Numeri immaginari

Numeri immaginari

Finalmente è arrivato il momento di studiare i numeri che vi permettono di analizzare molte situazioni che fino ad ora il vostro prof vi aveva detto di ignorare: i numeri complessi.

Iniziamo guardando ai numeri immaginari. Questo nome gli è stato conferito secoli fa da Cartesio quando, studiandoli, credeva fossero solo numeri che si potevano immaginare ma che non esistevano nella realtà, differenziandoli quindi dai numeri reali.

In realtà, come vedremo nelle prossime lezioni, questi numeri esistono esattamente come gli altri e grazie alla matematica odierna non vi confonderete come Cartesio. Il nome "immaginari" è rimasto solo per la tradizione.

I numeri immaginari nascono per risolvere un problema: come posso risolvere equazioni come:

• $\displaystyle { x^2 = -1 }$

se non esiste la radice quadrata di numeri negativi? La risposta è che prendiamo la radice quadrata di $\displaystyle { -1 }$ e la chiamiamo $\displaystyle { i }$ :

$i$ viene chiamata "unità immaginaria". Essa non sarà un numero reale, ma a noi non importa. Grazie ad essa possiamo risolvere l'equazione di prima:

$\displaystyle { x^2 = -1 }$

$\displaystyle { x=\pm \sqrt{-1} }$

$\displaystyle { x=\pm i }$

L'unità immaginaria, per definizione, ha queste due proprietà:

$\displaystyle { i=\sqrt{-1} }$

$\displaystyle { i^2=-1 }$

Come Cartesio, potreste chiedervi che senso hanno questi numeri. D'altronde non può esistere un quadrato di lato $\displaystyle { i }$.

Questa situazione è molto simile a quando, millenni prima, i greci non capivano i numeri irrazionali, perché non puoi avere $\displaystyle { \sqrt{3} }$ mele. Quindi, come avete compreso i numeri irrazionali, comprenderete i numeri immaginari e quindi anche i numeri complessi.

I numeri immaginari sono quindi tutte le radici quadrate di numeri negativi. Sono quindi numeri immaginari i seguenti:

• $\displaystyle { \sqrt{-3} }$

• $\displaystyle { \sqrt{-4} }$

• $\displaystyle { \sqrt{-5\over 3} }$

Sfruttando le proprietà delle radici possiamo riscriverli come multipli di $\displaystyle { i }$:

• $\displaystyle { \sqrt{-3}=\sqrt{3\cdot -1}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{-1}=\sqrt{3} i }$

• $\displaystyle { \sqrt{-4} = \sqrt{3 \cdot -1}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{-1} = 2i }$

• $\displaystyle { \sqrt{-5\over 3} = \sqrt{{5\over 3} \cdot -1} = }$ $\displaystyle { \sqrt{5\over 3}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{5\over 3}i }$

Quindi sono anche numeri immaginari il prodotto di un numero reale per l'unità immaginaria. Sono dunque numeri immaginari anche:

• $\displaystyle { 3i }$

• $\displaystyle { 2i }$

• $\displaystyle { -{2\over3}i }$

• $\displaystyle { -\sqrt{5}i }$

Questo basta per quanto riguarda i numeri immaginari. Li studieremo più approfonditamente nelle prossime lezioni sui numeri complessi.