Giroscopio

Che cos'è un giroscopio?

Se avete mai giocato con una trottola, avrete notato che se la fate girare, invece di cadere a terra, rimane in piedi finché continua a ruotare su sé stessa.

Questo succede grazie all'effetto giroscopico. Gli oggetti che possono sfruttare questo effetto vengono chiamati giroscopi.

Si tratta di un argomento abbastanza complicato, per questo nella prossima sezione ci limiteremo a dare una spiegazione intuitiva e qualitativa del suo funzionamento, mentre l'ultima sezione conterrà i calcoli veri e propri per chi volesse approfondire.

Come funziona un giroscopio?

Ci limiteremo a studiare il giroscopio più semplice in assoluto, ovvero un disco attaccato a un bastoncino:

Questo giroscopio, però, necessita di un sostengo per poter funzionare. Dobbiamo infatti appoggiare l'estremità del bastoncino su di un palo:

Iniziamo studiando cosa succede quando appoggiamo semplicemente il giroscopio sul sostegno:

La forza di gravità spinge il giroscopio verso il basso, ma siccome è appoggiato sopra un sostengo, la reazione vincolare di quest'ultimo compensa la forza di gravità:

Anche se la forza netta è nulla, il sistema non è in equilibrio: questo perché dobbiamo considerare anche il momento delle forze.

La forza di gravità va applicata sul baricentro dell'oggetto, quindi (per semplicità) supponiamo che la massa del bastoncino sia trascurabile rispetto alla massa del disco: in questo modo il baricentro sarà semplicemente il centro del disco.

Adesso dobbiamo scegliere l'origine $\displaystyle { O }$ rispetto alla quale dovremo misurare i momenti delle forze. Per semplicità scegliamo il punto di contatto tra il bastoncino e il sostegno:

Ricordiamoci che il momento di una forza si calcola come il prodotto vettoriale tra il raggio vettore che congiunge la forza con l'origine e la forza:

La reazione vincolare è applicata direttamente sull'origine, quindi il raggio vettore è nullo e perciò anche il momento della forza è nullo.

Per la forza di gravità, invece, avremo il seguente raggio vettore:

Notiamo che il raggio vettore avrà modulo $\displaystyle { r }$ pari alla lunghezza del bastoncino.

Questo momento della forza di gravità causerà un momento angolare.

Tecnicamente abbiamo $\displaystyle { {d\overrightarrow{L} \over dt} = \overrightarrow{M} }$, ma se non avete ancora studiato le derivate, potete pensare semplicemente che la presenza di un momento di una forza causa una variazione del momento angolare nel tempo, esattamente come una comune forza causa una variazione della velocità nel tempo.

Utilizzando la regola della mano destra, otteniamo che il vettore momento angolare punta dentro allo schermo su cui stai leggendo questa lezione:

Associamo questo momento angolare ad una rotazione.

Per capire come avviene, dobbiamo puntare il nostro pollice destro nella direzione del momento angolare e vedere come ruotano le nostre dita quando chiudiamo la mano.

In questo caso notiamo una rotazione in senso orario nel piano sul quale è scritta questa lezione:

Potrebbe sembrare banale il fatto che il giroscopio cada in questo modo: è qualcosa di estremamente intuitivo e bastava calcolarlo usando il momento della forza di gravità, non serviva il momento angolare.

Abbiamo però seguito questa lunga introduzione perché comprende la rotazione dal punto di vista del momento angolare è fondamentale per comprende l'effetto giroscopico che ora stiamo finalmente per osservare.

Infatti, supponiamo che invece di stare fermo, il disco stia ruotando su sé stesso con una velocità angolare costante $\displaystyle { \omega }$

Come abbiamo detto prima, avremo un momento angolare associato alla rotazione. Seguirà la direzione indicata dal nostro pollice destro quando chiudiamo la nostra mano facendo ruotare le dita nel verso della rotazione del disco:

Quindi notiamo che il momento angolare punta verso destra.

Sul disco agirà la forza di gravità, che causerà il momento angolare che abbiamo visto prima:

Il momento angolare totale del sistema sarà dato dalla somma dei due momenti angolari.

Per visualizzarlo più chiaramente, vediamo la situazione dall'alto:

Possiamo dunque usare il metodo del parallelogramma per sommare i due vettori:

Il nuovo momento angolare causa una rotazione seguendo la regola della mano destra:

Affinché una rotazione del genere sia possibile, il disco deve avere ruotato per poter ruotare in quella direzione:

La forza di gravità però causa di nuovo un momento angolare perpendicolare a quello precedente:

Questo alimenta la rotazione e fa sì che il giroscopio continui a girare invece di cadere. Questo moto viene chiamato moto di precessione del giroscopio.

Rivediamo la situazione da davanti al giroscopio per comprendere come sta ruotando:

Il giroscopio ruota nel piano perpendicolare allo schermo.

Dovete pensare che il momento angolare causato dalla forza di gravità non causa più una rotazione verso il basso, ma viene sommato al momento angolare del disco che gira.

Siccome i due momenti angolari sono sempre perpendicolari, questa somma varia la direzione del momento angolare senza modificare il suo modulo. Infatti, mentre il giroscopio gira, il momento angolare del disco e quello della forza di gravità ruotano anch'essi in modo da restare sempre perpendicolari.

Siccome il momento angolare si conserva, il giroscopio continuerà a girare intorno al palo su cui è stato appoggiato finché qualcosa non lo fermerà (come l'attrito dell'aria).

Dimostrazione

Prendiamo sempre l'esempio di prima:

Il momento angolare del disco sarà uguale a:

dove $\displaystyle { I }$ è il momento d'inerzia del disco e $\displaystyle { \overrightarrow{\omega} }$ è la velocità angolare del disco.

Per il momento angolare causato dalla forza di gravità invece avremo:

Vedendo il giroscopio dall'alto, siccome $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ e $\displaystyle { \overrightarrow{L_d} }$ sono perpendicolari, una piccola variazione dovuta da un infinitesimale $\displaystyle { \overrightarrow{dL} }$ manterrà il modulo di $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ invariato facendolo però ruotare di un angolo $\displaystyle { d\theta: }$

Per angoli infinitesimali come $\displaystyle { d\theta }$, l'angolo è uguale alla sua tangente:

ma $\displaystyle { \tan(d\theta) }$ è uguale al cateto opposto fratto il cateto adiacente, ovvero è uguale a $\displaystyle { {dL\over L_d} }$, dunque:

dividendo entrambi i lati per $\displaystyle { dt }$ otteniamo:

ma $\displaystyle { {d\theta \over dt} }$ è per definizione la velocità angolare del moto di precessione del giroscopio, che possiamo chiamare $\displaystyle { \Omega, }$ mentre possiamo usare le relazione trovate prima per calcolare l'espressione a destra dell'uguale.

Sappiamo infatti che:

e quindi:

mentre avevamo anche che:

ma il raggio vettore e la forza di gravità, nel nostro esempio, sono sempre perpendicolari, dunque:

dove $\displaystyle { m }$ è la massa del giroscopio. Perciò la nostra equazione diventa:

Notiamo che tutti i termini a destra dell'uguale sono delle costanti, dunque anche la velocità angolare del moto di precessione deve essere costante, per questo avremo un moto circolare uniforme con velocità angolare pari a quella riportata sopra.