Rette nello spazio
Abbiamo già visto più e più volte le rette nello spazio 2D, adesso però studiamo cosa succede quando le mettiamo in uno spazio 3D.
Cosa devo già sapere?
Cos'è una retta nello spazio?
Una retta nello spazio è il luogo geometrico dei punti che soddisfano una determinata condizione lineare. Ma allora cosa la differenzia dalle rette viste in precedenza? Il fatto che si tratta di una retta nello spazio a 3 dimensioni, quindi la studieremo nello spazio con 3 assi: x, y e z.
Per iniziare possiamo vedere ogni retta come l'interesezione tra due piani.
Come trovare la sua equazione però? Possiamo prendere le equazioni dei due piani e metterle a sistema.
Supponendo che il primo abbia come equazione:
ax+by+cz+d=0
e che quella del secondo sia:
a'x+b'y+c'z+d'=0
Possiamo descrivere la retta (che coincide con l'intersezione dei piani) come il sistema formato da quest'ultime:
\left\{\begin{array}{l} ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{array}\right.
Questo metodo però non è molto pratico ed è poco intuitivo.
In alcuni casi può comunque risultare molto utile, ma vediamo un'altro metodo più conveniente.
Equazione con i vettori
Proviamo ad esprimere l'equazione di una retta utilizzando dei vettori. Questo ci permetterà anche di calcolare l'equazione di una retta passante per due punti.
Prendiamo un punto nello spazio: possiamo vederlo con un vettore con coda nell'origine e punta nel punto scelto:
Chiamiamo questo vettore \overrightarrow{r\,}. Supponiamo ora di voler trovare l'equazione che passa per questo punto P e per un altro punto T:
Se prendiamo un vettore \overrightarrow{v\,} che parte da P ed arriva a T, possiamo notare che il vettore che parte dall'origine e arriva a T equivale alla somma di \overrightarrow{r\,} e \overrightarrow{v}:
\overrightarrow{v\,} viene chiamato vettore direttore della retta, perché determina la sua direzione.
Notiamo che moltiplicando \overrightarrow{v\,} per uno scalare (un numero) e sommandolo a \overrightarrow{r\,}, possiamo ottenere tutti i punti della retta:
Quindi possiamo identificare la retta come tutti i punti scrivibili nella forma:
\overrightarrow{r\,}+k\overrightarrow{v\,}
Dove k è un qualsiasi numero reale. Il vettore \overrightarrow{v\,} si può facilmente trovare facendo la differenza delle componenti (coordinate) dei punti T e P.
Se per esempio T=(4,3,-1) e P=(1,5,-5), avremo:
\overrightarrow{v\,}=\left (\begin{array}{l} 3\\ -2\\ 4 \end{array}\right)
e la retta che passa per questi due punti sarebbe dunque formata da tutti i punti esprimibili come:
\overrightarrow{r}+k\overrightarrow{v\,}
Ovvero:
\left (\begin{array}{l} 1\\ 5\\ -5 \end{array}\right) + k\left (\begin{array}{l} 3\\ -2\\ 4 \end{array}\right)
Unendo tutto in un vettore otteniamo:
\left (\begin{array}{l} 1+3k\\ 5-2k\\ -5+4k \end{array}\right)
Dunque avremo tutti i punti S del tipo:
S=(1+3k;5-2k;4k-5)
Come ottenere però da questo il sistema di equazioni della retta?
Vediamo come variano le coordinate del nostro punto al variare di S:
\left\{\begin{array}{l} x(k)=1+3k \\ y(k)=5-2k \\ z(k)=4k-5 \end{array}\right.
Quella che abbiamo appena scritto è l'equazione parametrica della retta. Si chiama così perché compare il parametro k.
Ora possiamo isolare k in funzione di una delle variabili e sostituirlo nelle altre due equazioni. Prendiamo per esempio x:
\left\{\begin{array}{l} k={x-1 \over 3} \\ y=5-2k \\ z=4k-5 \end{array}\right.
Adesso sostituiamo nelle altre due per ottenere il sistema della retta:
\left\{\begin{array}{l} y=5-2\cdot {x-1 \over 3} \\ z=4\cdot {x-1 \over 3}-5 \end{array}\right.
Semplificando e scrivendo le due equazioni in forma implicita:
\left\{\begin{array}{l} 3y+2x-17=0 \\ 3z-4x+19=0 \end{array}\right.
Ed ecco ottenuto il sistema scritto per bene.
Se invece isolavamo k in tutte e tre le equazioni ottenevamo il seguente sistema:
\left\{\begin{array}{l} k={x-1 \over 3} \\ k={-y+5\over 2} \\ k={z+5\over 4} \end{array}\right.
Possiamo quindi eguagliare i k ottenendo:
{x-1\over 3} = {-y + 5 \over 2} = {z+5 \over 4}
Questa si chiama l'equazione cartesiana della retta.
Notate che ai denominatori compaiono le entrate del vettore direttore della retta.
Da cui è molto facile passare all'equazione della retta come sistema tra due piani. Ci basta infatti dividere queste equazioni e metterle a sistema:
\left\{\begin{array}{l} {x-1\over 3} = {-y + 5 \over 2} \\ {x-1\over 3} = {z+5 \over 4} \end{array}\right.
Semplificando otteniamo infatti le equazioni dei due piani del sistema di prima.
Adesso abbiamo scelto di prendere la prima equazione con la x e la y e la seconda equazione con la x e la z, ma come scegliere?
Cioè come seconda equazione abbiamo preso {x-1 \over 3} ={z+5 \over 4}, ma potevamo anche prendere {-y+5 \over 2} = {z+5 \over 4}. Quindi come scegliere?
Semplicemente non importa, possiamo prendere quella che vogliamo. Il sistema che otterremo sarà diverso, ma descriverà sempre la stessa retta. Noi abbiamo deciso di prendere quella perché così usciva lo stesso sistema di prima, ma potevamo benissimo prendere l'altra.
Come passare invece dal sistema con i due piani all'equazione parametrica? Per farlo ci basta imporre una delle variabili come un parametro k e sostituirlo nelle due equazioni. Vediamo un esempio. Prendiamo la seguente retta:
\left\{\begin{array}{l} x+y - 7 = 0 \\ 2x + y - z = 2 \end{array}\right.
Poniamo x=k e sostituiamo:
\left\{\begin{array}{l} x= k \\ k + y - 7 = 0 \\ 2k + y -z = 2 \end{array}\right.
Ora isoliamo la y nella seconda equazione e sostituiamola nella terza:
\left\{\begin{array}{l} x= k \\ y = 7-k \\ 2k + y -z = 2 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} x= k \\ y = 7-k \\ 2k + y -z = 2 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} x= k \\ y = 7-k \\ 2k + 7-k -z = 2 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} x= k \\ y = 7-k \\ z = 5+k \end{array}\right.
Ed ecco l'equazione in forma parametrica!
Posizione reciproca fra due rette
Come per i piani, possiamo trovare la posizione reciproca fra due rette. Per farlo, ci basta guardare ai loro vettori direttori.
Essi infatti indicano la loro direzione. Perciò, se i vettori direttori delle due rette sono paralleli, anche le due rette saranno parallele.
Se i due vettori direttori sono perpendicolari, allora le due rette saranno perpendicolari.
Inoltre, possiamo mettere a sistema le due rette per scoprire se hanno delle intersezione. Se le hanno, sono dette incidenti.
Se invece non hanno alcuna intersezione e non sono parallele, si dice che le due rette sono sghembe.
Vediamo un esempio:
Determinare se le rette r ed s sono perpendicolari sapendo che le loro equazioni in forma parametrica sono:
r: \left\{\begin{array}{l} x= 1 + 3k \\ y = 7+k \\ z = 2 +k \end{array}\right.
s: \left\{\begin{array}{l} x= 5-h \\ y = 3+h \\ z = -2 + 2h \end{array}\right.
Le entrate dei vettori direttori sono i coefficienti dei parametri, perciò:
\overrightarrow{v_r} = \left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\1 \end{array}\right)
\overrightarrow{v_s} = \left(\begin{array}{l} -1\\ 1 \\2 \end{array}\right)
Dobbiamo dunque scoprire se questi due vettori sono perpendicolari. Per farlo, ci basta prendere il loro prodotto scalare e vedere se è uguale a 0.
\overrightarrow{v_r} \cdot \overrightarrow{v_s} = \left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} -1 \\ 1 \\2 \end{array}\right) = 3\cdot (-1) +1\cdot 1 + 1\cdot 2 = -3 +1 +2 = 0
Dunque i due vettori direttori sono perpendicolari e quindi anche le due rette lo saranno.
Vediamo invece un esempio di due rette parallele:
Dimostrare che le due rette r ed s sono parallele sapendo che le loro equazioni in forma parametrica sono:
r: \left\{\begin{array}{l} x= 2 + 5k \\ y = -2+k \\ z = 1 -2k \end{array}\right.
s: \left\{\begin{array}{l} x= 2+ 10h \\ y = 7+2h \\ z = -3 -4h \end{array}\right.
I loro vettori direttori saranno:
\overrightarrow{v_r} = \left(\begin{array}{l} 5 \\1 \\-2 \end{array}\right)
\overrightarrow{v_s} = \left(\begin{array}{l} 10 \\ 2 \\-4 \end{array}\right)
I due vettori sono paralleli se il rapporto tra le loro entrate è costante, cioè se:
{5 \over 10} = {1 \over 2} = {-2 \over -4}
che notiamo essere vero perché tutti i rapporti sono uguali a {1\over 2 }.
Vediamo anche un esempio di due rette incidenti:
Determinare se le due rette r e s sono incidenti e nel caso trovare il loro punto di intersezione sapendo che le loro equazioni in forma parametrica sono:
r: \left\{\begin{array}{l} x= 1 + 3k \\ y = 2+k \\ z = 2 +5k \end{array}\right.
s: \left\{\begin{array}{l} x= -3 + 2h \\ y = h \\ z = 6 -2h \end{array}\right.
Mettiamo a sistema le due rette per scoprire se esiste un'intersezione:
\left\{\begin{array}{l} x= 1 + 3k \\ y = 2+k \\ z = 2 +5k \\ x= -3+2h \\y=h \\z=6-2h \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} 1+3k = -3 + 2h\\ 2+k = h \\ 2 +5k = 6-2h \end{array}\right.
Dalla seconda equazione sappiamo quanto vale h in funzione di k quindi possiamo sostituirlo nelle altre due equazioni e vedere se otteniamo lo stesso risultato:
\left\{\begin{array}{l} 1+3k = -3 +2(2 +k) \\ h = 2+k \\ 2 +5k = 6 -2(2+k) \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} 1+3k = -3 +4 +2k \\ h = 2+k \\ 2 +5k = 6 -4 -2k \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} k = 0 \\ h = 2+k \\ 3k =0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} k = 0 \\ h = 2+k \\ k =0 \end{array}\right.
Abbiamo ottenuto in entrambe le equazioni lo stesso valore di k, quindi il sistema è determinato e possiamo sostituire k nelle seconda equazione per calcolare h:
\left\{\begin{array}{l} k = 0 \\ h = 2+0 \\ k =0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} k = 0 \\ h = 2 \\ k =0 \end{array}\right.
Quindi k=0 e h=2. Infatti sostituendoli nelle equazioni delle rette otteniamo da entrambe il punto P(1,2,2), che sarà dunque il punto di intersezione tra le due rette.
Distanza tra due rette e distanza punto retta
Come trovare la distanza tra due rette?
Intanto, le due rette devono essere parallele o sghembe, perché altrimenti sarebbero incidenti e quindi la distanza sarebbe 0 perché hanno il punto di intersezione in comune.
Iniziamo dal caso in cui le due rette siano parallele.
Intanto, cosa intendiamo con distanza tra due rette? Intendiamo la minima distanza a cui due punti di esse possono trovarsi.
Prendiamo due punti qualsiasi delle rette e congiungiamoli con un vettore:
La lunghezza del vettore rappresenterà la distanza tra le due rette quando congiungerà i due punti più vicini della retta.
Cioè, la distanza tra le due rette sarà uguale alla lunghezza del vettore più piccolo che possiamo ottenere in questo modo.
Notiamo facilmente che otteniamo il vettore più corto quando quest'ultimo è perpendicolare alle due rette:
Lo si può dimostrare facilmente usando il teorema di Pitagora, siccome gli atri vettori sarebbero le ipotenuse di un triangolo rettangolo con un cateto congrunte a quel vettore e l'ipotenusa è sempre maggiore del cateti.
Quindi ci basterà prendere un generico vettore che congiunge due punti delle due rette ed imporre che sia perpendicolare ad esse.
Vediamo un esempio.
Trovare la distanza tra le due rette r e s sapendo che le loro equazioni parametriche sono:
r: \left\{\begin{array}{l} x= 2+k\\ y = 3+k \\ z = -4 -k \end{array}\right.
s: \left\{\begin{array}{l} x= 1+2h\\ y = 1+2h \\ z = -2h \end{array}\right.
Notiamo facilmente che le due rette sono parallele perché i loro vettori direttori sono uno un multiplo dell'altro.
Un punto generico della prima retta sarà P(2+k, 3+k, -4-k) e quello della seconda retta sarà T(1+2h,1+2h,-2h).
Il vettore \overrightarrow{PT} avrà come entrate le coordinate di T meno le coordinate di P:
\overrightarrow{PT} = \left(\begin{array}{l} 1+2h -2-k \\1+2h-3-k \\-2h +4 +k \end{array}\right)
\overrightarrow{PT} = \left(\begin{array}{l} 2h-k-1 \\2h-k-2 \\-2h +k +4 \end{array}\right)
Ora dobbiamo imporre che il vettore sia perpendicolare alle due rette, cioè che il prodotto scalare con il vettore direttore sia uguale a 0, quindi:
\overrightarrow{PT} \cdot \overrightarrow{v_r} = 0
\left(\begin{array}{l} 2h-k-1 \\2h-k-2 \\-2h +k +4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\1 \\-1 \end{array}\right) = 0
(2h-k-1) +(2h-k-2) -1\cdot (-2h+k+4) = 0
2h-k-1 + 2h-k-2 +2h-k-4=0
6h -3k -7 = 0
Quindi:
3(2h-k) = 7
2h-k = {7\over 3}
Possiamo dunque sostituirlo nel vettore \overrightarrow{PT} ottenendo:
\overrightarrow{PT}=\left(\begin{array}{l} 2h-k-1 \\2h-k-2 \\-(2h -k) +4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {7\over 3}-1 \\{7\over 3} -2 \\-{7\over 3} +4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} {4\over 3} \\{1\over 3} \\{5\over 3} \end{array}\right)
Possiamo quindi calcolare la lunghezza del vettore usando il teorema di Pitagora:
|\overrightarrow{PT}| = \sqrt{\left({4\over 3}\right)^2+\left({1\over 3}\right)^2+\left({5\over 3}\right)^2}=\sqrt{16 + 1 + 25 \over 9} = {\sqrt{42}\over 3}
Quindi le due rette distano {\sqrt{42}\over 3}.
Ricordatevi dunque di dover trovare il vettore generico tra due punti della retta, imporlo perpendicolare alle due rette e sostituire quello che trovate nella formula per il vettore.
Quando le due rette invece sono sghembe, la questione si fa più complicata.
La distanza minima infatti varia da punto a punto. Possiamo però notare che la distanza fra le due rette è uguale alla distanza da qualsiasi punto della retta al piano che passsa per l'altra retta e che è parallelo alla prima:
Dobbiamo quindi trovare l'equazione di questo piano e poi utilizzare la formula per calcolare la distanza punto piano.
Vediamo un esempio.
Trovare la distanza tra le due rette r ed s sapendo che le loro equazioni in forma parametrica sono:
r: \left\{\begin{array}{l} x= 1+k\\ y = k \\ z = -k \end{array}\right.
s: \left\{\begin{array}{l} x= -2+h\\ y = h \\ z = 1+h \end{array}\right.
Si può notare che le rette non sono parallele, nè perpendicolari nè incidenti, quindi si tratta di due rette sghembe.
Troviamo quindi l'equazione del piano passante per r e parallelo a s:
Prendiamo due punti che appartengono alla retta. Mettendo k=0 e k=-1 otteniamo i due punti P(1,0,0) e T(0,-1,1).
Questi due punti appartengono alla retta e la retta appartiene al piano, quind P e T appartengono al piano.
Ci serve infine una terza condizione, che è proprio quella di parallelismo. Essa ci dice infatti che il vettore normale al piano deve essere perpendicolare al vettore direttore di s e quindi il loro prodotto scalare deve essere nullo. Mettendo tutte e tre le condizioni a sistema otteniamo:
\left\{\begin{array}{l} a\cdot 1 + b\cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0\\ a\cdot 0 + b\cdot (-1) + c\cdot 1 + d =0 \\ a+b+c=0 \end{array}\right.
Risovliamolo isolando tutti i parametri in funzione di d:
\left\{\begin{array}{l} a + d = 0\\ -b + c + d =0 \\ a+b+c=0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} a = -d\\ c =b-d \\ a+b+c=0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} a = -d\\ c =b-d \\ -d+b+b -d=0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} a = -d\\ c =b-d \\ b =d \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} a = -d\\ c =0 \\ b=d \end{array}\right.
Sostituendo nell'equazione generica del piano otteniamo:
ax+by+cz+d=0
-dx +dy + 0z +d = 0
-dx + dy +d=0
-x+y+1 = 0
Quindi non ci resta altro che prendere un punto qualsiasi della retta s, come Q(-2,0,1) che otteniamo mettendo h=0 e calcolare la distanza tra questo punto e il piano:
{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d| \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}} = {|2 + 0 + 0 +1 |\over \sqrt{1+1}} = {3\over \sqrt{2}}
Quindi la distanza tra le due rette sarà {3\over \sqrt{2}}, che volendo possiamo razionalizzare come {3\sqrt{2}\over 2}.
Potete notare, infatti, che mettendo qualsiasi altro punto di s nella formula per la distanza punto piano otteniamo sempre lo stesso identico risultato.
Ora non ci resta che esaminare un ultimo caso: quello in cui vogliamo trovare la distanza tra un punto ed una retta. Come fare?
Possiamo trovare la retta che passa per quel punto ed è parallela alla prima retta e calcolare la distanza tra le due rette parallele:
Vediamo un esempio.
Trovare la distanza tra il punto P(1,0,0) e la retta r con equazione:
r:\left\{\begin{array}{l} x = k\\ y = 2k \\ z = 3-k \end{array}\right.
Per farlo dobbiamo prima trovare l'equazione della retta s che passa per P ed è parallela a r.
Siccome questa retta passa per P, dovrà avere un'equazione del tipo:
s:\left\{\begin{array}{l} x = 1+ah\\ y = bh \\ z = ch \end{array}\right.
Affinchè s sia parallela ad r, il suo vettore direttore deve essere un multiplo di quello di r, quindi possiamo imporre che siano uguali ed ottenere:
s:\left\{\begin{array}{l} x = 1+h\\ y = 2h \\ z = -h \end{array}\right.
Ora non ci resta altro che trovare la distanza tra r ed s.
Prendiamo quindi il vettore \overrightarrow{TQ} che congiunge due generici punti di r ed s:
\overrightarrow{TQ} = \left(\begin{array}{l} 1+h-k \\2h -2k\\ -h -3+k \end{array}\right)
\overrightarrow{TQ} = \left(\begin{array}{l} (h-k)+1 \\2(h -k)\\ -(h-k)-3 \end{array}\right)
Ora imponiamo questo vettore perpendicolare alle due rette:
\overrightarrow{TQ} \cdot \overrightarrow{v_r} = 0
\left(\begin{array}{l} (h-k)+1 \\ 2(h-k)\\ -(h-k)-3 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\2\\ -1 \end{array}\right)=0
[(h-k) +1]\cdot 1 + 2(h-k)\cdot 2 + [-(h-k)-3]\cdot (-1) = 0
(h-k) +1 + 4(h-k) +(h-k) +3 = 0
6(h-k) = - 4
h-k = -{2\over 3}
Sostituiamolo dentro \overrightarrow{TQ}:
\overrightarrow{TQ} = \left(\begin{array}{l} 1-{2\over 3} \\2 \cdot \left(-{2\over 3}\right)\\ -\left(-{2\over 3}\right) -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {1\over 3}\\-{4\over 3}\\ -{7\over 3} \end{array}\right)
Quindi la distanza del punto P alla retta r sarà uguale alla lunghezza di \overrightarrow{TQ} che ora possiamo calcolare:
|\overrightarrow{TQ}| = \sqrt{\left({1\over 3}\right)^2+\left(-{4\over 3}\right)^2+\left(-{7\over 3}\right)^2}\sqrt{1 + 16 + 49 \over 9} = \sqrt{66\over 9} = {\sqrt{66}\over 3}
Quindi la distanza che cercavamo sarà proprio uguale a {\sqrt{66}\over 3}.
In generale dobbiamo dunque trovare la retta che passa per questo punto e che è parallela all'altra retta e poi dobbiamo calcolare la distanza tra queste due rette.