Cos'è un vettore?

I vettori sono un argomento molto importante e incredibilmente vasto in fisica ed in matematica. Per ora, vedremo ad un vettore come una freccia orientata nello spazio:

Per indicare che x si tratta di un vettore gli mettiamo una freccetta sopra:

Al contrario degli scalari (i numeri), i vettori hanno bisogno di tre informazioni per essere descritti:

Un vettore può variare in lunghezza:

Questa lunghezza si chiama modulo. Il modulo di un vettore $\overrightarrow{x\, \,}$ si può indicare in vari modi:

Possiamo togliere la freccetta e scriverlo $x$ , possiamo mettere il vettore fra due stanghette verticali $\left | \overrightarrow{x} \right |$ o anche in mezzo a quattro stanghette $\left | \overrightarrow{x} \right |$ .

Inoltre il vettore ha una direzione:

Infine possiamo notare che i due seguenti vettori hanno stesso modulo e direzione, ma non sono uguali:

Questo perché hanno verso opposto, l’ultima informazione che ci serve per identificare un vettore.

Quindi un vettore ha un modulo, una direzione e un verso.

Le estremità di un vettore vengono chiamate punta e coda:

Operazioni tra vettori

Moltiplicazione per uno scalare

Se moltiplichiamo un vettore $\overrightarrow{x\, \,}$ per uno scalare positivo $c$ equivale a moltiplicare il modulo di $\overrightarrow{x}$ per $c$ :

Quindi equivale ad allungarlo o a restringerlo.

Se $c$ è negativo, dobbiamo anche cambiare il verso del vettore:

Se quindi moltiplichiamo un vettore per $0$ , otteniamo il vettore nullo $\overrightarrow{0\, \,}$ :

Somma algebrica tra due vettori

Possiamo sommare due vettori usando il metodo del parallelogramma:

Prendiamo uno dei due vettori e lo trasliamo in maniera da far coincidere le code dei due vettori:

Ora costruiamo il parallelogramma con lati le due frecce:

La somma tra i due vettori $\overrightarrow{x\,\,}$ e $\overrightarrow{y\,\,}$ è il vettore con coda il punto di sovrapposizione delle due code e con punta il vertice opposto del parallelogramma:

Alternativamente possiamo usare il metodo punto-coda:

Prendiamo uno dei due vettori e lo trasliamo in maniera da far coincidere la punta del primo con la coda del secondo:

La somma dei due vettori è il vettore con coda la coda del primo e con punto la punto del secondo:

Possiamo notare che infatti otteniamo lo stesso risultato.

Per fare la differenza tra due vettori, dobbiamo fare la somma del primo e dell‘opposto del secondo. La differenza tra due vettori $\overrightarrow{v\,\,}$ e $\overrightarrow{w\,\,}$ la possiamo vedere come:

$\overrightarrow{v\,\,} - \overrightarrow{w\,\,}$

Ma anche come:

$\overrightarrow{v\,\,} + (-\overrightarrow{w\,\,})$

Infine, $-\overrightarrow{w\,\,}$ lo possiamo vedere come il vettore $\overrightarrow{w\,\,}$ moltiplicato per $-1$ , ovvero il vettore $\overrightarrow{w\,\,}$ , ma con verso opposto.

Quindi quando abbiamo una differenza tra due vettori, dobbiamo cambiare di segno il vettore che stiamo sottraendo:

E sommarlo al primo vettore:

Equipollenza tra vettori

Due vettori si dicono equipollenti se hanno stesso modulo, direzione e verso:

L’equipollenza gode di tre proprietà:

Componenti di un vettore

Possiamo inserire un nostro vettore $\overrightarrow{v\,\,}$ in un sistema di riferimento:

Possiamo proiettare $\overrightarrow{v\,\,}$ sugli assi e notare che se sommiamo le due proiezioni riotteniamo $\overrightarrow{v}$

Quindi:

$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}_x + \overrightarrow{v}_y$

Prendiamo ora il vettore con modulo pari a $1$ sull‘asse $x) e quello sull‘asse y e chiamiamoli rispettivamente \hat{i} e \hat{j}:$

Un vettore con modulo pari ad $1$ viene chiamato versore. $\hat{i}$ e $\hat{j}$ sono quindi i versori sull‘asse $x$ e sull‘asse $y$ .

Notiamo che possiamo scrivere il modulo delle componenti come:

Quindi, ricordando che moltiplicare un vettore per uno scalare è uguale a moltiplicare il modulo per esso, otteniamo che possiamo riscrivere le componenti come multipli dei versori sugli assi.

Il numero per cui dobbiamo moltiplicare sarà proprio il modulo delle componenti siccome i versori hanno modulo pari ad $1$ :

$\overrightarrow{v}_x = v_x \hat{i}$

$\overrightarrow{v}_y = v_y \hat{j}$

Possiamo quindi riscrivere il nostro vettore come:

$\overrightarrow{v}= \overrightarrow{v}_x + \overrightarrow{v}_y = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$

Abbiamo quindi scomposto il nostro vettore con le sue componenti sugli assi $x$ ed $y$ .

È molto più facile sommare due vettori scomposti sugli assi:

Se prendiamo un vettore:

$\overrightarrow{v}= v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$

E un vettore:

$\overrightarrow{w}=w_x \hat{i} + w_y \hat{j}$

La loro somma sarà:

$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + w_x \hat{i} + w_y \hat{j} = (v_x + w_x) \hat{i} + (v_y + w_y)\hat{j}$

Quindi la somma di due vettori è uguale ad un vettore con componenti la somma delle componenti.

Se ad esempio abbiamo:

$\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + 5 \hat{j}$

E

$\overrightarrow{w} = 3\hat{i} + 2 \hat{j}$

Avremo che:

$\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w} = (2+3)\hat{i} + (5+2)\hat{j} = 5\hat{i} + 7 \hat{j}$

Se dobbiamo passare da $2$ a $3$ dimensioni, ci basta aggiungere un‘asse $z$ con versore $\hat{k}$ :

E avremo:

$\overrightarrow{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat {k}$

Usando un‘altra notazione possiamo scrivere il vettore come una matrice con solo una colonna, le cui entrate sono le componenti del vettore:

$\overrightarrow{v} = \left (\begin{array}{l} v_x \\ v_y \end{array}\right)$

Possiamo quindi sommare i due vettori sommando le due matrici:

$\overrightarrow{v} = \left (\begin{array}{l} v_x \\ v_y \end{array}\right)$

E

$\overrightarrow{w} = \left (\begin{array}{l} w_x \\ w_y \end{array}\right)$

Avremo:

$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \left (\begin{array}{l} v_x + w_x \\ v_y + w_y \end{array}\right)$

Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Sappiamo come sommare due vettori, ma come possiamo moltiplicarli tra di loro? Esistono in realtà più modi. Uno di essi è il prodotto scalare:

Il prodotto scalare tra due vettori $\overrightarrow{v\,\,}$ e $\overrightarrow{w\,\,}$ è uguale al prodotto tra i due moduli per il coseno dell‘angolo fra i due.

Si indica con un puntino $\cdot$ :

Si chiama prodotto scalare perché da come risultato uno scalare. Possiamo proiettare $\overrightarrow{v\,\,}$ sulla direzione di $\overrightarrow{w\,\,}$:

E siccome avremo:

$v_{\parallel}= v \cos(\theta)$

Possiamo riscrivere il prodotto scalare come:

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = w v \cos(\theta) = wv_{\parallel}$

Possiamo effettuare lo stesso procedimento per $\overrightarrow{w\,\,}$ ed ottenere:

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = vw\cos(\theta) = v w_{\parallel}$

Siccome $\cos(90^{\circ})=0$ , il prodotto scalare fra due vettori perpendicolare è uguale a $0$.

Siccome il coseno di angoli compresi tra $90^{\circ}$ e $270^{\circ}$ è negativo, quindi un prodotto scalare può dare risultati negativi.

Se scriviamo i due vettori scomposti nelle loro componenti:

$\overrightarrow{v} = \left (\begin{array}{l} v_x \\ v_y \end{array}\right)$

$\overrightarrow{w}=\left (\begin{array}{l} w_x \\ w_y \end{array}\right)$

Il prodotto scalare fra i due è uguale alla somma dei prodotti delle componenti di ogni asse:

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \left (\begin{array}{l} v_x \\ v_y \end{array}\right) \cdot \left (\begin{array}{l} w_x \\ w_y \end{array}\right) = v_x w_x + v_y w_y$

Quindi conoscendo le componenti dei due vettori, il loro prodotto scalare si può calcolare molto velocemente.

Il prodotto scalare è inoltre commutativo:

E distributivo:

Possiamo moltiplicare due vettori anche usando il prodotto vettoriale.

Esso si indica con una croce $\times$ e da come risultato un vettore perpendicolare ai due e con modulo pari al prodotto dei loro moduli per il seno dell‘angolo fra i due:

Quindi se avete disegnato i due vettori sul vostro foglio, il loro prodotto vettoriale sarà un vettore entrante o uscente dal foglio.

Siccome il seno di $0^{\circ}$ e di $180^{\circ}$ sono entrambi uguali a $0$ , il prodotto vettoriali tra due vettori con stessa direzione è sempre nullo:

Se abbiamo due vettori nello spazio tridimensionale scomposti nelle loro componenti:

$\overrightarrow{v} = \left (\begin{array}{l} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)$

$\overrightarrow{w}= \left (\begin{array}{l} w_x \\ w_y \\ w_z \end{array}\right)$

Possiamo calcolare il loro prodotto vettoriale nel seguente modo:

Prendiamo una matrice ${3\times 3}$ e mettiamo nella prima riga i versori degli assi e nelle altre due le componenti dei vettori sotto il corrispettivo versore:

$\left[ \begin{array}{l} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{array} \right ]$

Il prodotto vettoriale è uguale al determinante di questa matrice. Per calcolarlo dobbiamo momentaneamente eliminare la prima riga e la prima colonna:

E calcoliamo il determinante della matrice $2\times 2$ rimasta e moltiplichiamolo per $\hat{i}$ :

Ora invece cancelliamo la prima riga e la seconda colonna e moltiplichiamolo per $\hat{j}$ :

E calcoliamo il determinante della matrice rimasta e moltiplichiamolo per $\hat{k}$ :

Cancelliamo quindi la prima riga e la terza colonna e calcoliamo il determinante dell‘ultima matrice:

Ed ora sommiamo il primo e il terzo, mentre sottraiamo il secondo. Il risultato equivale al prodotto vettoriale dei due vettori:

$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = (v_y w_z - v_1 w_3) \hat{i} - (v_x w_z - v_z w_x) \hat{j} + ( v_x w_y - v_y w_x)$

Potete memorizzare il procedimento ricordando che per trovare i determinanti moltiplicate le componenti disegnando delle croci. Infatti il prodotto vettoriale viene spesso chiamato prodotto in croce e in inglese si dice cross product.

Il prodotto vettoriale è distributivo:

Ma non è commutativo, infatti:

Infatti, per calcolare il verso (che determina il segno) dobbiamo usare la regola della mano destra:

Con la mano destra, fingiamo di ruotare il primo vettore sul secondo. La direzione che indica il vostro pollice equivale al verso del vettore:

Se ruotiamo il secondo sul primo invece che il primo sul secondo, il nostro pollice punterà nel verso opposto, dunque il prodotto vettoriale non è commutativo.