Il teorema di Rolle enuncia che:
Se una funzione è continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato e i valori della funzione nei limiti dell'intervallo sono uguali, allora deve esserci almeno un punto nell'intervallo in cui la derivata di si annulla.
Può sembrare un po' complicato da comprendere la prima volta che lo si sente perché è un po' lungo da enunciare, però dopo averci pensato un po' risulta molto intuitivo, per questo viene solitamente studiato a scuola.
Dunque, prendiamo una funzione che assume lo stesso valore negli estremi di un intervallo chiuso e limitato. Il caso più semplice è che si tratti di una funzione costante:
Siccome la derivata di una funzione costante è, appunto, sempre il teorema è verificato.
Supponiamo quindi, che la funzione stia aumentando ad
Siccome si tratta di una funzione continua, se sta aumentando, per tornare al valore di partenza, dovrà diminuirlo. Questo però significa che all'inizio la derivata di è positiva e poi diventa negativa.
Dunque, se da positiva deve diventare negativa, dovrà per forze passare per e dunque il teorema è verificato.
Lo stesso esatto ragionamento si applica nel caso in cui la funzione stia diminuendo ad
