Cos'è la forma esponenziale dei numeri complessi?

Prima di poter studiare la forma esponenziale dei numeri complessi, conviene studiare cosa significa l'elevamento a potenza con esponente complesso.

Prendiamo per semplicità come base il numero di Nepero $e$. Se abbiamo altre basi, basta riscriverla come una potenza di $e$ grazie alla seguente formula che segue dalla definizione di logaritmo:

Avremo quindi una potenza del tipo:

$e^z$

Dove $z$ è appunto un numero complesso e in quanto tale possiamo scriverlo nella sua forma algebrica come $a+ib$ . Sostituendo otteniamo:

$e^z = e^{a+ib} = e^a \cdot e^{ib}$

Conosciamo già cosa vuol dire $e^a$ perché sappiamo come elevare $e$ ad un numero reale, dunque dobbiamo solo scoprire cosa voglia dire $e^{ib}$. Come possiamo elevare $e$ ad un numero immaginario?

Ci viene in soccorso la formula di Eulero, che ci permette di fare proprio questo. Le sue varie dimostrazioni sono tutte troppo avanzate per questa lezione, quindi purtroppo per ora dovrete prenderla come fatto (se volete abbiamo registrato qui un video con due sue dimostrazioni).

Essa afferma che:

$e^{ix}=\cos (x) + i\sin(x)$

Grazie ad essa possiamo calcolare quanto vale, però cosa significa? Essa ci dice che $e^{ix}$ è uguale ad un numero complesso con parte reale uguale a $\cos(x)$ e con parte immaginaria uguale a $\sin(x).$ Dunque, nel piano complesso corrisponderà al punto di coordinate $(\cos(x),\sin(x)).$

Per le definizioni di $\sin(x)$ e $\cos(x)$ , quel punto apparterrà al circonferenza di raggio $1$ incentrata nell'origine del piano e l'angolo in radianti tra esso e l'asse reale sarà proprio $x.$

Se infatti imponiamo $x=0,$ otteniamo $1.$ Se imponiamo $x={\pi \over 2}$ (che sarebbero $45^{\circ}$ ) otteniamo $i.$ Soprattutto se imponiamo $x=\pi,$ otteniamo $-1:$

Da quell'ultima equazione otteniamo $e^{i\pi}=-1,$ ovvero:

$e^{i\pi} +1 = 0$

Essa viene chiamata identità di Eulero e viene considerata da molti la più bella equazione matematica perché collega tra loro $5$ delle principali costanti matematiche: $e$ , $i$ , $\pi$ , $1$ e $0.$

Dunque elevare $e$ ad un numero immaginario $ib$ equivale a prendere il punto sulla circonferenza unitaria del piano complesso che forma un angolo $b$ con l'asse reale.

Questo ci dice che mentre la funzione esponenziale con numeri reali aumentava sempre di più, questa gira letteralmente intorno a un cerchio ed è dunque una funzione periodica con periodo pari a $2\pi .$

Forma esponenziale dei numeri complessi

Tornando all'argomento principale della lezione, la formula di Eulero ci permette di convertire un numero complesso dalla sua forma trigonometrica alla sua forma esponenziale.

Se infatti abbiamo:

$z=r \cdot [\cos(\theta) + i\sin(\theta)]$

La formula di Eulero ci dice che:

$\cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{i\theta}$

Quindi:

$z=r\cdot e^{i\theta}$

Questa forma non soltanto è più corta ed elegante, ma in molti casi è anche più semplice lavorarci. Ricordate quanto erano lungo moltiplicare due numeri complessi nelle altre due forme?

Ora basta fare il prodotto dei moduli e sommare gli esponenti (per le proprietà delle potenze):

$z=r_1 \cdot e^{i\theta_1}$

$w= r_2 \cdot e^{i\theta_2}$

$z \cdot w = (r_1 \cdot e^{i\theta_1}) \cdot (r_2 \cdot e^{i\theta_2})$ $=r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$

La forma algebrica rimane però quella più utile per sommare due numeri complessi.

Come vedremo in una prossima lezione, la forma esponenziale è utile sopratutto per risolvere le equazioni in $\mathbb{C}.$