Teorema di Rolle

Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle enuncia che:

Se una funzione $\displaystyle { f(x) }$ è continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato e i valori della funzione nei limiti dell'intervallo sono uguali, allora deve esserci almeno un punto nell'intervallo in cui la derivata di $\displaystyle { f(x) }$ si annulla.

Può sembrare un po' complicato da comprendere la prima volta che lo si sente perché è un po' lungo da enunciare, però dopo averci pensato un po' risulta molto intuitivo, per questo viene solitamente studiato a scuola.

Dunque, prendiamo una funzione $\displaystyle { f(x) }$ che assume lo stesso valore negli estremi di un intervallo chiuso e limitato. Il caso più semplice è che si tratti di una funzione costante:

Siccome la derivata di una funzione costante è, appunto, sempre $\displaystyle { 0, }$ il teorema è verificato.

Supponiamo quindi, che la funzione stia aumentando ad $\displaystyle { a: }$

Siccome si tratta di una funzione continua, se sta aumentando, per tornare al valore di partenza, dovrà diminuirlo. Questo però significa che all'inizio la derivata di $\displaystyle { f(x) }$ è positiva e poi diventa negativa.

Dunque, se da positiva deve diventare negativa, dovrà per forze passare per $\displaystyle { 0 }$ e dunque il teorema è verificato.

Lo stesso esatto ragionamento si applica nel caso in cui la funzione stia diminuendo ad $\displaystyle { a. }$