Momento angolare

Cos'è il momento angolare?

Per definire il momento angolare, dobbiamo prima prendere un origine, cioè un punto di riferimento rispetto al quale guardarlo. Normalmente, nel caso delle rotazioni, si fa coincidere l'origine con il fulcro, ma non sempre è così.

Per trovare il momento angolare di un punto prendiamo il raggio vettore che congiunge l'origine al punto e il vettore quantità di moto del punto:

Nel nostro disegno il punto si sta muovendo su una traiettoria circolare, ma in generale può percorrere qualsiasi traiettoria.

Chiamiamo infine $\displaystyle { \theta }$ l'angolo che si forma tra il raggio vettore $\displaystyle { \overrightarrow{r} }$ e la quantità di moto $\displaystyle { \overrightarrow{q}: }$

Ora siamo pronti a definire il momento angolare di quel punto $\displaystyle { P: }$

Il momento angolare $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ di un punto $\displaystyle { P }$ è il prodotto vettoriale tra il raggio vettore $\displaystyle { \overrightarrow{r} }$ e la sua quantità di moto $\displaystyle { \overrightarrow{q} }$.

$\displaystyle { \overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q} }$

Notiamo quindi che è molto simile al momento di una forza, solo che al posto della forza abbiamo la quantità di moto.

Infatti, il momento della forza è il corrispettivo della forza nei moti rotazionali e il momento angolare è il corrispettivo della quantità di moto nei moti rotazionali.

Avendo già familiarità con il prodotto vettoriale, saprete bene che il modulo di $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ è dunque calcolabile come il prodotto dei moduli dei fattori per il seno dell'angolo tra i due:

La sua direzione sarà la retta perpendicolare sia a $\displaystyle { \overrightarrow{r} }$ che a $\displaystyle { \overrightarrow{q} }$ e il suo verso sarà determinato dalla regola della mano destra.

Ci ricordiamo, però, che la quantità di moto, in assenza di forze, si conservava.

Allora, essendo il momento angolare il suo corrispettivo nei moti rotatori, anch'esso si conserverà? Sì e adesso vediamo la dimostrazione di questo fatto:

Conservazione del momento angolare

Adesso dimostriamo che, in assenza di momenti delle forze (o se la loro risultante è nulla) il momento angolare si conserva.

Nella lezione sul momento di inerzia e sulla accelerazione angolare (clicca qui 👈) avevamo visto che la seconda legge della dinamica valeva anche se usiamo i corrispettivi della dinamica rotazionale:

Dove appunto $\displaystyle { \overrightarrow{M} }$ è il momento della forza, $\displaystyle { I }$ è il momento di inerzia ed $\displaystyle { \overrightarrow{\alpha} }$ è l'accelerazione angolare.

Sappiamo bene che la quantità di moto di un corpo $\displaystyle { \overrightarrow{q} }$ si può calcolare come il prodotto tra la massa e la velocità:

$\displaystyle { \overrightarrow{q} = m \overrightarrow{v} }$

Possiamo "tradurre" questa legge nella dinamica rotazionale mettendo il momento angolare al posto di $\displaystyle { \overrightarrow{q}, \, I }$ al posto di $\displaystyle { m }$ e la velocità angolare $\displaystyle { \overrightarrow{\omega} }$ al posto della velocità $\displaystyle { \overrightarrow{v}: }$

$\displaystyle { \overrightarrow{L} = I \overrightarrow{\omega} }$

Da questo otteniamo:

$\displaystyle { \Delta \overrightarrow{L} = I \Delta \overrightarrow{\omega} }$

Ed ora dividiamo tutto per $\displaystyle { \Delta t: }$

$\displaystyle { {\Delta \overrightarrow{L}\over \Delta t} = {I \Delta \overrightarrow{\omega}\over \Delta t} }$

Per definizione, però, la variazione della velocità angolare nel tempo è l'accelerazione angolare (cioè $\displaystyle { \overrightarrow{\alpha} = {\Delta \overrightarrow{\omega}\over \Delta t} }$ ), quindi:

$\displaystyle { {\Delta \overrightarrow{L}\over \Delta t} = I \overrightarrow{\alpha} }$

Ed abbiamo detto prima che $\displaystyle { \overrightarrow{M} = I \overrightarrow{\alpha}, }$ dunque sostituendo otteniamo:

(Che tra l'altro notiamo essere uguale alla formula che avevamo nella dinamica traslazionale ( $\displaystyle { {\Delta \overrightarrow{q}\over \Delta t } = \overrightarrow{F} }$ )).

Questo significa che la variazione del momento angolare $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ in un tempo $\displaystyle { \Delta t }$ è uguale al momento totale delle forze. Quindi se quest'ultimo è uguale a $\displaystyle { 0, }$ allora anche la variazione è nulla, cioè $\displaystyle { \overrightarrow{L} }$ è costante:

Se il momento totale delle forze che agiscono su un sistema è nullo, allora il momento angolare si conserva.