Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Un triangolo è detto equilatero se tutti i suoi lati sono uguali. Alternativamente, possiamo dire, come nel caso del triangolo isoscele, che un triangolo è equilatero se tutti i suoi angoli sono uguali.

Anche in questo caso la prima condizione include la seconda e viceversa, quindi potete usare entrambe, anche se è più comune la prima.

Siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$ e tutti e tre gli angoli sono uguali, allora ognuno di loro deve essere uguale a un terzo di $180^{\circ},$ ovvero $60^{\circ}.$

Dunque, gli angoli interni di un triangolo equilatero sono sempre di $60^{\circ}.$

Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche la base è uguale al lato obliquo.

Di conseguenza, tutte le sue altezze sono anche mediane e bisettrici:

Tracciando l’altezza da uno dei vertici, per questa proprietà dobbiamo avere:

$\displaystyle { AH = HB }$

Siccome abbiamo inoltre che:

$\displaystyle { AH+HB=AB }$

Otteniamo che:

$\displaystyle { AH+AH=AB }$

$\displaystyle { AH={AB \over 2} }$

Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo $\displaystyle { \overset{\Delta}{AHC} }$ per trovare l’altezza $\displaystyle { h }$ ( che sarebbe $\displaystyle { CH }$ ) in funzione del lato $\displaystyle { l }$ ( che sarebbe $\displaystyle { AB }$ ). Avremo quindi:

$\displaystyle { AH^2 + CH^2 = CA^2 }$

$\displaystyle { ({AB\over 2})^2 + CH^2 = AB^2 }$

$\displaystyle { {l\over 2}^2 +h^2 = l^2 }$

$\displaystyle { h^2 = l^2 – {l^2 \over 4} }$

$\displaystyle { h^2= {4l^2 –l^2 \over 4} }$

$\displaystyle { h= \sqrt{3l^2 \over 4} }$

Dunque possiamo usare questa formula per trovare l'altezza di un triangolo equilatero conoscendo il suo lato e viceversa.