Il rettangolo è un quadrilatero, cioè un poligono con quattro lati, che ha quattro angoli retti. I lati opposti sono paralleli e congruenti.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Rettangolo | Quadrilatero con 4 angoli retti e lati opposti paralleli. | — |
| Area | Si calcola moltiplicando base e altezza, cioè i due lati perpendicolari. | |
| Perimetro | Si ottiene sommando i lati e moltiplicando per 2. | |
| Diagonale | È il segmento che unisce due vertici opposti. | |
| Diagonali | Sono uguali e si tagliano a metà. | — |
| Quadrato | È un caso particolare di rettangolo con tutti i lati uguali. | — |
Il rettangolo, cioè un quadrilatero con quattro angoli retti, serve per descrivere figure molto regolari e facili da misurare.
Si pensa a un foglio, a uno schermo o a una tessera del pavimento. La forma è semplice, ma permette di calcolare con precisione area, perimetro e diagonale.
Un rettangolo è un parallelogramma, cioè un quadrilatero con i lati opposti paralleli, che ha tutti e quattro gli angoli di .
Per esempio, una figura con base e altezza è un rettangolo se gli angoli sono tutti retti.
L'area indica quanta superficie occupa la figura. Nel rettangolo si usa il prodotto tra base e altezza, perché la figura si può pensare come una griglia di quadratini.
L'area, cioè la misura della superficie interna, si calcola con la base e con l'altezza.
Per esempio, con e , si ottiene .
La formula funziona perché il rettangolo riempie esattamente colonne di unità, oppure righe di unità.
Per esempio, se la base è e l'altezza è , l'area vale .
Il perimetro misura il contorno della figura. Nel rettangolo i lati opposti sono uguali, quindi basta sommare base e altezza due volte.
Il perimetro, cioè la lunghezza del bordo esterno, si ottiene sommando tutti i lati.
Per esempio, con e , si ha .
Si può anche verificare sommando i lati: . Il risultato coincide.
Con e , il perimetro è .
La diagonale è il segmento che unisce due vertici opposti. Nel rettangolo si ottiene un triangolo rettangolo, cioè un triangolo con un angolo retto.
La diagonale, cioè il segmento interno più lungo del rettangolo, si calcola con il teorema di Pitagora.
Per esempio, con e , si ottiene .
Il calcolo mostra che la diagonale non si trova sommando i lati. Si usa invece Pitagora sul triangolo formato da base, altezza e diagonale.
Con e , la diagonale vale .
Le diagonali del rettangolo hanno due proprietà importanti. Sono congruenti, cioè hanno la stessa lunghezza, e si bisecano, cioè si dividono a metà a vicenda.
Per esempio, se una diagonale misura , anche l'altra misura . Se il punto d'incontro divide una diagonale in due parti di , anche l'altra viene divisa in due parti uguali.
Questa proprietà aiuta a riconoscere un rettangolo in un disegno e a controllare i calcoli geometrici.
Il quadrato è un caso particolare di rettangolo, perché ha quattro angoli retti e anche tutti i lati uguali.
Il quadrato, cioè il rettangolo con tutti i lati congruenti, conserva tutte le proprietà del rettangolo.
Per esempio, un rettangolo con base e altezza è anche un quadrato.
La differenza è semplice. Nel rettangolo generico i lati adiacenti possono essere diversi. Nel quadrato, invece, sono tutti uguali.
Per esempio, un quadrato di lato ha area .
Le tre formule principali rispondono a tre domande diverse: quanta superficie occupa, quanto è lungo il bordo e quanto misura la diagonale.
Si sceglie la formula in base alla grandezza richiesta. L'area usa base e altezza, il perimetro usa la somma dei lati, la diagonale usa Pitagora.
Per esempio, con base e altezza , l'area è , il perimetro è e la diagonale è .
[IMMAGINE: Disegno di un rettangolo su piano cartesiano, con base orizzontale b, altezza verticale h, diagonale d tracciata, vertici etichettati A, B, C, D, angoli retti segnati con quadratini, centro segnato con O.]
Questo schema visivo aiuta a collegare le formule alla figura. Si vede subito dove compaiono base, altezza e diagonale.
Il rettangolo, cioè il quadrilatero con quattro angoli retti, si studia tramite area, perimetro e diagonale.
L'area , cioè la misura della superficie interna, dipende dalla base e dall'altezza .
Per esempio, con e , si ottiene .
Si consideri un rettangolo con base 8 cm e altezza 5 cm.
Si calcola . L'area misura quindi 40 centimetri quadrati.
Il perimetro, cioè la somma dei lati del contorno, dipende da due volte la somma di base e altezza.
Per esempio, con e , si ottiene .
Si consideri lo stesso rettangolo con base 8 cm e altezza 5 cm.
Si calcola . Il perimetro misura quindi 26 centimetri.
La diagonale, cioè il segmento che unisce due vertici opposti, si trova con il teorema di Pitagora.
Per esempio, con e , si ottiene , cioè circa .
Calcolare l'area di un rettangolo con base e altezza .
[IMMAGINE: Rettangolo con base etichettata 8 cm e altezza etichettata 5 cm. Angoli retti evidenziati.]
Si riconoscono i dati: la base vale e l'altezza vale . L'incognita è l'area .
Si usa la formula dell'area del rettangolo, cioè base per altezza. Questa regola permette di moltiplicare le due misure per ottenere la superficie.
Si sostituiscono i valori. Si ha .
L'area è 40 cm².
Errore comune: confondere l'area con il perimetro e sommare i lati invece di moltiplicarli.
Calcolare il perimetro di un rettangolo con base e altezza .
[IMMAGINE: Rettangolo con lato orizzontale 12 m e lato verticale 7 m. Indicare tutti e quattro i lati uguali a due a due.]
Si conoscono due misure: la base m e l'altezza m. Si cerca il perimetro .
Si applica la formula del perimetro del rettangolo, cioè il doppio della somma di base e altezza. Questa formula conta tutti e quattro i lati.
Si sostituiscono i valori. Si ottiene .
Il perimetro è 38 m.
Errore comune: dimenticare di moltiplicare per 2 e contare solo due lati.
Trovare la diagonale di un rettangolo con base e altezza .
[IMMAGINE: Rettangolo con base 6 cm, altezza 8 cm e diagonale tracciata. Indicare il triangolo rettangolo formato.]
Si conoscono i cateti del triangolo rettangolo formato da base, altezza e diagonale. L'incognita è la diagonale .
Si usa il teorema di Pitagora, cioè la regola che lega i lati di un triangolo rettangolo. La diagonale è l'ipotenusa.
Si sostituiscono i valori: .
Si calcola la radice quadrata: .
La diagonale è 10 cm.
Errore comune: confondere la diagonale con un lato del rettangolo.
Verificare se un rettangolo con lati e è anche un quadrato.
Si osservano i dati: i due lati consecutivi misurano entrambi . Si cerca la classificazione della figura.
Si ricorda la differenza tra rettangolo e quadrato, cioè il quadrato è un rettangolo con tutti i lati congruenti. In un rettangolo generico, invece, contano gli angoli retti.
Poiché base e altezza sono uguali, la figura soddisfa anche la definizione di quadrato. Rimane comunque un rettangolo.
La figura è quadrato e anche rettangolo.
Errore comune: credere che un quadrato non sia un rettangolo perché ha un nome diverso.
Area:
Area:
L'area misura la superficie occupata. Si ottiene moltiplicando base e altezza, non sommando. Con cm e cm, si ha cm.
Perimetro:
Perimetro:
Il perimetro è la somma dei lati. Nel rettangolo i lati opposti sono uguali, quindi si contano due basi e due altezze. Con cm e cm, si ottiene cm.
Diagonale:
Diagonale:
La diagonale non si somma ai lati. Si usa il teorema di Pitagora, cioè la relazione tra i lati del triangolo rettangolo formato da base, altezza e diagonale. Con cm e cm, si ha cm.
Il rettangolo è un quadrilatero con quattro lati uguali.
Il rettangolo è un parallelogramma con quattro angoli retti.
Quattro lati uguali descrivono il quadrato, non il rettangolo. Nel rettangolo contano gli angoli retti e l'uguaglianza dei lati opposti. Con cm e cm, la figura resta un rettangolo.
Il quadrato è una figura diversa e non è un rettangolo.
Il quadrato è un caso particolare di rettangolo.
Il quadrato soddisfa tutte le proprietà del rettangolo, cioè ha quattro angoli retti. In più ha anche i quattro lati uguali. Con lato cm, è sia quadrato sia rettangolo.
Le diagonali del rettangolo hanno lunghezze diverse e non si incontrano a metà.
Le diagonali del rettangolo sono uguali e si bisecano.
Le diagonali di un rettangolo si tagliano nel punto medio, cioè si dividono in due parti uguali. L'errore nasce perché si confonde il rettangolo con altri quadrilateri. Con un rettangolo di base cm e altezza cm, entrambe le diagonali misurano cm.
Il rettangolo è un quadrilatero, cioè una figura piana con quattro lati, che ha quattro angoli retti.
I lati opposti sono paralleli e uguali. Le diagonali sono uguali e si bisecano, cioè si tagliano a metà.
L'area del rettangolo si calcola moltiplicando base e altezza.
Per esempio, se e , allora .
Si usa questa formula in tutti i problemi sull'area del rettangolo.
La formula del perimetro del rettangolo è la somma di tutti i lati, cioè due volte la somma di base e altezza.
Per esempio, se e , allora .
La diagonale del rettangolo si trova con il teorema di Pitagora, cioè il teorema sui triangoli rettangoli.
Per esempio, se e , allora .
Il quadrato è un caso particolare di rettangolo, perché ha quattro angoli retti e tutti i lati uguali.
Nel rettangolo, invece, i lati uguali sono solo quelli opposti. Quindi ogni quadrato è un rettangolo, ma non ogni rettangolo è un quadrato.
Per esempio, un rettangolo di lati 5 cm e 3 cm non è un quadrato. Un quadrato di lato 4 cm sì.
Le proprietà principali del rettangolo sono quattro angoli retti, lati opposti paralleli e uguali, diagonali uguali e diagonali che si bisecano.
Per esempio, se si disegna un rettangolo, i due punti medi delle diagonali coincidono.
Queste proprietà permettono di riconoscere la figura anche in esercizi con dati incompleti.
