Criteri di divisibilità

Cosa sono i criteri di divisibilità?

I criteri di divisibilità sono dei criteri, cioè delle regole, che ci fanno capire se un numero è divisibile per un altro numero.

In questa lezione vedremo i criteri di divisibilità per $\displaystyle { 2, }$ per $\displaystyle { 3, }$ per $\displaystyle { 4, }$ per $\displaystyle { 5, }$ per $\displaystyle { 7, }$ per $\displaystyle { 9 }$ e per $\displaystyle { 11. }$

Iniziamo subito con il primo:

Criterio di divisibilità per 2

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 2? }$ Dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 2 }$ se e solo se l'ultima sua cifra è pari.

Ricordiamo che un numero è pari se è divisibile per $\displaystyle { 2, }$$\displaystyle { 2, }$ mentre è dispari se non lo è.

$\displaystyle { 198 }$ è divisibile per $\displaystyle { 2 }$ perché la sua ultima cifra è $\displaystyle { 8 }$ ed $\displaystyle { 8 }$ è divisibile per $\displaystyle { 2. }$

Quindi, un numero è pari se finisce con $\displaystyle { 0,2,4,6 }$ o $\displaystyle { 8. }$

Mentre è dispari se finisce con $\displaystyle { 1,3,5,7 }$ o $\displaystyle { 9. }$

Passiamo al prossimo:

Criterio di divisibilità per 3.

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 3? }$ Dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 3 }$ se la somma delle due cifre è un multiplo $\displaystyle { 3. }$

Quindi se prendo $\displaystyle { 153 }$ e voglio sapere se è divisibile per $\displaystyle { 3, }$ mi basta fare $\displaystyle { 1+5+3 }$ che fa $\displaystyle { 9, }$ che è un multiplo di $\displaystyle { 3, }$ dunque $\displaystyle { 153 }$ sarà divisibile per $\displaystyle { 3. }$

Se invece prendo $\displaystyle { 172 }$ e faccio la somma delle sue cifre, ottengo $\displaystyle { 1+7+2=10 }$ che non è divisibile per $\displaystyle { 3, }$ dunque nemmeno $\displaystyle { 172 }$ lo sarà.

Combinando questo criterio con quello di divisibilità per $\displaystyle { 2 }$ ottengo il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 6 }$ perché se un numero è divisibile per $\displaystyle { 6, }$ allora è divisibile sia per $\displaystyle { 2 }$ che per $\displaystyle { 3. }$

Quindi affinché un numero sia divisibile per $\displaystyle { 6 }$ deve essere vero sia che la sua ultima cifra è pari sia che la somma delle sue cifre è divisibile per $\displaystyle { 3. }$

Andiamo al prossimo:

Criterio di divisibilità per 4

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 4? }$ Dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 4 }$ se le sue ultime due cifre sono un multiplo di $\displaystyle { 4. }$

Quindi se ho $\displaystyle { 187616, }$ noto che le sue ultime due cifre sono $\displaystyle { 16, }$ che è divisibile per $\displaystyle { 4, }$ dunque tutto il numero è divisibile per $\displaystyle { 4. }$ .

Se le ultime due cifre sono $\displaystyle { 00, }$ va bene lo stesso, conta come divisibile.

Se invece ho $\displaystyle { 1318, }$ le sue due ultime cifre sono $\displaystyle { 18, }$ che non è divisibile per $\displaystyle { 4, }$ dunque $\displaystyle { 1318 }$ non è divisibile per $\displaystyle { 4. }$

Passiamo quindi al prossimo:

Criterio di divisibilità per 5

Quand'è che un numero è divisibile per $\displaystyle { 5? }$ Un numero è divisibile per $\displaystyle { 5 }$ se la sua ultima cifra è $\displaystyle { 5 }$ o $\displaystyle { 0. }$

Quindi $\displaystyle { 170, }$ siccome finisce con $\displaystyle { 0, }$ è divisibile per $\displaystyle { 5. }$

Anche $\displaystyle { 4385, }$ siccome finisce con $\displaystyle { 5, }$ è divisibile per $\displaystyle { 5. }$

Mentre $\displaystyle { 134 }$ non è divisibile per $\displaystyle { 5 }$ perché finisce con $\displaystyle { 4. }$

Criterio di divisibilità per 7

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 7? }$ Dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 7 }$ se la differenza tra il numero senza la sua ultima cifra e il doppio di quest'ultima cifra è uguale a $\displaystyle { 0 }$ o a un multiplo di $\displaystyle { 7. }$

Quindi, ad esempio, $\displaystyle { 182 }$ è divisibile per $\displaystyle { 7 }$ perché se levo la sua ultima cifra ottengo $\displaystyle { 18 }$ e se gli sottraggo il doppio della sua ultima cifra, cioè $\displaystyle { 4, }$ ottengo $\displaystyle { 14, }$ che è divisibile per $\displaystyle { 7. }$

Mentre se ho $\displaystyle { 314, }$ se tolgo l'ultima cifra ottengo $\displaystyle { 31, }$ il doppio dell'ultima cifra è $\displaystyle { 8 }$ e se faccio $\displaystyle { 31-8 }$ ottengo $\displaystyle { 23, }$ che non è divisibile per $\displaystyle { 7. }$ Dunque $\displaystyle { 314 }$ non è divisibile per $\displaystyle { 7. }$

Criterio di divisibilità per 9

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 9? }$ È molto simile a quello del $\displaystyle { 3, }$ infatti dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 9 }$ se la somma delle sue cifre è divisibile per $\displaystyle { 9. }$

Quindi, ad esempio, la somma delle cifre di $\displaystyle { 171 }$ è $\displaystyle { 1+7+1=9 }$ che è divisibile per $\displaystyle { 9 }$ dunque anche $\displaystyle { 171 }$ è divisibile per $\displaystyle { 9. }$

Se invece prendo $\displaystyle { 132 }$ e sommo le sue cifre, ottengo $\displaystyle { 1+3+2=6 }$ che non è divisibile per $\displaystyle { 9, }$ dunque neanche $\displaystyle { 132 }$ lo è.

Criterio di divisibilità per 11

Cosa dice il criterio di divisibilità per $\displaystyle { 11? }$ Dice che un numero è divisibile per $\displaystyle { 11 }$ se la somma delle sue cifre di posto pari meno le cifre di posto dispari fa $\displaystyle { 0 }$ o un multiplo di $\displaystyle { 11. }$

I posti delle cifre si cominciano a contare dalle unità, che dunque occupano il primo posto. Le decine stanno nel secondo, le migliaia nel terzo e così via.

Quindi se prendo $\displaystyle { 8349 }$ le sue cifre di posto pari sono $\displaystyle { 4 }$ e $\displaystyle { 8, }$ mentre quelle di posto dispari sono $\displaystyle { 9 }$ e $\displaystyle { 3. }$

La somma delle prime fa $\displaystyle { 12 }$ e anche $\displaystyle { 9+3 }$ fa $\displaystyle { 12. }$ Dunque facendo la differenza ottengo $\displaystyle { 12-12 =0. }$

Siccome ho ottenuto $\displaystyle { 0, }$ $\displaystyle { 8349 }$ è divisibile per $\displaystyle { 11. }$

Mentre se prendo $\displaystyle { 221, }$ la sua unica cifra di posto pari è $\displaystyle { 2, }$ mentre la somma delle cifre di posto dispari è $\displaystyle { 3, }$ dunque facendo la differenza ottengo $\displaystyle { 2-3=-1 }$ che non è un multiplo di $\displaystyle { 11, }$ quindi $\displaystyle { 221 }$ non è divisibile per $\displaystyle { 11. }$