Rette nello spazio
Abbiamo già visto più e più volte le rette nello spazio 2D, adesso però studiamo cosa succede quando le mettiamo in uno spazio 3D.
Cos'è una retta nello spazio?
Una retta nello spazio è il luogo geometrico dei punti che soddisfano una determinata condizione lineare. Ma allora cosa la differenzia dalle rette viste in precedenza? Il fatto che una retta nello spazio ha 3 dimensioni, quindi la studieremo nel piano a 3 assi: x, y e z.
Come calcolarla però? Possiamo prendere le loro due equazioni e metterle a sistema.
Supponendo che il primo abbia come equazione:
ax+by+cz+d=0
e che quella del secondo sia:
a'x+b'y+c'z+d'=0
Possiamo descrivere la retta (che coincide con l'intersezione dei piani) come il sistema formato da quest'ultime:
\left\{\begin{array}{l} ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{array}\right.
Questo metodo però non è molto pratico ed è poco intuitivo.
In alcuni casi può comunque risultare molto utile, ma vediamo un'altro metodo più conveniente.
Equazione con i vettori
Proviamo ad esprimere l'equazione di una retta utilizzando dei vettori. Questo ci permetterà anche di calcolare l'equazione di una retta passante per due punti.
Prendiamo un punto nello spazio: possiamo vederlo con un vettore con coda nell'origine e punta nel punto scelto:
Chiamiamo questo vettore \overrightarrow{r}. Supponiamo ora di voler trovare l'equazione che passa per questo punto P e per un altro punto T:
Se prendiamo un vettore \overrightarrow{v} che parte da P ed arriva a T, possiamo notare che il vettore che parte dall'origine e arriva a T equivale alla somma di \overrightarrow{r} e \overrightarrow{v}:
Notiamo che moltiplicando \overrightarrow{v} per uno scalare (un numero) e sommandolo a \overrightarrow{r}, possiamo ottenere tutti i punti della retta:
Quindi possiamo identificare la retta come tutti i punti scrivibili nella forma:
\overrightarrow{r}+k\overrightarrow{v}
Dove k è un qualsiasi numero reale. Il vettore \overrightarrow{v} si può facilmente trovare facendo la differenza delle componenti (coordinate) dei punti T e P.
Se per esempio T=(4,3,-1) e P=(1,5,-5), avremo:
\overrightarrow{v}=\left (\begin{array}{l} 3\\ -2\\ 4 \end{array}\right)
e la retta che passa per questi due punti sarebbe dunque formata da tutti i punti esprimibili come:
\overrightarrow{r}+k\overrightarrow{v}
Ovvero:
\left (\begin{array}{l} 1\\ 5\\ -5 \end{array}\right) + k\left (\begin{array}{l} 3\\ -2\\ 4 \end{array}\right)
Unendo tutto in un vettore otteniamo:
\left (\begin{array}{l} 1+3k\\ 5-2k\\ -5+4k \end{array}\right)
Dunque avremo tutti i punti S del tipo:
S=(1+3k;5-2k;4k-5)
Come ottenere però da questo il sistema di equazioni della retta?
Vediamo come variano le coordinate del nostro punto al variare di S:
\left\{\begin{array}{l} x(k)=1+3k \\ y(k)=5-2k \\ z(k)=4k-5 \end{array}\right.
Possiamo isolare k in funzione di una delle variabili e sostituirlo nelle altre due equazioni. Prendiamo per esempio x:
\left\{\begin{array}{l} k={x-1 \over 3} \\ y=5-2k \\ z=4k-5 \end{array}\right.
Adesso sostituiamo nelle altre due per ottenere il sistema della retta:
\left\{\begin{array}{l} y=5-2\cdot {x-1 \over 3} \\ z=4\cdot {x-1 \over 3}-5 \end{array}\right.
Semplificando e scrivendo le due equazioni in forma implicita:
\left\{\begin{array}{l} 3y+2x-13=0 \\ 3z-4x+19=0 \end{array}\right.
Ed ecco ottenuto il sistema scritto per bene.
1.
Trova l'equazione parametrica della retta passante per i punti A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) .
\vec{r}(t) = (1 + 3t, 2 + 3t, 3 + 3t)
Passaggi:
- Trova il vettore direzione: \vec{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
- Usa la formula della retta: \vec{r}(t) = A + t \vec{AB}
2.
Determina se la retta passante per i punti (1, 0, 0) e (0, 1, 0) interseca l'asse z.
Sì, interseca l'asse z nel punto (0, 0, 0)
Passaggi:
- Trova l'equazione parametrica della retta: \vec{r}(t) = (1-t, t, 0)
- Imposta x = 0 e y = 0, e risolvi per t
3.
Verifica se le rette \vec{r_1}(t) = (1 + t, 2 - t, 3t) e \vec{r_2}(s) = (2s, 3 - s, s) sono complanari.
Sì, le rette sono complanari
Passaggi:
- Trova i vettori direzione delle rette: \vec{d_1} = (1, -1, 3) , \vec{d_2} = (2, -1, 1)
- Calcola il determinante della matrice formata dai vettori direzione e dal vettore posizione
4.
Trova la distanza tra la retta passante per (1, 2, 3) con direzione (1, 1, 1) e il punto (4, 5, 6) .
Distanza = 0
Passaggi:
- Trova l'equazione parametrica della retta: \vec{r}(t) = (1+t, 2+t, 3+t)
- Calcola la distanza tra il punto e la retta usando la formula della distanza punto-retta
5.
Determina se il punto (3, 3, 3) appartiene alla retta passante per (1, 2, 3) con direzione (1, 1, 1) .
Sì, il punto appartiene alla retta
Passaggi:
- Trova l'equazione parametrica della retta: \vec{r}(t) = (1+t, 2+t, 3+t)
- Risolvi (1+t, 2+t, 3+t) = (3, 3, 3) per t
6.
Trova l'angolo tra le rette \vec{r_1}(t) = (1, 2, 3) + t(1, 0, -1) e \vec{r_2}(s) = (4, 5, 6) + s(0, 1, 1) .
\theta = 90^\circ
Passaggi:
- Trova i vettori direzione: \vec{d_1} = (1, 0, -1) , \vec{d_2} = (0, 1, 1)
- Usa la formula per l'angolo tra due vettori: \cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}
7.
Trova il punto di intersezione tra le rette \vec{r_1}(t) = (1, 1, 1) + t(2, 2, 2) e \vec{r_2}(s) = (2, 2, 2) + s(1, 1, 1) .
Punto di intersezione: (3, 3, 3)
Passaggi:
- Equazione parametrica della retta 1: \vec{r_1}(t) = (1 + 2t, 1 + 2t, 1 + 2t)
- Equazione parametrica della retta 2: \vec{r_2}(s) = (2 + s, 2 + s, 2 + s)
- Imposta le equazioni uguali e risolvi per t e s: 1 + 2t = 2 + s
- Trova il punto di intersezione sostituendo i valori di t e s nelle equazioni parametriche
8.
Trova l'equazione della retta parallela alla retta \vec{r}(t) = (2, -1, 3) + t(4, 2, -1) e passante per il punto (1, 1, 1) .
\vec{r}(t) = (1, 1, 1) + t(4, 2, -1)
Passaggi:
- Identifica il vettore direzionale della retta data: (4, 2, -1)
- Usa il punto dato e il vettore direzionale per scrivere l'equazione parametrica della nuova retta
9.
Trova l'equazione cartesiana della retta passante per i punti (1, 2, 3) e (4, 5, 6) .
Equazione cartesiana: \frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{3}
Passaggi:
- Trova il vettore direzionale tra i due punti: \vec{AB} = (3, 3, 3)
- Usa la formula dell'equazione cartesiana della retta
10.
Determina se le rette \vec{r_1}(t) = (1, 2, 3) + t(1, 0, 0) e \vec{r_2}(s) = (1, 2, 3) + s(0, 1, 0) sono perpendicolari.
Sì, le rette sono perpendicolari
Passaggi:
- Trova i vettori direzione delle rette: \vec{d_1} = (1, 0, 0) e \vec{d_2} = (0, 1, 0)
- Calcola il prodotto scalare dei due vettori direzione: \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0
- Se il prodotto scalare è 0, le rette sono perpendicolari