Cos'è un'equazione esponenziale

Un' equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza.

In generale quindi è un'equazione del tipo:

dove $f(x)$ e $g(x)$ sono espressioni contenenti l'incognita $x.$

Sembra molto complicato, ma tranquillo, vedremo solo dei casi particolari molto semplici. Iniziamo da quello più semplice in assoluto, cioè quello in cui $f(x)=x$ e $g(x)=b,$ ovvero delle equazioni esponenziali del tipo:

Iniziamo notando subito che se $b < 0$ l'equazione è impossibile perché, come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali, un'esponenziale è sempre positivo, dunque è impossibile che sia uguale ad un numero negativo.

In ogni caso, per $b>0$ avremo sempre una sola soluzione.

Adesso proviamo a capire come si può risolvere un equazione esponenziale.

Se $b$ si riesce a scrivere nella forma $a^y$ , allora avremo un'equazione del tipo $a^x=a^y$ e quindi la soluzione immediata sarebbe $x=y$ .

Vediamo qualche esempio:

• $3^x = 81 \longrightarrow 3^x = 3^4 \longrightarrow x= 4$

• $2^x =32 \longrightarrow2^x = 2^5 \longrightarrow x=5$

Perché possiamo portare l'equazione agli esponenti? Perché sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione iniettiva, che significa che se i valori della funzione sono uguali, allora l'input iniziale era lo stesso.

Cioè se le $y$ sono uguali, lo sono anche le $x.$ Nel nostro caso questo significa proprio che se $a^x = a^t,$ allora $x = t.$ (ovviamente $a$ deve rispettare le condizioni affinché $a^x$ sia una funzione esponenziale, cioè deve essere maggiore di $0$ e diversa da $1.$ )

Potreste incontrare, però, un altro caso molto comune negli esercizi: quello dove oltre all'esponenziale $a^x,$ nell'equazione è presente un termine del tipo $a^{2x}.$

Un esempio potrebbe essere:

• $5^{2x} + 5^x -2 = 0$

Per risolverla, ci basta notare che, per la proprietà della potenza di una potenza, $5^{2x} = (5^x)^2.$

Si tratta, quindi, di una sorta di equazione di secondo grado, solo che al posto della classica $x$ abbiamo $5^x.$

Possiamo quindi abbreviare $5^x$ come $t,$ da cui consegue che $5^{2x} = (5^x)^2 = t^2.$

Sostituendo, infatti, otteniamo una normalissima equazione di secondo grado:

$t^2 + t - 2 = 0$

In generale, quindi, vi basterà sostituire l'esponenziale con $t.$

Sappiamo bene che le soluzioni di quest'equazione di secondo grado sono $1$ e $-2.$ Però fai attenzione! Queste sono le soluzioni per $t,$ ma $t$ è soltanto un'incognita che abbiamo creato per semplificare l'equazione, a noi ci interessa di trovare il valore della $x.$

Come fare? Sapendo che $t = 1$ o $t = -2,$ ci basta sostituire $5^x$ al posto di $t$ e trovare la $x:$

$t=1$

$5^x = 1$

$5^x = 5^0$

$x=0$

Se sostituiamo, invece, $5^x$ nell'equazione $t=-2,$ otteniamo $5^x = -2,$ ma sappiamo benissimo che un esponenziale non può mai essere negativo, quindi l'equazione è impossibile.

Dunque, l'unica soluzione dell'equazione iniziale sarà $x=0.$

Risolvere le equazioni esponenziali con logaritmi

Nel caso in cui $b$ non si possa riscrivere facilmente come $a^y$ , allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi.

Infatti un equazione esponenziale si può risolvere usando la definizione di logaritmo nel seguente modo:

Questa formula, infatti, è letteralmente la definizione stessa del logaritmo.

Vediamo qualche esempio:

• $3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7)$

• $5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29)$

Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente.

Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:

Vogliamo risolvere l'equazione:

• $3\cdot 5^{3x}=11^{x+1}$

Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:

$\log_{10} (3 \cdot 5^{3x})=$ $\log_{10}(11^{x+1})$

Indichiamo il logaritmo base $10$ di $x$ come $\log x$ per evitare di scrivere centinaia di volte $10.$

Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:

$\log(3) + \log((5^3)^x)=$ $\log(11^{x+1})$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:

$\log(3) +x \log(5^3) =$ $(x+1) \log(11)$

$\log(3) + x \log(125) =$ $x \log (11) + \log (11)$

$x \log(125) - x \log (11)=$ $\log(11) - \log (3)$

$x (\log(125) - \log(11)) =$ $\log (11) - \log(3)$

Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:

$x \log ({125\over 11})=$ $\log ({11\over 3})$

$x= {\log ({11\over 3})\over \log({125 \over 11})}$

Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:

$x \approx 0.53459$