Disequazioni lineari

Cosa sono le disequazioni lineari?

Una disequazione è detta lineare se è una disequazione di primo grado ad un'incognita.

Sarà quindi uguale ad un'equazione di primo grado, solo che al posto dell'uguale avremo $\displaystyle { <, >, \leq }$ o $\displaystyle { \geq . }$

Ecco qualche esempio di disequazione lineare:

• $\displaystyle { 2x > 1 }$

• $\displaystyle { 3x +2 < 2x + 5 }$

• $\displaystyle { 7x-9 \geq 7 }$

• $\displaystyle { x > 2+13 }$

• $\displaystyle { x-2x \leq 1 }$

Non sono, invece, disequazioni lineari le seguenti:

• $\displaystyle { x^2 > 3x }$ perché appare un termine di secondo grado.

• $\displaystyle { x > y +3 }$ perché abbiamo due incognite.

• $\displaystyle { 5>3 }$ perché non appaiono incognite

Come risolvere una disequazione lineare

Per risolvere una disequazione lineare vogliamo ricondurla alla forma:

o con $\displaystyle { <, \geq }$ o $\displaystyle { \leq }$ al posto di $\displaystyle { >. }$

Prendiamo ad esempio la disequazione:

$\displaystyle { 3x+5 > 4x + 2 }$

Portiamo tutti i termini con la $\displaystyle { x }$ da una parte e i termini noti (i numeri) dall'altra:

$\displaystyle { 3x - 4x > 2- 5 }$

e semplifichiamo:

$\displaystyle { -x > -3 }$

Abbiamo ricondotto l'equazione alla forma:

$\displaystyle { ax > b }$

Ora, per isolare la $\displaystyle { x, }$ vogliamo dividere entrambi i lati per $\displaystyle { a. }$

! Ricordate però che se si moltiplica o divide entrambi i lati di una disequazione per un numero negativo, dobbiamo cambiare il verso della disequazione (per esempio da $\displaystyle { < }$ a $\displaystyle { > }$ ).

Nel nostro caso avremo:

$\displaystyle { -x >-3 }$

$\displaystyle { -1 \cdot x > -3 }$

$\displaystyle { {-1 \cdot x \over -1} < {-3 \over -1} }$

$\displaystyle { x< 3 }$

ed abbiamo risolto la disequazione lineare.

In generale quindi, una volta arrivati alla forma:

$\displaystyle { ax > b }$

avremo:

$\displaystyle { x> {b\over a} }$ se $\displaystyle { a>0 }$

$\displaystyle { x < {b\over a} }$ se $\displaystyle { a < 0 }$

Potrebbero capitarvi disequazioni lineari più lunghe e quindi più difficili da semplificare, ma il procedimento è sempre lo stesso, dovete solo fare qualche calcolo in più.