Scomposizione in fattori primi

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Prima di vedere la scomposizione in fattori primi, dobbiamo studiare il teorema fondamentale dell'artimetica. Si tratta di un teorema molto importante, sennò non si chiamerebbe fondamentale.

Cosa dice? Esso enuncia che:

Ogni numero naturale non primo si può esprimere come prodotto di numeri primi in maniera univoca (cioè in un solo modo).

Se, invece, il numero in questione è primo, allora la sua scomposizione sarà se stesso.

Quindi, se prendiamo per esempio $\displaystyle { 6, }$ possiamo esprimerlo come $\displaystyle { 2\times 3 }$ ed è l'unico modo per farlo (possiamo ovviamente cambiare l'ordine scrivendo $\displaystyle { 3 \times 2, }$ ma i fattori sono gli stessi).

Se prendo $\displaystyle { 12, }$ lo posso riscrivere come $\displaystyle { 4\times 3, }$ cioè $\displaystyle { 2^2 \times 3. }$

Se invece ho un numero primo, come $\displaystyle { 7, }$ lo lascio così.

Quindi, possiamo scomporre ogni numero naturale in un prodotto di numeri primi, che possono anche essere elevati a certe potenze, come il $\displaystyle { 2^2 }$ nel caso del $\displaystyle { 12. }$

Quando prendo un numero è lo riscrivo in questa forma, si dice che l'ho scomposto in fattori primi.

Ok, ma a che serve? Quando tra poco studierete il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore, scomporre i numeri in fattori primi vi farà risolvere gli esercizi molto più velocemente. Quindi adesso dovete imparare bene come si fa, in modo da poter risolvere gli esercizi dei prossimi argomenti.

Manca però una cosa importante da capire: come si fa la scomposizione in fattori primi? Perché adesso abbiamo visto casi semplici, come $\displaystyle { 6 }$ o $\displaystyle { 12, }$ dove possiamo trovarla facilmente, ma se devo scomporre $\displaystyle { 378, }$ come faccio?

Vediamo subito come si fa:

Come trovare la scomposizione in fattori primi di un numero

Continuiamo con il numero di prima, cioè $\displaystyle { 378. }$

Dovete innanzitutto scrivere il numero sul vostro foglio.

Dopodiché dovete tracciare una lunga riga verticale a destra del numero, come abbiamo fatto qui sotto:

Adesso, usando i criteri di divisibilità (ripassali qui 👈), dobbiamo capire per quali numeri primi è divisibile $\displaystyle { 378. }$

Partiamo dai numeri più piccoli per poi arrivare a quelli più grandi: è divisibile per $\displaystyle { 2? }$ L'ultima cifra è $\displaystyle { 8, }$ che è pari, dunque è divisibile per $\displaystyle { 2. }$

Ora che sappiamo questo, dividiamo $\displaystyle { 378 }$ per $\displaystyle { 2, }$ ottenendo $\displaystyle { 189. }$ Scriviamo il $\displaystyle { 2 }$ a destra della riga alla stessa altezza del $\displaystyle { 378 }$ e scriviamo $\displaystyle { 189 }$ sotto al $\displaystyle { 378: }$

Ora applichiamo lo stesso esatto procedimento a $\displaystyle { 189: }$ è divisibile per $\displaystyle { 2? }$ Finisce con $\displaystyle { 9, }$ che è dispari, quindi no.

Passiamo quindi al prossimo numero primo, cioè $\displaystyle { 3: }$ è divisibile per $\displaystyle { 3? }$ La somma delle cifre di $\displaystyle { 189 }$ fa $\displaystyle { 18, }$ che è divisibile per $\displaystyle { 3, }$ dunque $\displaystyle { 189 }$ è divisibile per $\displaystyle { 3. }$

Dividiamolo per esso, scriviamo il $\displaystyle { 3 }$ a destra della riga e mettiamo sotto il risultato della divisione.

Adesso applichiamo lo stesso procedimento a $\displaystyle { 63. }$ Però dobbiamo controllare se è divisibile per $\displaystyle { 2? }$ No, non ce n'è bisogno, perché se $\displaystyle { 189, }$ che è un suo multiplo, non lo era, nemmeno $\displaystyle { 63 }$ potrà esserlo.

Quindi, non c'è bisogno di ripartire sempre da capo, ma possiamo ripartire direttamente dal numero primo dell'ultima divisione, che in questo caso è $\displaystyle { 3. }$ Quindi, è divisibile per $\displaystyle { 3? }$ Sì, allora dividiamo per $\displaystyle { 3, }$ scriviamo $\displaystyle { 3 }$ a destra della riga e mettiamo sotto il risultato:

Come avrete capito, dobbiamo ora passare a $\displaystyle { 21. }$ E' divisibile per $\displaystyle { 3? }$ Sì, allora dividiamo, mettiamo $\displaystyle { 3 }$ a destra e il risultato sotto:

Sappiamo che $\displaystyle { 7 }$ è un numero primo, quindi sarà solo divisibile per $\displaystyle { 7. }$ Per questo è inutile mettersi a domandare se è divisibile per $\displaystyle { 3 }$ o per $\displaystyle { 5, }$ perché tanto è un numero primo quindi non può esserlo.

Dividiamo per $\displaystyle { 7 }$ ed otteniamo finalmente $1:$

Quando ottenete $\displaystyle { 1, }$ complimenti! Avete finito la scomposizione.

Ora vi basterà prendere i numeri primi che si trovano a destra partendo dall'alto e moltiplicarli tra loro.

Per fare più velocemente, potete direttamente scrivere ogni numero primo una sola volta e mettergli come esponente il numero delle volte che lo trovate, perché moltiplicare $\displaystyle { n }$ volte un numero per sé stesso è uguale, per definizione, ad elevarlo alla $\displaystyle { n. }$

Quindi nel nostro caso abbiamo incontrato $\displaystyle { 2, 3 }$ e $\displaystyle { 7. }$ Il $\displaystyle { 2 }$ compare una sola volta, il $\displaystyle { 3 }$ compare $\displaystyle { 3 }$ volte e il $\displaystyle { 7 }$ solo una volta.

La scomposizione in fattori primi sarà dunque $\displaystyle { 2\times 3^3 \times 7 }$ (abbiamo messo $\displaystyle { 2 }$ e $\displaystyle { 7 }$ e non $\displaystyle { 2^1 }$ e $\displaystyle { 7^1 }$ perché tanto elevare alla prima non fa niente).

Perciò dobbiamo avere:

$\displaystyle { 378 = 2\times 3^3 \times 7 }$

Può sembrare un processo molto lungo, ma tranquilli, dopo aver fatto molti esercizi diventerete così bravi che lo farete super velocemente.