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Equazioni biquadratiche e trinomie

Di seguito analizzeremo le equazioni biquadratiche e trinomie.


Cosa devo già sapere?

Da sapere assolutamente

  • Equazioni di 2°grado

Cos’è un’equazione biquadratica?

Per equazione biquadratica si intende un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.

Perciò, in generale un'equazione biquadratica ha la seguente forma:

ax4+bx2+c=0ax^4 + bx^2 +c=0ax4+bx2+c=0

È molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.

Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:

  • x4−x2+1=0x^4-x^2+1 = 0x4−x2+1=0

  • −x4−4x2+5=0-x^4-4x^2+5 = 0−x4−4x2+5=0

  • x4+4x2−7=0x^4+4x^2-7 = 0x4+4x2−7=0


Come risolvere una biquadratica?

Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.

Esempio:

x4−8x2+7=0x^4-8x^2+7 = 0x4−8x2+7=0

Imponiamo t=x2\displaystyle { t=x^2 }t=x2 e avremo di conseguenza anche t2=x4.\displaystyle { t^2 = x^4. }t2=x4. Sostituendo otteniamo:

t2−8t+7=0\displaystyle { t^2-8t+7=0 }t2−8t+7=0

Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:

t1;2=4±42−71=\displaystyle { t_{1;2} = {4 \pm \sqrt{4^2 - 7}\over 1} = }t1;2​=14±42−7​​= 4±9=4±3\displaystyle { 4 \pm \sqrt{9} = 4 \pm 3 }4±9​=4±3

Quindi t1=1\displaystyle { t_1 = 1 }t1​=1 e t2=7\displaystyle { t_2 = 7 }t2​=7. Adesso sostituiamo la x\displaystyle { x }x per trovare le vere soluzioni:

t1=1\displaystyle { t_1 = 1 }t1​=1 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x2=1\displaystyle { x^2 = 1 }x2=1 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x1;2=±1\displaystyle { x_{1;2} = \pm 1 }x1;2​=±1

t=7\displaystyle { t = 7 }t=7 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x2=7\displaystyle { x^2 =7 }x2=7 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x3;4=±7\displaystyle { x_{3;4} = \pm \sqrt{7} }x3;4​=±7​

Abbiamo ottenuto esattamente 4\displaystyle { 4 }4 soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.


Cos’è un’equazione trinomia?

Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado 2n\displaystyle { 2n }2n , un termine di grado n\displaystyle { n }n e un termine noto.

Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.

Di seguito alcuni esempi:

  • x6−2x3−6=0x^6-2x^3-6 = 0x6−2x3−6=0
  • x8−x4+1=0x^8-x^4+1 = 0x8−x4+1=0
  • x8−x4+1=0x^8-x^4+1 = 0x8−x4+1=0


Come risolvere un’equazione trinomia?

Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso t\displaystyle { t }t non sarà più uguale a x2\displaystyle { x^2 }x2 ma sarà uguale a xn\displaystyle { x^n }xn .

Esempio:

  • x6−2x3−8=0x^6-2x^3-8 = 0x6−2x3−8=0

Imponiamo t=x3\displaystyle { t=x^3 }t=x3 e di conseguenza avremo anche t2=x6.\displaystyle { t^2 = x^6. }t2=x6. Sostituiamo ed otteniamo:

t2−2t−8=0\displaystyle { t^2-2t-8=0 }t2−2t−8=0

Risolvendola otteniamo:

t1;2=1±3\displaystyle { {t_{1;2} = 1 \pm 3} }t1;2​=1±3

Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la x\displaystyle { x }x :

t=−2\displaystyle { t = -2 }t=−2 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x3=−2\displaystyle { x^3 = -2 }x3=−2 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x=−23\displaystyle { x = -\sqrt[3]{2} }x=−32​

t=4\displaystyle { t=4 }t=4 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x3=4\displaystyle { x^3 = 4 }x3=4 ⟶\displaystyle { \longrightarrow }⟶ x=43\displaystyle { x= \sqrt[3]{4} }x=34​

Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).


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