Trinomio notevole

Regola del trinomio notevole

La regola del trinomio notevole si usa per scomporre alcuni trinomi particolari ed è particolarmente veloce se ci si prende la mano.

Iniziamo analizzando come scomporre i trinomi del tipo:

Hanno come coefficiente del termine al quadrato $\displaystyle { 1 }$ ed è spesso possibile (non sempre) scomporlo trovando $\displaystyle { 2 }$ numeri la cui somma da $\displaystyle { s }$ e il cui prodotto è $\displaystyle { p }$ .

Per trovare i due numeri che ci permettono di scomporre il polinomio si può impostare un sistema (come fare 👈), anche se spesso le soluzioni si trovano a colpo d’occhio.

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = p\end{array} \right. }$

Trovate le soluzioni del sistema ci basterà riscrivere il polinomio come:

$\displaystyle { (x+a)(x+b) }$

Esempi:

$\displaystyle { {\tiny{•}} \, \, x^2-x-2 \longrightarrow (x-2)(x+1) }$

$\displaystyle { {\tiny{•}} \, \, x^2+6x+5 \longrightarrow (x+1)(x+5) }$

In generale, però, il coefficiente del termine di secondo grado non è $\displaystyle { 1. }$ Potremmo avere dei trinomi del tipo:

$\displaystyle { cx^2 + sx +p }$

In tal caso abbiamo due opzioni:

La prima è di raccogliere $\displaystyle { c, }$ ottenendo $\displaystyle { c (x^2 + {s\over c} x + {p\over c}) }$ e scomporre il trinomio tra parentesi con il metodo di prima.

Quando, però, $\displaystyle { s }$ e $\displaystyle { p }$ non sono divisibili per $\displaystyle { c, }$ otteniamo delle frazioni con cui può essere molto scomodo lavorare.

Quindi possiamo usare la seconda opzione:

Impostiamo sempre un sistema per trovare due numeri $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b, }$ ma questa volta la loro somma deve essere uguale a $\displaystyle { s }$ ed il prodotto uguale a $\displaystyle { pc }$ (Notate infatti che se mettiamo $\displaystyle { c=1 }$ riotteniamo le formule di prima).

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = pc\end{array} \right. }$

Una volta trovati $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b, }$ siccome $\displaystyle { s=a+b, }$ possiamo riscrivere $\displaystyle { sx }$ com $\displaystyle { ax + bx. }$

Sostituendolo nel trinomio otteniamo $\displaystyle { cx^2 + ax + bx + pc. }$ Se avete trovato correttamente $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b, }$ questo polinomio deve essere scomponibile tramite un raccoglimento parziale.

Vediamo un esempio:

• $\displaystyle { 2x^2 + 5x + 3. }$

Esempio:

Scomponiamo il trinomio $\displaystyle { 2x^2 + 5x + 3. }$

Dobbiamo trovare due numeri che sommati facciano $\displaystyle { 5 }$ e moltiplicati diano $\displaystyle { 6 }$ (perché $\displaystyle { 2\cdot 3 = 6 }$ ).

Notiamo facilmente che si tratta proprio di $\displaystyle { 2 }$ e $\displaystyle { 3. }$

Riscriviamo quindi il trinomio come $\displaystyle { 2x^2 + 2x + 3x +3. }$

Infine effettuiamo un raccoglimento parziale (come fare 👈):

$\displaystyle { 2x^2 + 2x + 3x +3 }$ $\displaystyle { \longrightarrow 2x(x+1) + 3(x+1) }$ $\displaystyle { \longrightarrow (2x+3)(x+1) }$

Quindi: $\displaystyle { 2x^2 + 5x +3 = (2x+3)(x+1). }$