Teorema di Pitagora e i due Teoremi di Euclide

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Triangolo rettangolo

Teorema di pitagora

Prendiamo un triangolo rettangolo:

I due lati adiacenti all'angolo retto (a e b) sono detti cateti, mentre il terzo lato, quello "lontano" dall'angolo retto è detto ipotenusa

Il teorema di Pitagora lega tra loro la lunghezza dei cateti e quella dell'ipotenusa. Esso infatti afferma che:

La somma dei quadrati costruiti sui cateti (di un triangolo rettangolo) è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa.

Algebricamente lo si può tradurre come:

a^2 + b^2 = c^2

Quindi, a cosa ci serve questo teorema? Con esso possiamo trovare l'ipotenusa conoscendo i cateti, oppure possiamo trovare un cateto conoscendo l'altro e l'ipotenusa, basta isolare l'incognita desiderata nell'equazione:

c=\sqrt{a^2 + b^2 } per trovare l'ipotenusa

a=\sqrt{c^2 -b^2} per trovare il cateto a

b=\sqrt{c^2 -a^2 } per trovare il cateto b

Vediamo un esempio di come possiamo applicarlo:

un triangolo rettangolo ha cateti a e b sono lunghi rispettivamente 3cm e 4cm, trovare la lunghezza dell'ipotenusa

Per farlo basta utilizzare il Teorema di Pitagora, che ci dice:

c^2 = a^2 + b^2

ovvero:

c=\sqrt{a^2 +b^2}

Quindi basta sostituire a e b per trovare l'ipotenusa c:

c=\sqrt{(3cm)^2 + (4cm)^2 } = \sqrt{9cm^2 + 16cm^2}= \sqrt{25cm^2}=5cm

Ed ecco risolto. In questo caso abbiamo ottenuto tre valori interi per i lati del triangolo (3,4,5) e siccome dobbiamo prendere un radice quadrata è piuttosto raro che escano dei numeri interi.

Questa terna di numeri viene chiamata terna pitagorica e quella che abbiamo appena visto 3,4,5 è la più piccola che esista. Perchè ci interessano le terne pitagoriche? Perché in alcuni casi ci aiutano a semplificare i calcoli.

Notiamo infatti una cosa interessante: se moltiplichiamo ogni termine della terna pitagorica per un numero intero k, otteniamo un'altra terna pitagorica. Perchè?

Dimostriamolo:

una volta moltiplicati per k, la nuova terna diventerà (3k,4k,5k), applichiamo il teorema di pitagora e vediamo se lo verificano:

c^2 = a^2 + b^2

25k^2 = 9k^2 + 16k^2

25k^2 = 25k^2

L'uguaglianza è verificata. Geometricamente questo ha senso perchè moltiplicare ogni lato per una costante k equivale a rimpicciolire o ingrandire il triangolo, quindi è ovvio che rimarrà un triangolo rettangolo.

Ma perchè abbiamo fatto tutto questo? Perchè ora se abbiamo, ad esempio, due cateti di lunghezza 6cm e 8cm, sappiamo subito che l'ipotenusa sarà lunga 10cm.

I cateti sono infatti quelli della terna pitagorica ma moltiplicati per 2, quindi k=2 e dunque l'ipotenusa deve essere il doppio di 5cm, ovvero 10cm.

Se quindi vi capita di trovare due cateti nella forma 3k e 4k, sapete già che l'ipotenusa sarà 5k. Questo è specialmente utile per k molto grandi.

Se per esempio avessimo due cateti lunghi 39cm e 52cm, sarebbe un po' lungo fare i calcoli perchè li dovreste elevare al quadrato, sommarli e prendere la radice quadrata. Se però notate che:

39=13 \cdot 3 e 52= 13 \cdot 4, sapete già che l'ipotenusa sarà 13 \cdot 5 , ovvero 60. Esistono poi altre terne pitagoriche utili da sapere a memoria, ma per ora ci fermiamo qui.

Primo teorema di Euclide

Passiamo quindi ai Teoremi di Euclide. Sono molto meno famosi e generalmente meno utili del Teorema di Pitagora, ma ci possono aiutare a risolvere molti problemi.

Il primo teorema di Euclide enuncia che:

Il quadrato costruito su uno dei cateti (in un triangolo rettangolo) è uquivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

Cosa si intende per proiezione del cateto sull'ipotenusa? Si intende che dal vertice che il cateto non ha in comune con l'ipotenusa, in questo caso A, facciamo partire una retta perpendicolare all'ipotenusa, che la intersecherà in un punto H.

Finora abbiamo effettuato un procedimentio analogo a quello per trovare l'altezza di un triangolo, adesso però la proiezione è il segmento BH, ovvero quello che parte del vertice in comune (B) e l'intersezione H.

Potete visualizzare il processo di prendere la proiezione come al guardare l'ombra del cateto se la luce viene dall'alto.

Proviamo a tradurre in forma algebrica quello che enuncia il teorema. Se chiamiamo la proiezione p, avremo:

a^2 = p \cdot c

Utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni possiamo riscriverla come:

c:a=a:p

Ovvero, il rapporto tra l'ipotenusa ed un cateto è uguale al rapporto tra quel cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Il secondo teorema di Euclide enuncia che:

Il quadrato costruito sull'altezza (in un triangolo rettangolo) riferita all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha come dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Guardando al disegno del capitolo precedente, se chiamiamo le due proiezioni p_1 e p_2 e l'altezza la chiamiamo h, avremo:

h^2 = p_1 \cdot p_2

Anche in questo caso possiamo riscriverla come proporzione grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni:

p_1:h=h:p_2