Per equazione biquadratica si intende un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.
Perciò, in generale un'equazione biquadratica ha la seguente forma:
ax4+bx2+c=0
È molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.
Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:
x4−x2+1=0
−x4−4x2+5=0
x4+4x2−7=0
Come risolvere una biquadratica?
Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.
Esempio:
x4−8x2+7=0
Imponiamo t=x2 e avremo di conseguenza anche t2=x4. Sostituendo otteniamo:
t2−8t+7=0
Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:
t1;2=14±42−7=4±9=4±3
Quindi t1=1 e t2=7. Adesso sostituiamo la x per trovare le vere soluzioni:
t1=1⟶x2=1⟶x1;2=±1
t=7⟶x2=7⟶x3;4=±7
Abbiamo ottenuto esattamente 4 soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.
Cos’è un’equazione trinomia?
Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado 2n , un termine di grado n e un termine noto.
Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.
Di seguito alcuni esempi:
x6−2x3−6=0
x8−x4+1=0
x8−x4+1=0
Come risolvere un’equazione trinomia?
Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso t non sarà più uguale a x2 ma sarà uguale a xn .
Esempio:
x6−2x3−8=0
Imponiamo t=x3 e di conseguenza avremo anche t2=x6. Sostituiamo ed otteniamo:
t2−2t−8=0
Risolvendola otteniamo:
t1;2=1±3
Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la x :
t=−2⟶x3=−2⟶x=−32
t=4⟶x3=4⟶x=34
Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).