La regola di Ruffini è una tecnica di scomposizione dei polinomi ed è stata introdotta dal matematico Paolo Ruffini. È utile in quanto riesce a scomporre polinomi non scomponibili con le altre tecniche che abbiamo visto in una lezione apposita (cliccate qui per accedervi 👈).
Questo metodo di scomposizione si basa sul Teorema di Ruffini, il cui enunciato è “Un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x-a soltanto se scambiando la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore viene annullato”.
Cioè, un polinomio è divisibile per se e solo se (per calcolare basta mettere al posto della ).
In questa lezione ci limiteremo a spiegare come e quando applicare la regola e non dimostreremo il teorema in sé. Chiarito questo possiamo procedere.
Dato che usare la regola di Ruffini è il metodo più lento per scomporre un polinomio, consigliamo di provare prima tutte le altre tecniche di scomposizione perché, se il grado del polinomio è minore o uguale a 3, molto probabilmente è scomponibile in altri modi più veloci.
Se ci si trova davanti un polinomio di grado elevato e non si riesce a ricondurlo a gradi inferiori usando, ad esempio, il raccoglimento totale, allora è conveniente procedere con Ruffini in quanto è facile e sicuro.
La prima cosa che bisogna fare con il nostro polinomio è trovare un numero che lo annulli, cioè un numero che se sostituito all’incognita faccia venire .
Per fortuna esiste una regola che questo numero deve seguire. Esso deve infatti essere una frazione con:
Spesso la lista dei candidati può essere piuttosto lunga, ma sempre avere una lista lunga ma finita che dover provare a caso ogni numero reale.
Con il tempo imparerete a trovare questi numeri ad occhio, senza dover scrivere ogni volta la lista. Vediamo un esempio:
Esempio:
Prendiamo il polinomio I divisori del termine noto sono mentre i divisori del coefficiente del termine di grado massimo sono
Quindi tutti i numeri possibili sono (le frazioni che avevano al denominatore le abbiamo scritte direttamente come numeri interi e non abbiamo scritto due volte i doppioni).
Conviene iniziare dai valori più semplici da controllare. Proviamo con ma non viene Proviamo quindi con ed esce ( ).
Bingo! Ora sappiamo che il nostro polinomio sarà divisibile per più il reciproco del numero trovato, cioè .
Potremmo dunque affermare che
Fatto questo non ci resta che svolgere la divisione e scoprire quale polinomio si ottiene se si divide il primo per .
Per fare questo disegniamo una tabella, e scriviamo dopo la prima colonna, ordinati in base al grado, i coefficienti numerici dei termini del polinomio di partenza e l’ultimo coefficiente aldilà della seconda linea verticale:
Se dovesse mancare il termine di un certo grado, non va saltato, ma va messo come coefficiente. Se ad esempio avessimo andrebbe visto come Fai attenzione a non saltare i termini o l'algoritmo non funzionerà.
Fatto questo primo passaggio, procediamo a scrivere il numero che annulla il polinomio a sinistra sopra la linea orizzontale e iniziamo a fare i calcoli:
Per svolgere i calcoli si segue questo procedimento: si parte dal primo coefficiente che abbiamo scritto in alto e lo si trascrive sotto la linea orizzontale, ora si svolge la moltiplicazione tra questo numero e il numero scritto a sinistra della linea verticale e il risultato lo si scrive sotto il secondo coefficiente, si somma il secondo coefficiente al risultato della moltiplicazione di prima e si scrive il risultato sotto la linea.
Si ripete il procedimento fino all’ultimo coefficiente e eseguendo la somma di questo con il numero sottostante si ottiene (se tutto è stato fatto correttamente).
Il polinomio risultante avrà per coefficienti i numeri scritti sotto la linea orizzontale (notare che i coefficienti sono uno in meno perché il risultato è di un grado inferiore al polinomio di partenza).
Il risultato della nostra scomposizione sarà quindi .
