Funzione logaritmica

Funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione del tipo:

$\displaystyle { y=\log_{a} (x) }$

con con $\displaystyle { a>0 }$ e $\displaystyle { a\neq 1 }$

Sappiamo già che la condizione di esistenza di un logaritmo, oltre a quelle scritte sopra, è che il suo argomento sia maggiore di 0. Quindi il dominio sarà formato da tutti i Sappiamo già che la condizione di esistenza di un logaritmo, oltre a quelle scritte sopra, è che il suo argomento sia maggiore di 0. Quindi il dominio sarà formato da tutti i numeri reali positivi, ovvero da numeri reali positivi, ovvero da $\displaystyle { \mathbb{R} ^+ }$ .

La funzione logaritmica La funzione logaritmica $\displaystyle { y=\log_{a} (x) }$ è la funzione inversa della funzione esponenziale $\displaystyle { y=a^x }$ , di conseguenza il suo grafico sarà uguale al simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla retta $\displaystyle { y=x }$ :

Per questo otteniamo che la funzione logaritmica deve essere Per questo otteniamo che la funzione logaritmica deve essere monotona crescentemonotona crescente(sempre crescente) per $\displaystyle { a>1 }$ , mentre sarà monotona decrescente(sempre decrescente) per $\displaystyle { 0< a < 1 . }$

Siccome per ogni Siccome per ogni $\displaystyle { a }$ (che rispettano le condizioni di esistenza) abbiamo che:

$\displaystyle { \log_{a} (1) = 0 }$

La funzione deve sempre passare per il punto La funzione deve sempre passare per il punto $\displaystyle { (1;0) }$ .

Siccome, usando la formula del cambiamento di base, abbiamo:

$\displaystyle { \log_{1\over a} (x) = }$ $\displaystyle { \frac{\log_{a}(x)}{\log_{a} ({1\over a})}= }$ $\displaystyle { {\log_{a} (x) \over -1 }=-\log_{a} (x) }$

$\displaystyle { y=\log_{1\over a} (x) }$ è il simmetrico rispetto all'asse è il simmetrico rispetto all'asse $\displaystyle { x }$ della funzione $\displaystyle { y=\log_{a} (x). }$

Grafico di funzioni del tipo $y=\ln(f(x))$

Ricordiamo innanzitutto che Ricordiamo innanzitutto che $\displaystyle { \ln(x) }$ è il logaritmo base $\displaystyle { e }$ di x, dove $\displaystyle { e }$ è il numero di Nepero . Normalmente si studia solo il caso di $\displaystyle { \ln(f(x)) }$ perché non ci si vuole soffermare troppo su questo argomento e si studia solo il più comune.

Per le condizioni di esistenza (C.E.) del logaritmo, dobbiamo avere del logaritmo, dobbiamo avere $\displaystyle { f(x)>0 }$ , altrimenti in quel punto $\displaystyle { \ln(f(x)) }$ non esiste nei numeri reali.

Per tracciare un grafico con buona approssimazione vi basta poi ricordare che:

$\displaystyle { \ln(1) = 0 }$

e che quando e che quando $\displaystyle { f(x) }$ si avvicina a $\displaystyle { 0, }$ $\displaystyle { \ln(x) }$ diminuisce e quando $\displaystyle { f(x) }$ aumenta, $\displaystyle { \ln(f(x)) }$ aumenta.