Cos'è una disequazione esponenziale?

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui appare almeno una potenza con un'incognita nell'esponente.

Esse sono quindi disequazioni del tipo:

o con $<$ , $\geq$ o $\leq$ al posto di $>$ .

Può sembrare molto complicato, ma tranquilli, vedremo solo i casi particolari che incontrerete a scuola.

Partiamo da quello più semplice in assoluto, dove $f(x) = x$ e $g(x)$ è costante. Avremo quindi disequazioni del tipo:

$a^x > b$

Dobbiamo dividere queste disequazioni in due casi:

La base a è maggiore di 1

In questo caso per prima cosa risolviamo l'equazione associata:

$a^x =b$

Una volta fatto questo, sapendo che la funzione $a^x$ è monotona crescente (ovvero aumenta sempre), troviamo la soluzione della disequazione.

Vediamo qualche esempio.

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$3^x > 81$

Risolviamo l'equazione associata:

$3^x = 81$

$3^x = 3^4$

$x= 4$

Sappiamo che $3^x$ aumenta sempre, quindi per $x > 4$ sarà sempre maggiore di $81.$ Quindi la soluzione è $x>4$.

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$5^x \leq 125$

Risolviamo l'equazione associata:

$5^x = 125$

$5^x = 5^3$

$x= 3$

Sappiamo che $5^x$ aumenta sempre, quindi per $x>3$ sarà sempre maggiore di $125,$ mentre per $x < 3$ sarà sempre minore di $125.$ La soluzione è quindi $x \leq 3$.

La base a è compresa tra 0 e 1

In tal caso il procedimento è lo stesso, ma questa volta la funzione sarà monotona decrescente (ovvero diminuisce sempre).

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$({1 \over 2})^x < {1\over 32}$

Risolviamo l'equazione associata:

$({1\over 2})^x ={1\over 32}$

$({1\over 2})^x =({1\over 2})^5$

$x=5$

Siccome $({1\over 2})^x$ diminuisce sempre, per $x>5$ sarà sempre minore di ${1\over 32}$ , quindi la soluzione è proprio $x>5$ .

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$({1\over 3})^x \geq {1\over 9}$

Risolviamo l'equazione associata:

$({1\over 3})^x ={1\over 9}$

$({1\over 3})^x =({1\over 3})^2$

$x=2$

Siccome $({1\over 3})^x$ diminuisce sempre, per $x>2$ sarà sempre minore di ${1\over 9}$ e sarà invece maggiore di ${1\over 9}$ per $x < 2$ , quindi la soluzione è proprio $x\leq 2$.

Disequazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Usando i logaritmi possiamo risolvere disequazioni esponenziali più complicate, dove possono apparire più potenze con incognite all'esponente.

Ci basterà applicare il logaritmo base $10$ da entrambi i lati e semplificare.

Possiamo anche applicare logaritmi con altre basi, ma se è compresa tra $0$ ed $1$ dobbiamo cambiare il segno della disequazione, perché:

Se abbiamo $x>y$ , se $a>1$ , avremo:

$\log_{a} (x) >\log_{a} (y)$

Mentre se $0 < a < 1$ , avremo:

$\log_{a} (x) < \log_{a} (y)$

In generale conviene quindi applicare sempre il logaritmo base $10$ e non avere paura di dover cambiare qualcosa.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$5\cdot 3^x > 2^{x-3}$

Abbiamo quantità positive da entrambi i lati, quindi applichiamo il logaritmo base $10$ da entrambi i lati:

$\log_{10}(5 \cdot 3^x) > \log_{10}(2^{x-3})$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto e sottintendiamo $\log_{10}$ con $\log$ :

$\log (5) + \log (3^x) >$ $\log (2^{x-3})$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo $x:$

$\log(5) + x \log(3) >$ $(x-3) \log(2)$

$\log (5) + x\log (3) >$ $x\log(2) -3\log(2)$

$x\log(3) - x\log(2) >$ $-\log(5) -3\log(2)$

$x( \log(3) -\log(2))>$ $-(\log(5)+3\log(2))$

Siccome $\log(3) -\log(2)$ è una quantità positiva, possiamo dividere entrambi i lati per essa:

$\displaystyle { x> -\frac{\log(5)+3\log(2)}{\log(3)-\log(2)} }$