Il teorema di Lagrange viene spesso visto come una generalizzazione del teorema di Rolle (che abbiamo visto qui 👈). Infatti, esso enuncia che:
Se una funzione è continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato allora esiste un punto c in quell'intervallo tale che:
Il rapporto che troviamo a destra, per definizione, altro non è che il coefficiente angolare della retta passante per i punti e
Per la definizione di derivata, poi, è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in
Quindi, dire che questi due coefficienti angolari sono uguali, vuol dire, per la definizione di parallelismo, che la tangente a è parallela alla retta passante per quei due punti:
Nel caso in cui riotteniamo il teorema di Rolle, per questo si tratta di una sua generalizzazione. Dimostriamo ora questo teorema.
Definiamo la seguente funzione:
Siccome sia che sono due funzioni continue e derivabili, anche lo dovrà essere.
Ora, a cosa ci serve questa nuova funzione? e quanto vale
Questa funzione sarà molto utile perché sceglieremo un tale che:
Se andiamo ad espandere otteniamo:
Sostituendo con otteniamo:
Cioè, la funzione soddisfa le condizioni per poter applicare il teorema di Rolle. Questo, quindi, è stato possibile perché potevamo scegliere qualsiasi numero reale per
Notate che e sono i due estremi di un intervallo chiuso e limitato, dunque non possono essere uguali, quindi deve essere diverso da e non ci sono quindi problemi di esistenza.
Ora sostituiamo nell'equazione per
e prendiamo la derivata da entrambi i lati:
Ora, però, siccome soddisfava le condizioni per poter applicare il teorema di Rolle, deve esserci un punto tale che Quindi otteniamo:
Ed ecco dimostrato il teorema di Lagrange.
