Cos’è un logaritmo?

Esistono vari modi per definire cosa sia un logaritmo . Il modo più semplice è definirlo come la funzione inversa della funzione esponenziale (Una funzione esponenziale è una funzione del tipo y=a^x).

Un logaritmo ha una base $a,$ un argomento $b$ ed un valore $c$ (il risultato). In generale, il logaritmo in base $a$ di $b$ è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento :

$\log_{a} b =c \longleftrightarrow a^c=b$

Essa è la funzione inversa della funzione esponenziale perché se la applichiamo ad essa riotteniamo $x$ :

$\log_{a} (a^x)= x$

Quindi quando calcoliamo un logaritmo dobbiamo pensare: “a quale numero devo elevare la mia base per ottenere il mio argomento?”. Proponiamo qualche esempio di logaritmo:

$\log_{2} 8 =3$ perché $2^3 =8$

$\log_{5} 25=2$ perché $5^2 =25$

$\log_{3} 81=4$ perché $3^4=81$

$\log_{4} 2= {1\over 2}$ perché $4^{1\over 2} = \sqrt{4}=2$

Cominciamo dall’analizzare alcune proprietà:

L’ argomento deve essere sempre maggiore di $0$ . Questo perché una funzione esponenziale è sempre maggiore di $0$ e non potrà mai darci un valore negativo:

$\log_2 {(-3)}$ non esiste perché per qualsiasi numero reale $x$ , dobbiamo avere $2^x>0$ , quindi non potrà mai essere uguale a $-3$ .

Siccome solo in casi particolari un logaritmo con base negativa appartiene ai numeri reali, per ora non li studieremo.

Esiste un ultimo caso da escludere: quando la base è uguale a $0$ o ad $1$ . Sappiamo infatti che $1^x=1$ e quindi per qualsiasi argomento diverso da $1$ il logaritmo non esiste e se l’argomento è uguale ad $1$ abbiamo infiniti valori possibili.

Invece $0^x=0$ se $x>0$ , altrimenti non esiste. Quindi analogamente non vogliamo avere a che fare nemmeno con lui.

Proprietà dei logaritmi

Passiamo quindi ad analizzare le proprietà dei logaritmi con base ed argomento maggiori di $0$ e diversi da $1$ .

Se $a,b>0$ , avremo:

$b=a^{\log_{a}(b)}$

Inoltre, il logaritmo base $a$ di $x$ è una funzione iniettiva, di conseguenza se abbiamo:

$n=m$

Deve anche essere vero:

$\log_{a}(n)=\log_{a}(m)$

Notiamo poi che siccome per ogni $x\neq 0$ abbiamo $x^0 =1$ , avremo:

$\log_{a}(1)=0$

Inoltre, poiché $a^1=a$ ,avremo:

$\log_{a}(a)=1$

Infine, siccome il logaritmo base $a$ è la funzione inversa della funzione $f(x)=a^x$ , come quest’ultima quando l’argomento $b$ aumenta, il suo valore:

Aumenta se $a>1$

Diminuisce se $0 < a < 1$

Logaritmo di un prodotto

Se abbiamo un logaritmo di un prodotto, ovvero:

$\log_{a} (b\cdot c)$

Possiamo semplificarlo? Certo. Esso è infatti uguale alla somma dei logaritmi dei due:

$\log_{a} (b) +\log_{a}(c)$

Dimostriamolo:

Siccome i due logaritmi esistono singolarmente, dovremo avere:

$\log_{a}(b)=n$

$\log_{a}(c) =m$

Dove $n$ e $m$ saranno due numeri. Da esse ricaviamo:

$a^n =b$

$a^m=c$

Di conseguenza, moltiplicando queste due equazioni:

$b\cdot c=a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$

E quindi:

$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}(a^{n+m})=$ $n+m=\log_{a}(b) + \log_{a}(c)$

Ed ecco dimostrata la nostra formula.

Proponiamo qualche esempio di applicazione di questa proprietà:

La quantità $\log_{6}(2) +\log_{6}(3)$ è piuttosto complicata da calcolare. Se però usiamo la nostra formula otteniamo:

$\log_{6}(2) +\log_{6}(3)=\log_{6}(2\cdot 3)$ $=\log_{6}(6)=1$

Sempre usando la nostra proprietà possiamo semplificare i seguenti esempi:

$\log_{12}(18) +\log_{12}(8)$ $=\log_{12}(18\cdot 8)=\log_{12}(144)=2$

$\log_{7}(3)+\log_{7}(4)=\log_{7}(3\cdot 4)$ $=\log_{7}(12)$

Logaritmo di un quoziente

Il logaritmo di un quoziente è invece uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore:

$\log_{a}({b\over c})$ $=\log_{a}(b) -\log_{a}(c)$

La dimostrazione è simile a quella di prima:

Siccome i due logaritmi esistono singolarmente, dobbiamo avere:

$\log_{a}(b)=n$

$\log_{a}(c)=m$

Da cui ricaviamo:

$a^n=b$

$a^m=c$

Dividiamo la prima equazione per la seconda:

$\displaystyle { \frac{a^n}{a^m}={b\over c} }$

$a^{n-m}={b\over c}$

Prendiamo il logaritmo base $a$ su entrambi i lati:

$\log_{a}(a^{n-m})=\log_{a}({b\over c})$

$n-m=\log_{a}({b\over c})$

$\log_{a}({b\over c})=n-m=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)$

Dimostrando quindi la proprietà

Logaritmo di una potenza

Se invece abbiamo il logaritmo di una potenza, ovvero:

$\log_{a} (b^c)$

Possiamo semplificarlo?

Certo!

In generale abbiamo:

$\log_{a}(b)=x$

Da cui ricaviamo:

$a^x=b$

Eleviamo ora entrambi i lati per $c$ :

$(a^x)^c=b^c$

$a^{xc}=b^c$

Prendiamo ora il logaritmo base $a$ su entrambi i lati:

$\log_{a}(a^{xc})=\log_{a}(b^c)$

$xc=\log_{a}(b^c)$

$\log_{a}(b) \cdot c=\log_{a}(b^c)$

E quindi:

$\log_{a}(b^c)=c\cdot \log_{a}(b)$

Cambio di base

Se abbiamo un logaritmo base $a$ , possiamo ricondurlo ad un altro logaritmo con base diversa? Possiamo farlo tramite la seguente formula, chiamata formula del cambiamento di base :

$\displaystyle { \log_{a}(b)=\frac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)} }$

Quindi il vecchio logaritmo è uguale al logaritmo con la nuova base e con stesso argomento diviso il logaritmo con la nuova base della vecchia base.

Dimostriamolo!

Siccome:

$\log_{a}(b)=d$

avremo:

$a^d=b$

Prendiamo quindi il logaritmo con la nuova base da entrambi lati:

$\log_{c}(a^d)= \log_{c}(b)$

Per la proprietà del logaritmo di una potenza abbiamo:

$d\cdot \log_{c}(a)=\log_{c}(b)$

$\displaystyle { d=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} }$

E quindi:

$\displaystyle { \log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} }$

Ed abbiamo quindi dimostrato la nostra formula.

Usando questa formula potete usare le vostre calcolatrici per calcolare il valore dei logaritmi. Infatti su di esse potete calcolare (solitamente) solo il logaritmo base $10$ o il logaritmo naturale (ovverio il logaritmo che ha come base il numero di Nepero). Usando questa formula potete cambiare base e riportare il vostro logaritmo ad uno di questi due. Sulle calcolatrici trovate solitamente scritto il logaritmo base $10$ di $x$ come $\log (x)$ , mentre il logaritmo naturale viene scritto $\ln (x)$ .

Proponiamo qualche esempio di applicazione della formula del cambiamento di base.

Vogliamo portare in base $10$ il seguente logaritmo:

$\log_{100}(7)$

Usando la nostra formula:

$\displaystyle { \log_{100}(7)=\frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(100)}= }$ ${\log_{10}(7) \over 2}$

Vogliamo portare in base $10$ il seguente logaritmo:

$\log_{5}{9}$

Usando la nostra formula:

$\displaystyle { \log_{5}(9)=\frac{\log_{10}(9)}{\log_{10}(5)} }$