Piano cartesiano e rette

Cos'è il piano cartesiano?

Prima di iniziare con lo studio delle rette analizziamo il piano cartesiano. Per introdurlo dovete avere chiari i concetti di piano e di retta. Il piano cartesiano è uno strumento che ci permette di descrivere la posizione di oggetti nel piano. Esso è costituito da due rette, chiamate assi, che si incontrano in un punto chiamato origine. La retta orizzontale si chiama asse delle x (o asse delle ascisse) e quella verticale si chiama asse delle y (o asse delle ordinate). Gli assi sono orientati e su essi è fissata un’unità di misura. L’origine corrisponde a 0 e su essi è possibile inserire ogni numero reale.

Prendiamo un punto A nel piano e tracciamo le rette parallele agli assi. Chiamiamo con x_A il punto di intersezione di una retta con l’asse delle ascisse e con y_A il punto di intersezione dell’altra retta con l’asse delle ordinate.

Chiamiamo quindi x_A ascissa e y_A ordinata di A e diciamo che A ha coordinate x_A e y_A. Possiamo anche utilizzare la notazione A(x_A,y_A) che si legge A ha coordinate x_A e y_A. Notiamo che l’ascissa va scritta sempre prima dell’ordinata.

Gli assi dividono il piano in 4 parti (anch'esse infinite) chiamate quadranti come in figura. Notiamo che se un punto del piano si trova

• nel primo quadrante ha ascissa e ordinata positiva (+,+),

• nel secondo quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva (-,+),

• nel terzo quadrante ha ascissa e ordinata negativa (-,-),

• nel quarto quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa (+,-).

Distanza fra due punti e punto medio

Analizziamo come si trova la distanza fra due punti nel piano cartesiano. Partiamo da un caso particolare in cui le ascisse dei due punti sono uguali. Prendiamo quindi due punti con ascissa uguale A(x, y_A) e B(x, y_B).

Siccome stanno sulla stessa retta orizzontale, la distanza fra i due punti sarà la differenza tra le loro ordinate. Attenzione però, la distanza è una quantità sempre positiva! Per questo bisogna prendere il valore assoluto. Quindi la formula è

d(A, B)=|y_A-y_B|

Per lo stesso identico ragionamento, se abbiamo due punti con la stessa ordinata A(x_A,y) e B(x_B;y), la loro distanza sarà il valore assoluto della differenza delle loro ascisse:

d(A,B)=|x_A-x_B|

Analizzimo ora il caso generale di due generici punti A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B). Per prima cosa, tracciamo le parallele all’asse x e all’asse y che partono dai due punti. Notiamo che si forma un triangolo rettangolo. Uno dei suoi cateti è uguale alla differenza delle x mentre l’altro alla differenza delle x. Quindi possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra i due punti:

AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

Notiamo che questa volta non ci dobbiamo preoccupare del segno della differenza perché elevando al quadrato le differenze diventa comunque tutto positivo.

Un'ultima formula che è utile conoscere è quella che determina le coordinate del punto medio di un segmento nel piano cartesiano. Essa è

M\bigg(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \bigg)

dove A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B) sono le coordinate dei due estremi del segmento.

Rette particolari

1.Retta parallela all'asse delle ascisse

Analizziamo, come prima cosa, il caso di una retta parallela all'asse delle x. Prendiamo una qualsiasi retta di questo tipo e chiamiamo con k il punto di intersezione della retta con l'asse delle y. Siccome questa retta è orizzontale, notiamo che tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata (la stessa y) e che quindi hanno coordinate P(x_P, k), con x_P variabile e k costante. Quindi la condizione affinché un punto appartenga alla retta è che la sua y sia uguale a k. Per questo possiamo dire che l'equazione di una generica retta parallela all'asse delle ascisse è

y=k

in quanto è l'insieme di tutti e soli i punti che hanno ordinata k (e ascissa variabile).

Notiamo infine che se k=0 la retta che otteniamo coincide con quella dell'asse x che quindi ha equazione

y=0

2.Retta parallela all'asse delle ordinate

Analogamente possiamo procedere per ricavare la formula generale delle rette parallele all'asse delle y. Prendiamo anche in questo caso una retta di questo tipo e chiamiamo con h il punto di intersezione della retta con l'asse delle x. Notiamo che tutti i punti della retta hanno la stessa ascissa e che quindi hanno coordinate P(h, y_P), con h costante e y_P variabile. Per questo possiamo dire che l'equazione generica di una retta parallela all'asse y è

x=h

In quanto è l'insieme di tutti e soli i punti ascissa uguale a h (e ordinata variabile).

Notiamo infine che se h=0 la retta che otteniamo coincide con quella dell'asse y che quindi ha equazione

x=0

3. Retta passante per l'origine

Prendiamo una retta che passa per l'origine:

La sua equazione è del tipo y = mx, dove m è una costante a cui diamo il nome di coefficiente angolare.

Questo signfica che le ascisse e le ordinate dei punti di una retta passante per l'origine sono direttamente propozionali.

Quindi, facendo variare m, otterremo tutte le rette passanti per l'origine.

Per convincerci della veridicità di quest'equazione, proviamo a rappresentare l'equazione y=3x sul piano cartesiano. Per farlo compiliamo una tabella con i valori di x e y:

Disegnamo quei punti sul piano cartesiano e tracciamo la retta passante per essi.

Tutti i punti che potete trovare che rispettano l'equazione y=3x si troveranno proprio sopra questa retta.

Notiamo che se m è positivo, mettendo una x positiva otteniamo una y positiva, mentre mettendone una negativa otteniamo una y negativa.

Quindis significa che tutti i punti delle rette con m positivi hanno o ascissa e ordinata positiva, oppure sono entrambe negative. Ciò significa che la retta giace nel prima e nel terzo quadrante.

Se invece m è negativo, otteniamo il contrario. Cioè quando le x sono positive le y sono negative e quando le x sono negative le y sono positive.

Quindi le rette con m negative giaciono nel secondo e quarto quadrante:

In generale, il coefficiente angolare ci dice quanto è inclinata la retta rispetto all'asse delle x.

Retta generica non parallela all'asse delle y

In generale una retta non deve passare per l'origine, ma può stare più in alto o più in basso:

Quindi se abbiamo alzato o abbassato la retta, significa che abbiamo sommato o sottratto una costante a tutte le y dei punti della retta.

Quindi l'equazione da y=mx diventa y=mx +q. Questo q viene solitamente chiamato intercetta all'origine. Perché? Perché se mettiamo x=0, otteniamo y=q, quindi q è l'altezza a cui la retta incontra l'asse y.

Infatti se mettiamo q=0 riotteniamo il caso di prima e la retta taglia l'asse y nell'origine.

Notiamo che mettiamo m=0 otteniamo y=q, che era l'equazione delle rette parallele all'asse x (quelle orizzontali).

E quando otteniamo quelle invece parallele all'asse y (quelle verticali)? In questa forma qua, non le otteniamo mai, perché non possiamo far scomparire la y.

Quella che infatti abbiamo visto è l'equazione della retta in forma esplicita. Si chiama così perché la y è isolata, cioè è esplicita.

Esiste infatti anche la forma implicita della retta che ci permettere di esprimere anche le rette parallele all'asse y, che vedremo nel prossimo capitolo.

Forma implicita dell'equazione della retta

In generale, oltre alla x, possiamo aggiungere un coefficiente anche alla y.

In questo modo, quando metteremo questo coefficiente uguale a 0, otterremo l'equazione delle rette parallele all'asse y.

Questa volta però portiamo tutti i termini a sinistra dell'uguale, quindi l'equazione implicita della retta sarà:

ax + by + c =0

Perché questa volta il coefficiente della x si chiama a e non più m?

Perché non è più il coefficiente angolare. Otteniamo il coefficiente angolare quando isoliamo la y. Se infatti la isoliamo otteniamo:

y = -{a\over b}x - {c \over b}

E quindi il coefficiente angolare sarebbe uguale a -{a\over b}, non ad a, per questo ora il suo coefficiente ha un nome diverso.

Quindi l'equazione in forma implicita della retta può descrivere tutte le rette del piano cartesiano.

Quindi, anche se l'equazione in forma esplicita è più comoda, a volte si preferisce usare quella implicita perché è più generale.

Come passare da una forma all'altra?

Se hai l'equazione in forma implicita, ti basta isolare la y per ottenerla in forma esplicita.

Se hai la forma esplicita è ancora più facile, perché ti basterà portare tutto a sinistra dell'uguale ed otterrai la forma implicita.

Vediamo un paio di esempi:

Se hai - 4x +2y +1=0, per ottenere la forma esplicita ti basta isolare la y:

2y = 4x -1

y = 2x - {1\over 2}

Se invece hai y= 3x -1, per ottenere la forma implicita ti basta portare tutto a sinistra dell'uguale:

y - 3x +1 =0

-3x + y +1 =0

Retta passante per due punti

Un noto postulato della geometria afferma che per due punti passa una sola retta. Supponendo vero questo, se abbiamo due punti, ci sarà una sola retta che passa per essi e quindi ci dovrà essere un modo per risalire alla sua equazione.

Supponiamo dunque di avere due punti P(x_P,y_P) e T(x_T,y_T), sapendo che appartengono alla retta, devono verificare la sua equazione. Quindi:

\left\{ \begin{array}{l} y_P = mx_P+q\\ y_T =mx_T+q\end{array} \right.

Notiamo che il coefficiente angolare e il termine noto sono uguali in quanto stiamo parlando della stessa retta. Infatti m e q sono le uniche incognite del sistema in quanto gli altri sono coefficienti e corrispondono alle coordinate dei due punti, che noi abbiamo.

Se sottraiamo la seconda equazione alla prima la variabile scompare e dunque otteniamo:

y_P - y_T = mx_P - mx_T

L'unica incognita che abbiamo è il coefficiente angolare, e quindi ci basta isolarlo per trovare una formula più pulita

m ={y_P - y_T \over x_P- x_T}

Questa è la formula che ci permette di trovare il coefficiente angolare di una retta partendo da due suoi punti. Molto spesso, vista la sua importanza, si richiede di impararla a memoria.

Questa si tratta di una formula molto importante e ci dice che il coefficiente angolare è uguale alla differenza, cioè alla variazione, delle y fratto la variazione delle x.

Spesso utilizziamo il \Delta per indicare il concetto di differenza. Per questo spesso richiamiamo y_P - y_T come \Delta y e x_P - x_T come \Delta x.

m = {\Delta y \over \Delta x}

Adesso non ci serve altro che trovare una formula per q. Per farlo basta sostituire m in una delle 2 equazioni del sistema:

y_P = {(y_P-y_T) \cdot x_P \over (x_P-x_T) + q}

Quindi portando tutto dallo stesso lato ed allo stesso denominatore:

q= {y_P(x_P - x_T) - x_P(y_P-y_T) \over x_P -x_T}

q = {x_Py_T - y_Px_T \over x_P-x_T}

Come si può notare è una formula abbastanza complicata da ricoradare. Di solito si evita di impararla a memoria e si decide di studiare solo quella per trovare m. Infatti, una volta che si conosce m si può sostituire direttamente il suo valore numerico nell'equazione precedente

y_P = mx_P + q \longrightarrow q = y_P - mx_P

per trovare il valore numerico di q

La formula di q però è interessante perché, risostituendola nell'equazione di una retta, ci permette di trovare una formula diretta per l'equazione della retta passsane per i due punti.

Sostituendo m e q nell'equazione generale di una retta scritta in forma esplicita infatti otteniamo:

y = mx + q

y = {y_P - y_T \over x_P - x_T}x + {x_Py_T - y_Px_T}

Si tratta di un'equazione piuttosto complicata, quindi proviamo a semplificarla con qualche passaggio algebrico:

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

y = {(y_P - y_T)x + x_py_T - y_Px_T \over x_P - x_T}

Ora sottraiamo y_P da entrambi i lati:

y-y_P ={(y_P - y_T)x + x_py_T - y_Px_T \over x_P - x_T}-y_P

y-y_P = {(y_P - y_T)x + x_py_T - y_Px_T -y_Px_P +y_Px_T \over x_P - x_T}

Semplifichiamo e raccogliamo:

y-y_P = {(y_P - y_T)x + x_py_T - y_px_P \over x_p - x_T}

y-y_P = {(y_P - y_T)x - (y_P - y_T)x_P \over x_p - x_T}

y-y_P = {(y_P - y_T)(x-x_P) \over x_p - x_T}

Ora dividiamo entrambi i lati per y_P-y_T:

{y-y_P\over y_P - y_T} = {x - x_P \over x_p - x_T}

Ed infine moltiplichiamo entrambi i lati per -1 per cambiare il segno delle differenze:

{y-y_P\over y_T - y_P} = {x - x_P \over x_T - x_P}

In questo modo c'è una certa simmetria nella formula e questo ci aiuta a ricordarcela.

Può essere molto utile come formula perché ci permette di trovare subito l'equazione della retta, però può essere difficile ricordarsela, quindi se ve la dimenticate potete anche solo trovare il coefficiente angolare con la semplice formula m = {\Delta y \over \Delta x}, sostituirlo in una delle due equazioni per trovare q ed infine sostituire entrambi nell'equazione generica della retta in forma esplicita.

Posizione reciproca tra due rette

Due rette r e t possono essere incidenti, parallele e distinte o coincidenti. Nelle prossime sezioni analizzeremo approfonditamente ogni caso.

1. Rette incidenti

Geoemetricamente, due rette si dicono incidenti se si incotrano in uno stesso punto che viene chiamato punto di intersezione. Per capire se le due rette sono incidenti bisogna analizzare il loro coefficiente angolare: se è diverso le rette avranno inclinazione diversa e quindi si incontreranno in un punto.

Per trovare il punto di intersezione partendo dalle due equazioni dobbiamo fare un sistema tra le due rette e porre uguale in entrambe le equazioni la x e la y. Facendo ciò otteremo un sistema a due incognite facilmente risolvibile

\left\{ \begin{array}{l} y = m_1 x + q_1 \\ y = m_2 x + q_2 \end{array} \right.

Esempio: Date le due rette 2x+y-2=0 e 3x-y-3=0 verificare che esse siano incidenti e trovare il loro punto di intersezione

Per prima cosa dobbiamo verificare che esse siano incidenti. Per farlo troviamo il coefficiente angolare di entrambe le rette esplicitandole:

2x+y-2=0 \longrightarrow y= -2x+2 quindi m_1=-2

3x-y-3=0 \longrightarrow y=3x-3 quindi m_2=3

Notiamo che le rette sono incidenti perché m_1 \neq m_2. Per trovare il loro punto di intersezione P risolviamo il sistema formato dalle loro equazioni, ad esempio con il metodo del confronto:

\left\{ \begin{array}{l} 2x+y-2=0 \\ 3x-y-3=0 \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-2x+2 \\ y=3x-3 \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} -2x+2=3x-3 \\ y=3x-3 \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=0 \end{array} \right.

Quindi P(1,0)

2. Rette parallele

Geoemetricamente, due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune. Per capire se due rette sono parallele bisogna analizzare il loro coefficiente angolare: se è identico significa che le rette hanno la stessa inclinazione e quindi che non si incontreranno mai.

Esempio: Date le due rette 4x-3y+2=0 e 8x-6y+3=0, verificare che sono parallele.

Analizziamo per prima cosa il coefficiente angolare delle due rette ponendole in forma esplicita:

4x-3y+2=0 \longrightarrow y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}

8x-6y+3=0 \longrightarrow y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}

Notiamo che le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare e che quindi sono parallele.

Un caso particolare di rette parallele è quello delle rette coincidenti. Infatti, se hanno sia lo stesso coefficiente angolare sia lo stesso termine noto, avremo due rette uguali. Rette di questo tipo hanno tutti gli infiniti punti in comune.

Esempio: Date le due rette x+3y-4=0 e 2x+6y-8, verificare che esse siano coincidenti.

Anche in questo caso, analizziamo il coefficiente angolare e il termine noto di entrambe le equazioni: se sono uguali allora le rette saranno coincidenti:

x+3y-4=0\longrightarrow y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}

2x+6y-8=0\longrightarrow y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}

Le rette hanno m_1=m_2 e q_1=q_2 e quindi sono uguali. Notiamo che potevamo arrivare alla stessa soluzione moltiplicando per 2 entrambi i membri della prima equazione, ottenendo la seconda.

Rette: introduzione

Un’equazione nelle incognite x e y del tipo ax+by+c=0 è un’equazione di primo grado sia rispetto alla x sia rispetto alla y. Chiamiamo ogni equazione di questo tipo equazione lineare a due incognite. Le soluzioni di questo tipo di equazioni sono tutte le coppie di valori reali x,y che la verificano.

Esempio: Nell'equazione 2x-3y+1=0 una possibile coppia di soluzioni potrebbe essere (x,y)=(1,1) perché 2\cdot1-3\cdot1+1=0 è vero. Possiamo notare però che questa non è l'unica. Infatti, per fare qualche esempio, le coppie (4,3) e (-2,-1) sono anch'esse soluzioni dell'equazione.

Con un po' di intuizione possiamo dedurre che le soluzioni di un'equazione di questo tipo sono infinite e per ottenerle basta sostituire alla x un qualsiasi valore in modo da ottenere il corrispondente valore di y.

A ogni coppia di soluzioni di un'equazione lineare a due incognite corrisponde un punto sul piano cartesiano. Si può dimostrare che l'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione di questo tipo, rappresentato graficamente, corrisponda a una retta. Possiamo quindi afferamare che

ax+by+c=0 con a e b \neq 0

è l'equazione generica che, al variare di a, di b e di c, rappresenta tutte le rette del piano cartesiano. Essa viene detta equazione della retta in forma implicita.

Trovata questa formula importante abbiamo le basi per iniziare lo studio delle rette. Per iniziare analizziamo alcuni casi di rette particolari sul piano cartesiano.