Cos'è un'equazione logaritmica?

Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nel suo argomento.

Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:

Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere $A(x),B(x),a>0$. Siccome la funzione $\log_{a} (x)$ è una funzione iniettiva dobbiamo avere:

$A(x)=B(x)$

Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo l'equazione logaritmica:

$\log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1)$

Le condizioni di esistenza saranno:

$10x>0$

$x>0$

e

$x+1>0$

$x>-1$

Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è $x>0.$

Detto questo, dovremo avere:

$10x=x+1$

$9x=1$

$x={1\over 9}$

Siccome ${1\over 9}>0$ , la soluzione è accettabile.

Risolviamo l'equazione logaritmica:

$\log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4)$

Le condizioni di esistenza saranno:

$x+1>0$

$x>-1$

$x+3>0$

$x>-3$

$3x+4>0$

$x>-{4\over 3}$

E quindi in generale la condizione di esistenza sarà $x>-1$

Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:

$\log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4)$

$\log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4)$

E dovremo quindi avere:

$x^2 +4x +3 = 3x +4$

$x^2 +x -1 = 0$

$\displaystyle { x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} }$

La soluzione $x={1+\sqrt{5} \over 2}$ è maggiore di $0,$ quindi sarà anche maggiore di $-1$ e dunque accettabile.

La seconda invece è maggiore di $-1?$

${1 - \sqrt {5} \over 2}>-1$

$1- \sqrt{5} >-2$

$-\sqrt{5} >-3$

Moltiplichiamo entrambi i lati per $-1,$ ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:

$\sqrt{5}< 3$

Siccome $\sqrt{5}$ è compresa tra $2$ e $3$ , la disequazione deve essere vera. Anche la seconda soluzione è maggiore di $-1$ , ed è dunque accettabile.

Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.

Cos'è una disequazione logaritmica?

Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nel suo argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:

O con $<$ , $\geq$ o $\leq$ al posto di $>$ .

Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere $A(x),B(x),a>0$ .

Dobbiamo dividere in due casi:

La base del logaritmo a è maggiore di 1

In tal caso sappiamo che il logaritmo base $a$ è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se

$x> y$

Avremo

$\log_{a} (x) > \log_{a} (y)$

Perché passando da $y$ ad $x$ deve aumentare.

(questo vale anche con $<$ , $\geq$ o $\leq$ al posto di $>$ )

e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:

$\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))$

Dovremo avere:

$A(x)>B(x)$

Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.

La base del logaritmo a è compresa tra 0 e 1

In tal caso avremo che se abbiamo:

$x>y$

Siccome il logaritmo base $a$ con $a$ compresa tra $0$ ed $1$ è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:

$\log_{a} (x) < \log_{a} (y)$

(questo vale anche con $<,$ $\geq$ o $\leq,$ basta che invertite sempre il verso della disequazione)

perché passando da $y$ ad $x$ deve diminuire.

Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:

$\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))$

$A(x) < B(x)$

che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.

Quindi, se abbiamo una disequazione logaritmica del tipo:

$\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))$

se $a> 1$ , allora:

$A(x) > B(x)$

se $0< a < 1$ , va cambiato il segno della disequazione e quindi:

$A(x) < B(x)$

Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono $a,A(x),B(x)>0.$