0 }$ .

Per risolvere un’equazione di questo tipo basta applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

Per adesso rimandiamo la dimostrazione ad un secondo momento. Intanto però, vista l’importanza della formula, cerca di impararla a memoria (ti servirà spessissimo!).

Ora proviamo a risolvere a titolo di esempio un’equazione di secondo grado:

Esempio: risolvere la seguente equazione: $\displaystyle { x^2-6x+5=0 }$

I coefficienti sono:

• $\displaystyle { a=1 }$

• $\displaystyle { b=6 }$

• $\displaystyle { c=5 }$

Proviamo quindi ad applicare la formula risolutiva inserendo i numeri al posto delle lettere:

$\displaystyle { x_{1;2}= \frac {-(-6) \pm \sqrt {(-6)^2 -4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} }$

$\displaystyle { x_{1;2}= \frac {6 \pm \sqrt {36 -20}}{2} }$

$\displaystyle { x_{1;2}= \frac {6 \pm \sqrt {16}}{2} }$

$\displaystyle { x_{1;2}= \frac {6 \pm \sqrt 4}{2} }$

$\displaystyle { x_{1;2}= \frac {6 \pm 2}{2} }$

Il simbolo $\displaystyle { \pm }$ (da leggere come più o meno) è una scrittura matematica che indica che bisogna considerare due possibilità distinte: la prima usando il segno “ $\displaystyle { + }$ ” al posto del “ $\displaystyle { \pm }$ ” e la seconda usando invece il segno “ $\displaystyle { - }$ ”. Quindi:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} x_1= \frac {6+2}{2} = 4 \\ x_2 = \frac {6-2}{2} =2 \end{array} \right. }$

Dunque le soluzioni dell’equazione $\displaystyle { x^2 -6x+4=0 }$ sono $\displaystyle { 2 }$ e $\displaystyle { 4 }$ .

Il Discriminante (o Delta)

Si dice discriminante o $\displaystyle { \Delta }$ (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ovvero:

Ora proviamo ad analizzare il segno del delta:

Notiamo quindi che un’equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni, che siano esse reali o complesse.

Quindi adesso che sappiamo cos’è il discriminante proviamo a riscrivere la nostra formula per le equazioni di secondo grado in modo un pochino più compatto e facile da ricordare:

Esempio:

Risolvere la seguente equazione: $\displaystyle { 3x^2+2x-1=0 }$

Prima di tutto analizziamo il delta:

$\displaystyle { \Delta = b^2-4ac = }$ $\displaystyle { 2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)= }$ $\displaystyle { 4+12=16 }$

Poiché il delta è positivo avremo due soluzioni reali e distinte:

$\displaystyle { x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= }$ $\displaystyle { \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot3}= }$ $\displaystyle { \frac{-2\pm4}{6} }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} x_1= \frac {-2+4}{6} = \frac {1}{3} \\ x_2 = \frac {-2-4}{6} =-1 \end{array} \right. }$

Dunque le soluzioni sono $\displaystyle { \frac {1}{3} }$ e $\displaystyle { -1 }$ .

Formula ridotta

Se il secondo termine ( $\displaystyle { b }$ ) dell’equazione scritta in forma normale è divisibile per due, è molto comodo utilizzare la formula ridotta.

Per ricavarla basta dividere per due tutti i membri dell’equazione e poi applicare la formula risolutiva imparata in precedenza:

$\displaystyle { ax^2+bx+c=0 }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \frac {ax^2}{2}+ \frac {bx}{2} + \frac {c}{2} = 0 }$

Ora applichiamo la formula:

$\displaystyle { x_{1/2}= \frac {-b \pm \sqrt {b^2 -4ac}}{a} }$

E otteniamo:

In questo caso però, l’espressione sotto radice non è il discriminante, bensì $\displaystyle { \frac{1}{4} }$ di esso:

$\displaystyle { \Delta = b^2-4ac }$ $\displaystyle { \longrightarrow \frac {\Delta}{4} = }$ $\displaystyle { \frac {b^2}{4}-ac }$ $\displaystyle { \longrightarrow \frac {\Delta}{4}=\left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac }$

Ora proviamo a risolvere un’equazione utilizzando la ridotta:

Esempio:

Risolvere la seguente equazione: $\displaystyle { x^2+16x+64=0 }$

Per prima cosa analizziamo il $\displaystyle { \frac {\Delta}{4} }$ :

$\displaystyle { \frac {\Delta}{4}= }$ $\displaystyle { \left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac=8^2-1\cdot64= }$ $\displaystyle { 64-64=0 }$

Poiché il delta è nullo avremo due soluzioni reali e coincidenti (nella formula possiamo omettere il $\displaystyle { \frac{\Delta}{4} }$ in quanto, valendo $\displaystyle { 0, }$ non incide nei calcoli):

$\displaystyle { x_{1/2}= \frac {-\frac {b}{2}}{a}= \frac {-8}{1}= -8 }$

Quindi l’unica soluzione è $\displaystyle { -8 }$ doppia.

Equazioni monomie

Si dice monomia un’equazione che in forma normale ha $\displaystyle { b=0 }$ e $\displaystyle { c=0 }$ e si presenta nella forma:

Visto che $\displaystyle { a \neq 0 }$ otteniamo: $\displaystyle { ax^2 =0 }$ $\displaystyle { \rightarrow }$ $\displaystyle { x^2 =0 \rightarrow x=0 }$ .

Quindi, qualunque valore assuma il coefficiente $\displaystyle { a }$ , ogni equazione monomia ammette in ogni caso due soluzioni reali e coincidenti nulle, quindi uguali a $\displaystyle { 0 }$ .

Equazioni pure

Si dice pura un’equazione che in forma normale ha $\displaystyle { b=0 }$ e $\displaystyle { c=0 }$ e si presenta nella forma:

Per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:

$\displaystyle { ax^2+c=0\rightarrow }$ $\displaystyle { ax^2=-c\rightarrow }$ $\displaystyle { x^2=-\frac{c}{a}\rightarrow }$ $\displaystyle { x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}} }$

Ora vi potreste chiedere perché ho scritto $\displaystyle { \pm }$ . Semplicemente perché entrambe le possibilità risolvono l’equazione. Per convincervi di ciò proviamo ad elevare al quadrato entrambe le soluzioni:

$\displaystyle { \left(-\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a} }$

$\displaystyle { \left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a} }$

Come potete vedere portano entrambi alla stessa soluzione.

Ora state molto attenti: una cosa è risolvere un equazione, un conto è risolvere la radice quadrata di un numero. Infatti si avrà $\displaystyle { \sqrt{16}=4 }$ non $\displaystyle { \sqrt{16}=\pm4 }$ !

Equazioni spurie

Si dice spuria un’equazione che in forma normale ha $\displaystyle { b \neq 0 }$ e $\displaystyle { c= 0 }$ e si presenta nella forma:

Anche in questo caso per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:

$\displaystyle { ax^2+bx=0 \rightarrow }$ $\displaystyle { x_{1,2}={-b \pm \sqrt{b^2-4a \cdot0} \over 2a} }$ $\displaystyle { \rightarrow X_{1,2}={-b \pm b \over 2a} }$

Soluzioni: $\displaystyle { x_1 = 0 }$, $\displaystyle { x_2 = {-b \over a} }$

Proprietà delle soluzioni

Possiamo notare che le soluzioni delle equazioni di secondo grado godono di alcune proprietà molto utili che ci permettono di risolvere alcuni problemi molto più velocemente.

Prendiamo l'equazione generica delle equazioni di secondo grado:

$\displaystyle { ax^2 + bx +c=0 }$

Le sue soluzioni saranno:

$\displaystyle { x_1 = {- b + \sqrt{\Delta}\over 2a} }$

$\displaystyle { x_2 = {-b-\sqrt{\Delta} \over 2a} }$

Notiamo dunque che se le sommiamo otteniamo:

$\displaystyle { x_1 + x_2 = {-b + \sqrt{\Delta}\over 2a} + {-b-\sqrt{\Delta}\over 2a} }$ $\displaystyle { = {-b +\sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}\over 2a} = {-2b\over 2a} = {-b\over a} }$

Quindi:

Quindi se vi viene chiesto di trovare la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado, non c'è bisogno di calcolarle e sommarle, ma basta applicare questa semplice formula.

Possiamo trovare una formula simile anche per la moltiplicazione. Otteniamo infatti:

$\displaystyle { x_1 \cdot x_2 = {-b + \sqrt{\Delta} \over 2a} \cdot {-b - \sqrt{\Delta}\over 2a} }$

Al numeratore possiamo applicare il prodotto notevole della somma per differenza, mentre al denominatore ci basta moltiplicare normalmente:

$\displaystyle { x_1 \cdot x_2 = {(-b)^2 - \left(\sqrt{\Delta}\right)^2\over 4a^2} = {b^2 - \Delta \over 4a^2} }$

Ricordandoci che $\displaystyle { \Delta = b^2 - 4ac, }$ possiamo sostituire ottenendo:

$\displaystyle { x_1 \cdot x_2 = {b^2 - b^2 + 4ac \over 4a^2} = {4ac \over 4a^2} = {c\over a} }$

Cioè:

Quindi anche qui, non c'è bisogno di trovare le due soluzioni e moltiplicarle per conoscere il loro prodotto, perché ci basta utilizzare questa semplice formula.

Queste formula sono specialmente utili in molti problemi con delle equazioni parametriche di secondo grado.

Dimostrazione della formula

Ora vediamo finalmente la dimostrazione della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:

Iniziamo scrivendo la nostra equazione in forma normale:

$\displaystyle { ax^2 + bx +c = 0 }$

Per risolvere l'equazione dobbiamo isolare la $\displaystyle { x, }$ ma il fatto che siano presenti due $\displaystyle { x }$ con gradi diversi complica le cose.

Per aggirare questo problema, utilizziamo la tecnica del completamento del quadrato:

Cerchiamo di completare un quadrato che contenga i primi due termini:

Iniziamo dividendo tutto per $\displaystyle { a }$ (possiamo farlo perché deve essere per forza diverso da $\displaystyle { 0 }$ ):

$\displaystyle { x^2 + {b\over a}x + {c\over a}=0 }$

$\displaystyle { x^2 }$ dovrà dunque essere il quadrato del primo termine, mentre $\displaystyle { {b\over a}x }$ dovrà essere il doppio prodotto. Quindi il secondo termine dovrà essere $\displaystyle { {b\over 2a}, }$ in modo che torni $\displaystyle { {b\over a}x }$ come doppio prodotto.

Dobbiamo quindi aggiungere $\displaystyle { {b^2 \over 4a^2} }$ (il quadrato del secondo termine) per completare il quadrato.

Ma non possiamo aggiungerlo così a caso, o cambieremo l'equazione. Possiamo però sommarlo ad entrambi i lati dell'equazione, secondo il primo principio delle equazioni:

$\displaystyle { x^2 + {b\over a}x + {b^2 \over 4a^2} + {c\over a} = {b^2 \over 4a^2} }$

Ora raccogliamo il quadrato e isoliamolo:

$\displaystyle { (x + {b\over 2a})^2 + {c\over a}= {b^2 \over 4a^2} }$

$\displaystyle { (x+{b\over 2a})^2 = {b^2 \over 4a^2} - {c\over a} }$

Mettiamo le due frazioni al secondo membro al minimo comune denominatore:

$\displaystyle { (x + {b\over 2a})^2 = {b^2 - 4ac \over 4a^2} }$

Adesso prendiamo la radice quadrata da entrambi i lati:

$\displaystyle { \sqrt{(x+{b\over 2a})^2} = \sqrt{b^2 - 4ac \over 4a^2} }$

Adesso FAI ATTENZIONE! La radice quadrata di $\displaystyle { x^2 }$ non è uguale ad $\displaystyle { x, }$ ma al modulo di $\displaystyle { x, }$ cioè $\displaystyle { |x|. }$

Quindi otteniamo:

$\displaystyle { |x + {b\over 2a}| = {\sqrt{b^2 - 4ac}\over \sqrt{4a^2}} }$

$\displaystyle { |x + {b\over 2a}| = {\sqrt{b^2 - 4ac}\over |2a|} }$

Possiamo eliminare i due moduli mettendo un $\displaystyle { \pm : }$

$\displaystyle { x + {b\over 2a} = \pm {\sqrt{b^2 - 4ac}\over 2a} }$

E ora non ci resta che isolare la $\displaystyle { x }$ ed unire le due frazioni:

$\displaystyle { x = -{b\over 2a} \pm {\sqrt{b^2 - 4ac} \over 2a} }$

$\displaystyle { x = {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}\over 2a} }$

Ed ecco qua la nostra formula!