L’arco di circonferenza, cioè la parte di circonferenza compresa tra due punti, dipende dall’angolo al centro. Il settore circolare, cioè la parte di disco delimitata da due raggi e dall’arco, si calcola con proporzioni.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Arco di circonferenza | È una parte della circonferenza compresa tra due punti. | oppure se è in radianti |
| Settore circolare | È la parte di cerchio compresa tra due raggi e l’arco. | oppure |
| Angolo al centro | È l’angolo con vertice nel centro della circonferenza. | Misura la parte di circonferenza e di area proporzionale |
| Angolo inscritto | Ha il vertice sulla circonferenza e insiste sullo stesso arco. | se insiste sullo stesso arco del centro |
| Segmento circolare | È la parte di cerchio compresa tra una corda e l’arco corrispondente. | |
| Conversione gradi-radianti | Permette di usare le formule con angoli in radianti. | |
| Differenza tra arco e corda | L’arco è curvo; la corda è il segmento rettilineo che unisce gli estremi. | La corda non coincide con la lunghezza dell’arco |
Si studiano arco di circonferenza e settore circolare perché servono a misurare solo una parte di una circonferenza o di un disco.
L'idea è la stessa di una fetta di torta. Si considera una parte più piccola dell'intero cerchio, e si vuole misurarne la lunghezza o l'area.
Il problema nasce spesso in geometria e nelle applicazioni. Si conosce il raggio e l'angolo al centro , cioè l'angolo formato dai due raggi che delimitano la parte di cerchio.
Si vuole allora trovare quanto misura il bordo curvo oppure quanta superficie occupa la parte interna. Per questo si usano formule proporzionali all'angolo.
La conversione tra gradi e radianti è necessaria perché alcune formule usano i gradi, mentre altre usano i radianti, cioè un'unità angolare collegata alla lunghezza dell'arco.
Per esempio, corrispondono a radianti, perché .
L'arco di circonferenza è una parte della circonferenza, cioè la linea curva compresa tra due punti del cerchio.
Si può pensare all'arco come al bordo di una fetta. Non misura una superficie, ma solo una lunghezza.
La sua lunghezza è proporzionale all'angolo al centro. Se l'angolo occupa metà giro, anche l'arco misura metà circonferenza.
Con i gradi si usa questa relazione, dove è la lunghezza dell'arco e è il raggio.
Per esempio, con e , si ottiene , cioè circa .
Se l'angolo è espresso in radianti, la formula diventa più semplice.
Questa forma vale quando è in radianti. Per esempio, con e , si ha .
Il settore circolare è la parte di disco delimitata da due raggi e dall'arco corrispondente. Si comporta come una fetta di pizza.
L'area dipende dalla stessa proporzione usata per l'arco. Se l'angolo al centro è piccolo, anche la superficie del settore è piccola.
Con i gradi, l'area del settore è una frazione dell'area del cerchio completo. Per esempio, con e , si ottiene , cioè circa .
Quando si conosce l'arco e il raggio , si usa una forma equivalente e molto utile.
Questa relazione si ottiene perché l'area cresce in modo lineare con l'arco e con il raggio. Per esempio, con e , si ha .
L'angolo al centro è l'angolo con vertice nel centro della circonferenza. L'angolo inscritto è l'angolo con vertice sulla circonferenza.
I due angoli sono collegati perché insistono sullo stesso arco. L'angolo inscritto misura la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Per esempio, se l'angolo al centro misura , l'angolo inscritto corrispondente misura .
Questa proprietà aiuta a ricavare ampiezze mancanti nei problemi geometrici. Si osserva l'arco comune e si applica il rapporto di metà.
La corda è il segmento che unisce due punti della circonferenza, cioè il tratto rettilineo tra gli estremi dell'arco.
L'arco è curvo, mentre la corda è dritta. A parità di estremi, la corda è sempre più corta dell'arco.
Il segmento circolare è la regione compresa tra una corda e l'arco corrispondente. Non va confuso con il settore, che è delimitato dai due raggi.
Per esempio, se il settore ha area e il triangolo interno ha area , il segmento circolare misura .
Questa distinzione è importante nei problemi di area. Si deve capire se si cerca una linea, una regione o una parte di regione.
Il calcolo segue sempre lo stesso ordine. Prima si individuano il raggio e l'angolo, poi si scelgono le unità giuste.
Per esempio, se si vuole la lunghezza di un arco e si conoscono e , si usa e si ottiene .
Se invece l'angolo è dato in gradi, si può prima trasformare in radianti oppure usare direttamente la formula con i gradi.
Per esempio, diventano radianti, perché .
[IMMAGINE: Disegno di una circonferenza con centro O. Sono evidenziati due raggi OA e OB, l'angolo al centro α, l'arco AB in rosso, la corda AB in tratteggio e il settore AOB colorato. Etichette: r, α, arco, corda, settore.]
Calcolare la lunghezza dell'arco e l'area del settore di raggio 4 cm e angolo al centro 135°.
Si usa la formula dell'arco:
Si ottiene .
Si usa poi la formula dell'area:
Si ottiene , cioè circa .
L’arco di circonferenza, cioè la parte di circonferenza compresa tra due punti, si misura con una lunghezza.
In questa formula, è la lunghezza dell’arco, è l’angolo al centro in gradi, e è il raggio.
Le grandezze si esprimono in o per le lunghezze, e in per l’angolo se si usa questa forma.
Si consideri un cerchio di raggio e angolo al centro .
La lunghezza dell’arco risulta quindi , cioè circa .
Questa formula vale quando è espresso in radianti, cioè in una misura angolare basata sul raggio.
Si usa questa forma perché rende i calcoli più rapidi nei problemi con il cerchio.
Si prenda e .
Si ottiene , cioè circa .
L’area del settore circolare, cioè la parte di disco compresa tra due raggi e un arco, si misura in unità quadrate.
In questa formula, è l’area, è l’angolo al centro in gradi, e è il raggio.
Si consideri e .
L’area del settore è , cioè circa .
Questa forma usa la lunghezza dell’arco e il raggio. Si ottiene anche da una proporzione geometrica.
È utile quando si conosce già oppure quando si vuole passare dalla lunghezza all’area senza usare l’angolo.
Si prendano e .
L’area del settore è .
Questa conversione trasforma i gradi in radianti. È indispensabile per usare la formula .
Se , allora .
Si converta in radianti.
Si ottiene , cioè circa .
Questa è la stessa formula dell’arco scritta come frazione della circonferenza completa.
La circonferenza intera corrisponde a e ha lunghezza .
Nel confronto tra arco e corda, l’arco è curvo, mentre la corda è un segmento rettilineo.
L’angolo inscritto, cioè l’angolo con vertice sulla circonferenza e lati secanti la circonferenza, misura la metà dell’angolo al centro corrispondente.
Se l’angolo al centro misura , allora l’angolo inscritto corrispondente misura .
Il segmento circolare, cioè la parte di cerchio delimitata da una corda e dall’arco corrispondente, è diverso dal settore.
Nel settore compaiono due raggi. Nel segmento compare una corda.
Si consideri una circonferenza con lo stesso arco e la stessa corda.
Il settore usa i raggi e l’angolo al centro. Il segmento usa la corda come confine inferiore.
Si calcoli la lunghezza dell'arco di una circonferenza di raggio e angolo al centro di .
[IMMAGINE: Circonferenza con centro O, raggio r = 5 cm, angolo al centro di 72°, arco evidenziato in rosso e punti estremi A e B etichettati]
Dati: il raggio è cm e l'angolo al centro è .
Incognita: si cerca la lunghezza dell'arco, cioè la misura del tratto di circonferenza compreso tra i due estremi.
Si usa la formula con gli angoli in gradi.
Si sostituiscono i dati: .
Si ottiene , cioè circa .
Il risultato finale è 6{,}28 cm.
Errore comune: dimenticare di dividere l'angolo per 360° prima di moltiplicare per la circonferenza completa.
Si determini l'area di un settore circolare di raggio e angolo al centro di .
[IMMAGINE: Settore circolare con centro O, raggio r = 8 m, angolo al centro di 45°, regione interna colorata e archi laterali marcati]
Dati: si hanno m e .
Incognita: si cerca l'area del settore, cioè la porzione di piano delimitata da due raggi e dall'arco compreso.
Si applica la formula dell'area con gli angoli in gradi.
Si sostituiscono i valori: .
Si ottiene , cioè circa .
Il risultato finale è 25{,}13 m².
Errore comune: usare la formula dell'arco invece della formula dell'area del settore.
Si determini il raggio di una circonferenza sapendo che un arco misura e corrisponde a un angolo al centro di .
[IMMAGINE: Circonferenza con arco semicircolare evidenziato, angolo al centro di 180°, raggio da determinare e punti estremi A e B]
Dati: si conoscono la lunghezza dell'arco cm e l'angolo .
Incognita: si cerca il raggio .
Si usa la formula dell'arco in gradi e si isola il raggio.
Si sostituiscono i dati: .
Si divide per e si ottiene .
Il risultato finale è 10 cm.
Errore comune: dimenticare che 180° corrispondono a metà circonferenza.
Si calcoli l'area di un settore circolare di raggio e angolo al centro di radianti.
[IMMAGINE: Settore circolare con centro O, raggio r = 6 cm, angolo al centro espresso in radianti pi/3, arco evidenziato e area colorata]
Dati: si hanno cm e rad.
Incognita: si cerca l'area del settore. In questo caso conviene usare la formula con i radianti.
Si applica la formula seguente.
Si sostituiscono i valori: .
Si ottiene , cioè circa .
Il risultato finale è 18{,}85 cm².
Errore comune: usare la formula dell'area con i gradi quando l'angolo è già espresso in radianti.
In una circonferenza di raggio e angolo al centro di , si confrontino arco, corda e settore.
[IMMAGINE: Circonferenza con centro O, raggio r = 10 cm, angolo al centro di 60°, arco AB evidenziato, corda AB tratteggiata e settore AOB colorato]
Dati: si hanno cm e .
Incognite: si vogliono distinguere le tre parti geometriche. L'arco è il tratto curvo. La corda è il segmento rettilineo che unisce gli estremi dell'arco. Il settore è la regione delimitata dai due raggi e dall'arco.
Si calcola prima la lunghezza dell'arco.
Si ottiene , quindi .
Poi si calcola l'area del settore.
Si ottiene , quindi .
Il risultato finale è che l'arco misura \frac{10\pi}{3} cm, la corda è il segmento rettilineo, e il settore è la parte interna colorata.
Errore comune: confondere la corda con l'arco, perché hanno estremi comuni ma natura diversa.
Calcolare l'area del settore con anche quando l'angolo al centro è minore di .
Si usa oppure .
L'area del settore, cioè la parte di cerchio delimitata da due raggi e da un arco, dipende dalla frazione di giro. Se si usa l'area del cerchio intero, si ottiene un risultato troppo grande.
Trovare la lunghezza dell'arco con la formula della circonferenza intera, cioè , senza ridurre l'angolo.
Si usa oppure se è in radianti.
L'arco, cioè una porzione di circonferenza, non coincide con tutta la circonferenza. L'errore nasce quando non si considera la parte proporzionale all'angolo al centro.
Scrivere usando in gradi.
Si scrive solo se è espresso in radianti.
La formula con i radianti è più compatta, ma richiede l'unità corretta. Se l'angolo è in gradi, prima si converte con .
Confondere il settore circolare con il segmento circolare, cioè pensare che siano la stessa regione.
Il settore è delimitato da due raggi e da un arco; il segmento è delimitato da una corda e da un arco.
Le due figure hanno confini diversi e anche aree diverse. Il segmento circolare, cioè la parte compresa tra corda e arco, non contiene i due raggi.
Scambiare arco e corda, usando la lunghezza della corda al posto dell'arco.
L'arco è una parte curva della circonferenza; la corda è il segmento rettilineo che unisce due punti della circonferenza.
Arco e corda hanno la stessa estremità, ma non la stessa forma né la stessa misura. La corda è sempre più corta dell'arco corrispondente, tranne nel caso limite di angolo nullo.
Pensare che un angolo inscritto abbia la stessa ampiezza dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
L'angolo inscritto misura la metà dell'angolo al centro corrispondente.
Questa relazione è utile per collegare archi e angoli nella circonferenza. L'errore si evita ricordando che l'angolo al centro ha il vertice nel centro, mentre l'angolo inscritto ha il vertice sulla circonferenza.
L'area del settore circolare si calcola usando la frazione di circonferenza corrispondente all'angolo al centro.
Per esempio, con = 90° e = 4 cm, si ottiene .
La lunghezza dell'arco si trova moltiplicando la circonferenza per la frazione di angolo al centro.
Per esempio, con = 60° e = 3 cm, si ottiene .
Un settore circolare è la parte di cerchio compresa tra due raggi e l'arco che essi individuano.
Si può immaginare come una fetta di pizza di forma circolare. Per esempio, un settore con angolo al centro di 120° occupa un terzo del cerchio.
La formula dell'arco di circonferenza dipende dall'unità di misura dell'angolo.
Se l'angolo è espresso in radianti, si usa invece . Per esempio, con e = 2 cm, si ottiene .
L'arco è una parte di circonferenza, mentre la corda è il segmento che unisce i due estremi dell'arco.
L'arco è curvo, la corda è rettilinea. Per esempio, a parità di estremi, la corda è sempre più corta dell'arco.
L'angolo al centro determina quanto è grande il settore circolare.
Per esempio, 180° corrispondono a radianti, e quindi il settore è un semicerchio.
