Funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione del tipo:

$y=\log_{a} (x)$

con con $a>0$ e $a\neq 1$

Sappiamo già che la condizione di esistenza di un logaritmo, oltre a quelle scritte sopra, è che il suo argomento sia maggiore di 0. Quindi il dominio sarà formato da tutti i Sappiamo già che la condizione di esistenza di un logaritmo, oltre a quelle scritte sopra, è che il suo argomento sia maggiore di 0. Quindi il dominio sarà formato da tutti i numeri reali positivi, ovvero da numeri reali positivi, ovvero da $\mathbb{R} ^+$ .

La funzione logaritmica La funzione logaritmica $y=\log_{a} (x)$ è la funzione inversa della funzione esponenziale $y=a^x$ , di conseguenza il suo grafico sarà uguale al simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla retta $y=x$ :

Per questo otteniamo che la funzione logaritmica deve essere Per questo otteniamo che la funzione logaritmica deve essere monotona crescentemonotona crescente(sempre crescente) per $a>1$ , mentre sarà monotona decrescente(sempre decrescente) per $0< a < 1 .$

Siccome per ogni Siccome per ogni $a$ (che rispettano le condizioni di esistenza) abbiamo che:

$\log_{a} (1) = 0$

La funzione deve sempre passare per il punto La funzione deve sempre passare per il punto $(1;0)$ .

Siccome, usando la formula del cambiamento di base, abbiamo:

$\log_{1\over a} (x) =$ $\displaystyle { \frac{\log_{a}(x)}{\log_{a} ({1\over a})}= }$ ${\log_{a} (x) \over -1 }=-\log_{a} (x)$

$y=\log_{1\over a} (x)$ è il simmetrico rispetto all'asse è il simmetrico rispetto all'asse $x$ della funzione $y=\log_{a} (x).$

Grafico di funzioni del tipo $y=\ln(f(x))$

Ricordiamo innanzitutto che Ricordiamo innanzitutto che $\ln(x)$ è il logaritmo base $e$ di x, dove $e$ è il numero di Nepero . Normalmente si studia solo il caso di $\ln(f(x))$ perché non ci si vuole soffermare troppo su questo argomento e si studia solo il più comune.

Per le condizioni di esistenza (C.E.) del logaritmo, dobbiamo avere del logaritmo, dobbiamo avere $f(x)>0$ , altrimenti in quel punto $\ln(f(x))$ non esiste nei numeri reali.

Per tracciare un grafico con buona approssimazione vi basta poi ricordare che:

$\ln(1) = 0$

e che quando e che quando $f(x)$ si avvicina a $0,$ $\ln(x)$ diminuisce e quando $f(x)$ aumenta, $\ln(f(x))$ aumenta.