Moto su piano inclinato

Cos'è il moto su piano inclinato?

Cosa succede se lasciamo scivolare un corpo su un piano inclinato? Se il piano è liscio (ovvero privo di attrito), il moto effettuato dal corpo è un moto su un piano liscio inclinato. Si tratta, come vedremo, di un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Consideriamo il caso in cui il corpo parte da fermo ed è libero di scivolare. La forza di gravità è l’unica forza ad agire su di esso.

Conoscendo l’altezza del piano possiamo calcolare la velocità finale $\displaystyle { v_f }$ e conoscendo anche l’inclinazione possiamo calcolare il tempo impiegato $\displaystyle { t_f. }$

Questa volta però l’accelerazione non è uguale all’accelerazione di gravità ( $\displaystyle { g }$ ).

Questo perché la forza di gravità punta verso il basso mentre il corpo si sta muovendo obliquamente. Dobbiamo quindi trovare la componente dell’accelerazione sulla direzione del moto, ovvero $\displaystyle { g_{\parallel} }$ (g parallelo).

Si può dimostrare che l’angolo $\displaystyle { \alpha }$ è uguale all’angolo $\displaystyle { \gamma }$ . Di conseguenza, avremo:

$\displaystyle { {{g_{\parallel}} \over g} =\sin (\alpha) }$

Abbiamo quindi trovato la nostra accelerazione (conoscendo l’inclinazione).

Conoscendo l’altezza del piano inclinato e la sua inclinazione possiamo trovare la sua lunghezza. Infatti:

$\displaystyle { {h\over l}=\sin(\alpha) }$

Imponiamo l’origine alla fine del piano, l’orientamento verso il basso e $\displaystyle { t_0=0. }$ Siccome $\displaystyle { S_0 }$ è all’inizio del piano, sarà uguale a $\displaystyle { –l }$.

Inoltre, visto che parte da fermo, avremo $\displaystyle { v_0=0. }$

Questa volta però, dato che l’orientamento è verso il basso, avremo $\displaystyle { a=g_{\parallel}. }$ Quindi la nostra legge oraria sarà:

$\displaystyle { S(t)=S_ 0+v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2} }$

$\displaystyle { S(t)=-l +0 +{g_{\parallel} t^2 \over 2} }$

Nel momento $\displaystyle { t_f }$ in cui il corpo giunge alla fine del piano abbiamo $\displaystyle { S(t_f)=0 }$ (perché abbiamo imposto la fine del piano come origine), quindi:

$\displaystyle { 0=-l+{g_{\parallel}{t_f}^2 \over 2} }$

Isoliamo $\displaystyle { t_f: }$

$\displaystyle { {g_{\parallel}{t_f}^2 \over 2} = l }$

$\displaystyle { {t_f}^2={2l \ \over g_{\parallel}} }$

$\displaystyle { t_f=\sqrt{2l \over g_{\parallel}} }$

Ricordando che $\displaystyle { g_{\parallel}=g\cdot \sin(\alpha) }$ e che $\displaystyle { l={h\over \sin(\alpha)} }$ , avremo:

$\displaystyle { t_f=\sqrt{{2h\over \sin (\alpha)}\over g \sin (\alpha)} }$

Per trovare invece la velocità finale usiamo la legge oraria della velocità :

che, siccome $\displaystyle { v_0=0, }$ $\displaystyle { t_0=0 }$ e $\displaystyle { a=g_{\parallel}, }$ diventa:

$\displaystyle { v(t)=g_{\parallel} t }$

Quindi al momento $\displaystyle { t_f }$ avremo:

$\displaystyle { v(t_f)=g_{\parallel} t_f }$

$\displaystyle { v_f=g_{\parallel} \cdot \sqrt {2h\over {g \sin (\alpha)^2}} }$

$\displaystyle { v_f=\sqrt{2h{g_{\parallel}}^2 \over {g {\sin (\alpha)}^2}} }$

$\displaystyle { v_f=\sqrt{2h g^{2}\sin (\alpha)^2 \over g \sin (\alpha)^2} }$

Si nota che la velocità finale non è influenzata dall’inclinazione ed è infatti uguale alla velocità finale del moto di caduta libera, che sarebbe il moto su un piano inclinato quando $\displaystyle { \alpha =90^{\circ} }$ (ovvero quando il piano è verticale).