Teorema di Pitagora e i due Teoremi di Euclide

Teorema di pitagora

Prendiamo un triangolo rettangolo:

I due lati adiacenti all'angolo retto ($\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b }$) sono detti cateti, mentre il terzo lato, quello "lontano" dall'angolo retto è detto ipotenusa.

Il teorema di Pitagora lega tra loro la lunghezza dei cateti e quella dell'ipotenusa. Esso infatti afferma che:

La somma dei quadrati costruiti sui cateti (di un triangolo rettangolo) è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa.

Algebricamente lo si può tradurre come:

Quindi, a cosa ci serve questo teorema? Con esso possiamo trovare l'ipotenusa conoscendo i cateti, oppure possiamo trovare un cateto conoscendo l'altro e l'ipotenusa, basta isolare l'incognita desiderata nell'equazione:

$\displaystyle { c=\sqrt{a^2 + b^2 } }$ per trovare l'ipotenusa

$\displaystyle { a=\sqrt{c^2 -b^2} }$ per trovare il cateto $\displaystyle { a }$

$\displaystyle { b=\sqrt{c^2 -a^2 } }$ per trovare il cateto $\displaystyle { b }$

Vediamo un esempio di come possiamo applicarlo:

un triangolo rettangolo ha cateti $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b }$ sono lunghi rispettivamente $\displaystyle { 3cm }$ e $\displaystyle { 4cm }$ , trovare la lunghezza dell'ipotenusa

Per farlo basta utilizzare il Teorema di Pitagora, che ci dice:

$\displaystyle { c^2 = a^2 + b^2 }$

ovvero:

$\displaystyle { c=\sqrt{a^2 +b^2} }$

Quindi basta sostituire $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b }$ per trovare l'ipotenusa $\displaystyle { c }$ :

$\displaystyle { c=\sqrt{(3cm)^2 + (4cm)^2 } }$ $\displaystyle { = \sqrt{9cm^2 + 16cm^2}= }$ $\displaystyle { \sqrt{25cm^2}=5cm }$

Ed ecco risolto. In questo caso abbiamo ottenuto tre valori interi per i lati del triangolo $\displaystyle { (3,4,5) }$ e siccome dobbiamo prendere un radice quadrata è piuttosto raro che escano dei numeri interi.

Questa terna di numeri viene chiamata terna pitagorica e quella che abbiamo appena visto $\displaystyle { 3,4,5 }$ è la più piccola che esista. Perché ci interessano le terne pitagoriche? Perché in alcuni casi ci aiutano a semplificare i calcoli.

Notiamo infatti una cosa interessante: se moltiplichiamo ogni termine della terna pitagorica per un numero intero $\displaystyle { k }$ , otteniamo un'altra terna pitagorica. Perchè?

Dimostriamolo:

una volta moltiplicati per $\displaystyle { k }$ , la nuova terna diventerà $\displaystyle { (3k,4k,5k) }$ , applichiamo il teorema di Pitagora e vediamo se lo verificano:

$\displaystyle { c^2 = a^2 + b^2 }$

$\displaystyle { 25k^2 = 9k^2 + 16k^2 }$

$\displaystyle { 25k^2 = 25k^2 }$

L'uguaglianza è verificata. Geometricamente questo ha senso perché moltiplicare ogni lato per una costante $\displaystyle { k }$ equivale a rimpicciolire o ingrandire il triangolo, quindi è ovvio che rimarrà un triangolo rettangolo.

Ma perché abbiamo fatto tutto questo? Perché ora se abbiamo, ad esempio, due cateti di lunghezza $\displaystyle { 6cm }$ e $\displaystyle { 8cm }$, sappiamo subito che l'ipotenusa sarà lunga $\displaystyle { 10cm }$ .

I cateti sono infatti quelli della terna pitagorica ma moltiplicati per $\displaystyle { 2 }$ , quindi $\displaystyle { k=2 }$ e dunque l'ipotenusa deve essere il doppio di $\displaystyle { 5cm }$ , ovvero $\displaystyle { 10cm }$ .

Se quindi vi capita di trovare due cateti nella forma $\displaystyle { 3k }$ e $\displaystyle { 4k }$ , sapete già che l'ipotenusa sarà $\displaystyle { 5k }$ . Questo è specialmente utile per $\displaystyle { k }$ molto grandi.

Se per esempio avessimo due cateti lunghi $\displaystyle { 39cm }$ e $\displaystyle { 52cm }$ , sarebbe un po' lungo fare i calcoli perché li dovreste elevare al quadrato, sommarli e prendere la radice quadrata. Se però notate che:

$\displaystyle { 39=13 \cdot 3 }$ e $\displaystyle { 52= 13 \cdot 4 }$, sapete già che l'ipotenusa sarà $\displaystyle { 13 \cdot 5 }$, ovvero $\displaystyle { 60 }$. Esistono poi altre terne pitagoriche utili da sapere a memoria, ma per ora ci fermiamo qui.

Primo teorema di Euclide

Passiamo quindi ai Teoremi di Euclide. Sono molto meno famosi e generalmente meno utili del Teorema di Pitagora, ma ci possono aiutare a risolvere molti problemi.

Il primo teorema di Euclide enuncia che:

Il quadrato costruito su uno dei cateti (in un triangolo rettangolo) è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

Cosa si intende per proiezione del cateto sull'ipotenusa? Si intende che dal vertice che il cateto non ha in comune con l'ipotenusa, in questo caso $\displaystyle { A }$ , facciamo partire una retta perpendicolare all'ipotenusa, che la intersecherà in un punto $\displaystyle { H }$ .

Finora abbiamo effettuato un procedimento analogo a quello per trovare l'altezza di un triangolo, adesso però la proiezione è il segmento $\displaystyle { BH }$ , ovvero quello che parte del vertice in comune $\displaystyle { (B) }$ e l'intersezione $\displaystyle { H }$ .

Potete visualizzare il processo di prendere la proiezione come al guardare l'ombra del cateto se la luce viene dall'alto.

Proviamo a tradurre in forma algebrica quello che enuncia il teorema. Se chiamiamo la proiezione $\displaystyle { p }$ , avremo:

$\displaystyle { a^2 = p \cdot c }$

Utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni possiamo riscriverla come:

Ovvero, il rapporto tra l'ipotenusa ed un cateto è uguale al rapporto tra quel cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Il secondo teorema di Euclide enuncia che:

Il quadrato costruito sull'altezza (in un triangolo rettangolo) riferita all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha come dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Guardando al disegno del capitolo precedente, se chiamiamo le due proiezioni $\displaystyle { p_1 }$ e $\displaystyle { p_2 }$ e l'altezza la chiamiamo $\displaystyle { h }$ , avremo:

$\displaystyle { h^2 = p_1 \cdot p_2 }$

Anche in questo caso possiamo riscriverla come proporzione grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni: