Equazioni e disequazioni logaritmiche

Cos'è un'equazione logaritmica?

Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nel suo argomento.

Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:

Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere $\displaystyle { A(x),B(x),a>0 }$. Siccome la funzione $\displaystyle { \log_{a} (x) }$ è una funzione iniettiva dobbiamo avere:

$\displaystyle { A(x)=B(x) }$

Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo l'equazione logaritmica:

$\displaystyle { \log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1) }$

Le condizioni di esistenza saranno:

$\displaystyle { 10x>0 }$

$\displaystyle { x>0 }$

e

$\displaystyle { x+1>0 }$

$\displaystyle { x>-1 }$

Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è $\displaystyle { x>0. }$

Detto questo, dovremo avere:

$\displaystyle { 10x=x+1 }$

$\displaystyle { 9x=1 }$

$\displaystyle { x={1\over 9} }$

Siccome $\displaystyle { {1\over 9}>0 }$ , la soluzione è accettabile.

Risolviamo l'equazione logaritmica:

$\displaystyle { \log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4) }$

Le condizioni di esistenza saranno:

$\displaystyle { x+1>0 }$

$\displaystyle { x>-1 }$

$\displaystyle { x+3>0 }$

$\displaystyle { x>-3 }$

$\displaystyle { 3x+4>0 }$

$\displaystyle { x>-{4\over 3} }$

E quindi in generale la condizione di esistenza sarà $\displaystyle { x>-1 }$

Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:

$\displaystyle { \log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4) }$

$\displaystyle { \log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4) }$

E dovremo quindi avere:

$\displaystyle { x^2 +4x +3 = 3x +4 }$

$\displaystyle { x^2 +x -1 = 0 }$

$\displaystyle { x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} }$

La soluzione $\displaystyle { x={1+\sqrt{5} \over 2} }$ è maggiore di $\displaystyle { 0, }$ quindi sarà anche maggiore di $\displaystyle { -1 }$ e dunque accettabile.

La seconda invece è maggiore di $\displaystyle { -1? }$

$\displaystyle { {1 - \sqrt {5} \over 2}>-1 }$

$\displaystyle { 1- \sqrt{5} >-2 }$

$\displaystyle { -\sqrt{5} >-3 }$

Moltiplichiamo entrambi i lati per $\displaystyle { -1, }$ ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:

$\displaystyle { \sqrt{5}< 3 }$

Siccome $\displaystyle { \sqrt{5} }$ è compresa tra $\displaystyle { 2 }$ e $\displaystyle { 3 }$ , la disequazione deve essere vera. Anche la seconda soluzione è maggiore di $\displaystyle { -1 }$ , ed è dunque accettabile.

Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.

Cos'è una disequazione logaritmica?

Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nel suo argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:

O con $\displaystyle { < }$ , $\displaystyle { \geq }$ o $\displaystyle { \leq }$ al posto di $\displaystyle { > }$ .

Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere $\displaystyle { A(x),B(x),a>0 }$ .

Dobbiamo dividere in due casi:

La base del logaritmo a è maggiore di 1

In tal caso sappiamo che il logaritmo base $\displaystyle { a }$ è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se

$\displaystyle { x> y }$

Avremo

$\displaystyle { \log_{a} (x) > \log_{a} (y) }$

Perché passando da $\displaystyle { y }$ ad $\displaystyle { x }$ deve aumentare.

(questo vale anche con $\displaystyle { < }$ , $\displaystyle { \geq }$ o $\displaystyle { \leq }$ al posto di $\displaystyle { > }$ )

e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:

$\displaystyle { \log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) }$

Dovremo avere:

$\displaystyle { A(x)>B(x) }$

Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.

La base del logaritmo a è compresa tra 0 e 1

In tal caso avremo che se abbiamo:

$\displaystyle { x>y }$

Siccome il logaritmo base $\displaystyle { a }$ con $\displaystyle { a }$ compresa tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1 }$ è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:

$\displaystyle { \log_{a} (x) < \log_{a} (y) }$

(questo vale anche con $\displaystyle { <, }$ $\displaystyle { \geq }$ o $\displaystyle { \leq, }$ basta che invertite sempre il verso della disequazione)

perché passando da $\displaystyle { y }$ ad $\displaystyle { x }$ deve diminuire.

Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:

$\displaystyle { \log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) }$

$\displaystyle { A(x) < B(x) }$

che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.

Quindi, se abbiamo una disequazione logaritmica del tipo:

$\displaystyle { \log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) }$

se $\displaystyle { a> 1 }$ , allora:

$\displaystyle { A(x) > B(x) }$

se $\displaystyle { 0< a < 1 }$ , va cambiato il segno della disequazione e quindi:

$\displaystyle { A(x) < B(x) }$

Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono $\displaystyle { a,A(x),B(x)>0. }$