Prima di vedere la scomposizione in fattori primi, dobbiamo studiare il teorema fondamentale dell'artimetica . Si tratta di un teorema molto importante, sennò non si chiamerebbe fondamentale.
Cosa dice? Esso enuncia che:
Ogni numero naturale non primo si può esprimere come prodotto di numeri primi in maniera univoca (cioè in un solo modo).
Se, invece, il numero in questione è primo, allora la sua scomposizione sarà sè stesso.
Quindi, se prendiamo per esempio possiamo esprimerlo come ed è l'unico modo per farlo (possiamo ovviamente cambiare l'ordine scrivendo ma i fattori sono gli stessi).
Se prendo lo posso riscrivere come cioè
Se invece ho un numero primo, come lo lascio così.
Quindi, possiamo scomporre ogni numero naturale in un prodotto di numeri primi, che possono pure essere elevati a certe potenze, come il nel caso del
Quando prendo un numero è lo riscrivo in questa forma, si dice che l'ho scomposto in fattori primi .
Ok, ma a che serve? Quando tra poco studierete il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore, scomporre i numeri in fattori primi vi farà risolvere gli esercizi molto più velocemente. Quindi adesso dovete imparare bene come si fa, in modo da poter risolvere gli esercizi dei prossimi argomenti.
Manca però una cosa importante da capire: come si fa la scomposizione in fattori primi? Perché adesso abbiamo visto casi semplici, come o dove possiamo trovarla facilmente, ma se devo scomporre come faccio?
Vediamo subito come si fa:
Continuiamo con il numero di prima, cioè
Dovete innanzitutto scrivere il numero sul vostro foglio. Dopodichè dovete tracciare una lunga riga verticale a destra del numero, come abbiamo fatto qui sotto:
Adesso, usando i criteri di divisibilità, dobbiamo capire per quali numeri primi è divisibile Partiamo dai numeri più piccoli per poi arrivare a quelli più grandi: è divisibile per L'ultima cifra è che è pari, dunque è divisibile per
Ora che sappiamo questo, dividiamo per ottenendo Scriviamo il a destra della riga alla stessa altezza del e scriviamo sotto al
Ora applichiamo lo stesso esatto procedimento a è divisibile per Finisce con che è dispari, quindi no.
Passiamo quindi al prossimo numero primo, cioè è divisibile per La somma delle cifre di fa che è divisibile per dunque è divisibile per Dividiamolo per esso, scriviamo il a destra della riga e mettiamo sotto il risultato della divisione.
Adesso applichiamo lo stesso procedimento a Però dobbiamo controllare se è divisibile per No, non ce n'è bisogno, perché se che è un suo multiplo, non lo era, nemmeno potrà esserlo. Quindi, non c'è bisogno di ripartire sempre da capo, ma possiamo ripartire direttamente dal numero primo dell'ultima divisione, che in questo caso è Quindi, è divisibile per Sì, allora dividiamo per scriviamo a destra della riga e mettiamo sotto il risultato:
Come avrete capito, dobbiamo ora passare a E' divisibile per Sì, allora dividiamo, mettiamo a destra e il risultato sotto:
Sappiamo che è un numero primo, quindi sarà solo divisibile per Per questo è inutile mettersi a domandare se è divisibile per o per perché tanto è un numero primo quindi non può esserlo. Diviamo per ed otteniamo finalmente
Quando ottenete complimenti! Avete finito la scomposizione. Ora vi basterà prendere i numeri primi che si trovano a destra partendo dall'alto e moltiplicarli tra loro. Per fare più velocemente, potete direttamente scrivere ogni numero primo una sola volta e mettergli come esponente il numero delle volte che lo trovate, perché moltiplicare volte un numero per sè stesso è uguale, per definizione, ad elevarlo alla
Quindi nel nostro caso abbiamo incontrato e Il compare una sola volta, il compare volte e il solo una volta. La scomposizione in fattori primi sarà dunque (abbiamo messo e e non e perché tanto elevare alla prima non fa niente).
Perciò dobbiamo avere:
Può sembrare un processo molto lungo, ma tranquilli, dopo aver fatto molti esercizi diventerete così bravi che li farete super velocemente.
