La sfera è il solido generato dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. La sua superficie è l'insieme dei punti dello spazio equidistanti dal centro.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Sfera | Solido generato dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. | — |
| Superficie | Area della superficie esterna della sfera. | |
| Volume | Spazio occupato dalla sfera. | |
| Raggio | Distanza dal centro a un punto della superficie. | |
| Esempio superficie | Con , si ottiene . | |
| Esempio volume | Con , si ottiene . |
La sfera, cioè il solido formato da tutti i punti dello spazio a distanza costante da un centro, serve a descrivere oggetti rotondi in tre dimensioni.
L’idea nasce da una domanda concreta: come si misura una figura piena e arrotondata, come una palla o una bolla?
Si distingue la sfera dalla superficie sferica, cioè il solo contorno esterno del solido.
Nel linguaggio scolastico, si parla spesso di superficie della sfera per indicare l’area della sua superficie esterna.
Se il raggio è , ogni punto della superficie dista dal centro.
Per esempio, se , allora tutti i punti della superficie stanno a tre centimetri dal centro.
[IMMAGINE: Disegno di una sfera in prospettiva con centro O, raggio r tracciato verso un punto della superficie, e sezione circolare evidenziata. Etichette: O, r, superficie sferica.]
La sfera si può ottenere facendo ruotare un semicerchio, cioè una semicirconferenza con la sua parte interna, attorno al suo diametro.
Questo procedimento spiega perché il solido risulta perfettamente simmetrico in ogni direzione.
Per esempio, se il semicerchio ha raggio , la rotazione genera una sfera di raggio .
L’osservazione è utile perché collega una figura piana a un solido tridimensionale.
La superficie della sfera, cioè l’area del suo contorno esterno, misura quanto materiale servirebbe per rivestirla.
La formula da ricordare è .
Questa relazione mostra che la superficie cresce con il quadrato del raggio.
Se , allora e quindi se il raggio è espresso in centimetri.
Si considera una sfera di raggio 3 cm.
Si ottiene , cioè circa .
Il volume, cioè lo spazio occupato dalla sfera, risponde alla domanda: quanto ‘pieno’ è il solido?
La formula fondamentale è .
La presenza del cubo mostra che il volume cresce molto più rapidamente della superficie quando il raggio aumenta.
Se , allora e quindi .
La formula chiede sempre il raggio, non il diametro.
Se si conosce il diametro , si ricava prima .
Per esempio, se , allora e il volume si calcola con quel valore.
Si considera una sfera di raggio 4 cm.
Si ottiene , cioè circa .
Le due formule vanno collegate al tipo di grandezza misurata.
Per esempio, se il raggio passa da 2 a 4, la superficie quadruplica, mentre il volume aumenta di otto volte.
Questo accade perché nel volume compare una potenza più alta del raggio.
Per esempio, se il raggio raddoppia, allora diventa volte maggiore e diventa volte maggiore.
La sfera, cioè il solido formato dall'insieme dei punti dello spazio alla stessa distanza dal centro, si descrive con raggio e grandezze derivate.
Il raggio è il segmento che unisce il centro con un punto della superficie. Si indica con , e si misura in oppure in .
Questa è la superficie, cioè l'area della superficie esterna della sfera. La lettera indica l'area totale, misurata in oppure in .
Nella formula compare il numero . Esso è una costante approssimata da .
Calcolare la superficie per .
Si ottiene , cioè circa .
Per il calcolo numerico si sostituisce con il valore dato. L'unità finale è sempre un'unità di area, cioè o .
Questa è la formula del volume, cioè lo spazio occupato dalla sfera. La lettera indica il volume, misurato in oppure in .
La formula mostra che il volume cresce con il cubo del raggio. Se raddoppia, il volume diventa otto volte maggiore.
Calcolare il volume per .
Si ottiene , cioè circa .
Per rispondere alla domanda come si calcola il volume di una sfera, si sostituisce il raggio nella formula del volume e si esegue il calcolo con le potenze.
Una forma inversa utile è ricavare il raggio dal volume. Si ottiene .
Si consideri una sfera con .
Si ricava .
La superficie della sfera e il volume sono le due grandezze fondamentali richieste nei problemi di geometria euclidea.
La formula è la stessa del volume. Nel testo si può incontrare anche scritta come .
Si confrontano le due formule per .
Si ha e .
Calcolare la superficie di una sfera di raggio cm.
[IMMAGINE: Sfera con centro O e raggio r = 3 cm indicato da un segmento dal centro alla superficie]
Si conosce il raggio, cioè la distanza dal centro alla superficie. Si cerca l’area della sfera, cioè la superficie totale del solido.
La formula della superficie è .
Si calcola prima il quadrato del raggio: . Poi si moltiplica per .
Il valore numerico è circa cm².
La superficie è 113,1 cm².
Errore comune: dimenticare di elevare il raggio al quadrato.
Calcolare il volume di una sfera di raggio cm.
[IMMAGINE: Sfera con raggio r = 4 cm e centro O, con evidenza del volume del solido]
Si conosce il raggio, cioè la misura necessaria nella formula del volume. Si cerca il volume, cioè lo spazio occupato dal solido.
La formula del volume è .
Si calcola il cubo del raggio: .
Il valore numerico è circa cm³.
Il volume è 268,1 cm³.
Errore comune: sostituire r^2 al posto di r^3 nella formula del volume.
Una sfera ha superficie cm². Si trova il raggio.
Si conosce la superficie, cioè l’area totale della sfera. Si cerca il raggio, cioè la misura da isolare nella formula.
Si parte da e si sostituisce il valore noto.
Si semplifica per e si divide per 4.
Si estrae la radice quadrata: cm.
Il raggio è 5 cm.
Errore comune: dimenticare che il raggio deve essere positivo.
Confrontare superficie e volume di una sfera di raggio cm.
Si calcolano entrambe le grandezze con le formule della sfera. La superficie misura l’area esterna, mentre il volume misura lo spazio interno.
La superficie è , quindi con si ottiene cm².
Il volume è , quindi con si ottiene cm³.
Si osserva che il volume cresce più rapidamente della superficie al crescere del raggio.
La superficie è 16\pi cm², mentre il volume è \frac{32}{3}\pi cm³.
Errore comune: confrontare direttamente cm² e cm³ come se fossero la stessa unità.
Per il volume della sfera si scrive .
La formula corretta è .
L’errore nasce perché si confonde il volume con la superficie. Il volume si misura in unità cubiche, quindi compare il cubo del raggio.
Per la superficie della sfera si usa .
La formula corretta è .
Qui si scambiano le formule di superficie e volume. La superficie si misura in unità quadrate, quindi il raggio è al quadrato.
Nella formula del volume si scrive .
Bisogna scrivere .
L’esponente è fondamentale. Se il raggio è raddoppiato, il volume non cresce come un’area, ma più rapidamente, perché dipende da .
Si calcola la superficie usando il diametro invece del raggio, senza cambiare formula.
Le formule sono scritte in funzione del raggio . Se si usa il diametro , bisogna porre .
L’errore è frequente quando si legge il dato sbagliato nel testo. Prima si individua il raggio, poi si sostituisce nella formula corretta.
Una sfera è un cerchio che ruota attorno al suo centro.
La sfera è un solido di rotazione, cioè il solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.
Si confonde la figura piana con il solido tridimensionale. Il cerchio è una figura piana, mentre la sfera ha volume e superficie.
Con si trova per la superficie e per il volume .
Con si ottiene e .
Il risultato uguale è solo un caso particolare, non una regola. Per evitare confusione si sostituiscono con attenzione potenze e coefficienti prima di semplificare.
Il volume di una sfera si calcola con la formula , cioè si moltiplica il cubo del raggio per .
La superficie di una sfera si calcola con la formula , cioè si moltiplica il quadrato del raggio per 4\pi.
La formula è la formula del volume della sfera, cioè del solido ottenuto ruotando un semicerchio attorno al suo diametro.
Per esempio, se , allora , cioè circa 113,1.
Una sfera è il solido formato da tutti i punti dello spazio che distano da un centro una distanza uguale a , cioè il raggio.
La sfera è il solido pieno, mentre la superficie sferica è solo la sua parte esterna, cioè la “pelle” della sfera.
Il raggio si ricava isolando dalla formula del volume.
Per esempio, se , allora .
