Equazioni biquadratiche e trinomie

Cos’è un’equazione biquadratica?

Per equazione biquadratica si intente un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.

E' molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.

Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:

Come risolvere una biquadratica?

Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.

Esempio:

Imponiamo $t=x^2$ e avremo di conseguenza anche $t^2 = x^4.$ Sostituendo otteniamo:

$t^2-8t+7=0$

Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’ equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:

$t_{1;2} = {4 \pm \sqrt{4^2 - 7}\over 1} =$ $4 \pm \sqrt{9} = 4 \pm 3$

Quindi $t_1 = 1$ e $t_2 = 7$ . Adesso risostituiamo la $x$ per trovare le vere soluzioni:

$t_1 = 1$ $\longrightarrow$ $x^2 = 1$ $\longrightarrow$ $x_{1;2} = \pm 1$

$t = 7$ $\longrightarrow$ $x^2 =7$ $\longrightarrow$ $x_{3;4} = \pm \sqrt{7}$

Abbiamo ottenuto esattamente $4$ soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.

Cos’è un’equazione trinomia?

Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado $2n$ , un termine di grado $n$ e un termine noto.

Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.

Di seguito alcuni esempi:

Come risolvere un’equazione trinomia?

Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso $t$ non sarà più uguale a $x^2$ ma sarà uguale a $x^n$ .

Esempio:

Imponiamo $t=x^3$ e di conseguenza avremo anche $t^2 = x^6.$ Sostituiamo ed otteniamo:

$t^2-2t-8=0$

Risolvendola otteniamo:

${t_{1;2} = 1 \pm 3}$

Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la $x$ :

$t = -2$ $\longrightarrow$ $x^3 = -2$ $\longrightarrow$ $x = -\sqrt[3]{2}$

$t=4$ $\longrightarrow$ $x^3 = 4$ $\longrightarrow$ $x= \sqrt[3]{4}$

Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).