Cos'è il moto su piano inclinato?

Cosa succede se lasciamo scivolare un corpo su un piano inclinato? Se il piano è liscio (ovvero privo di attrito), il moto effettuato dal corpo è un moto su un piano liscio inclinato. Si tratta, come vedremo, di un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Consideriamo il caso in cui il corpo parte da fermo ed è libero di scivolare. La forza di gravità è l’unica forza ad agire su di esso.

Conoscendo l’altezza del piano possiamo calcolare la velocità finale $v_f$ e conoscendo anche l’inclinazione possiamo calcolare il tempo impiegato $t_f.$

Questa volta però l’accelerazione non è uguale all’accelerazione di gravità ( $g$ ).

Questo perché la forza di gravità punta verso il basso mentre il corpo si sta muovendo obliquamente. Dobbiamo quindi trovare la componente dell’accelerazione sulla direzione del moto, ovvero $g_{\parallel}$ (g parallelo).

Si può dimostrare che l’angolo $\alpha$ è uguale all’angolo $\gamma$ . Di conseguenza, avremo:

${{g_{\parallel}} \over g} =\sin (\alpha)$

Abbiamo quindi trovato la nostra accelerazione (conoscendo l’inclinazione).

Conoscendo l’altezza del piano inclinato e la sua inclinazione possiamo trovare la sua lunghezza. Infatti:

${h\over l}=\sin(\alpha)$

Imponiamo l’origine alla fine del piano, l’orientamento verso il basso e $t_0=0.$ Siccome $S_0$ è all’inizio del piano, sarà uguale a $–l$.

Inoltre, visto che parte da fermo, avremo $v_0=0.$

Questa volta però, dato che l’orientamento è verso il basso, avremo $a=g_{\parallel}.$ Quindi la nostra legge oraria sarà:

$S(t)=S_ 0+v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}$

$S(t)=-l +0 +{g_{\parallel} t^2 \over 2}$

Nel momento $t_f$ in cui il corpo giunge alla fine del piano abbiamo $S(t_f)=0$ (perché abbiamo imposto la fine del piano come origine), quindi:

$0=-l+{g_{\parallel}{t_f}^2 \over 2}$

Isoliamo $t_f:$

${g_{\parallel}{t_f}^2 \over 2} = l$

${t_f}^2={2l \ \over g_{\parallel}}$

$t_f=\sqrt{2l \over g_{\parallel}}$

Ricordando che $g_{\parallel}=g\cdot \sin(\alpha)$ e che $l={h\over \sin(\alpha)}$ , avremo:

$t_f=\sqrt{{2h\over \sin (\alpha)}\over g \sin (\alpha)}$

Per trovare invece la velocità finale usiamo la legge oraria della velocità :

che, siccome $v_0=0,$ $t_0=0$ e $a=g_{\parallel},$ diventa:

$v(t)=g_{\parallel} t$

Quindi al momento $t_f$ avremo:

$v(t_f)=g_{\parallel} t_f$

$v_f=g_{\parallel} \cdot \sqrt {2h\over {g \sin (\alpha)^2}}$

$v_f=\sqrt{2h{g_{\parallel}}^2 \over {g {\sin (\alpha)}^2}}$

$v_f=\sqrt{2h g^{2}\sin (\alpha)^2 \over g \sin (\alpha)^2}$

Si nota che la velocità finale non è influenzata dall’inclinazione ed è infatti uguale alla velocità finale del moto di caduta libera, che sarebbe il moto su un piano inclinato quando $\alpha =90^{\circ}$ (ovvero quando il piano è verticale).