Regola di Ruffini

Cos’è la regola di Ruffini?

La regola di Ruffini è una tecnica di scomposizione dei polinomi ed è stata introdotta dal matematico Paolo Ruffini. È utile in quanto riesce a scomporre polinomi non scomponibili con le altre tecniche che abbiamo visto in una lezione apposita (cliccate qui per accedervi 👈).

Questo metodo di scomposizione si basa sul Teorema di Ruffini, il cui enunciato è “Un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x-a soltanto se scambiando la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore viene annullato”.

Cioè, un polinomio $\displaystyle { p(x) }$ è divisibile per $\displaystyle { x-a }$ se e solo se $\displaystyle { p(a) = 0 }$ (per calcolare $\displaystyle { p(a) }$ basta mettere $\displaystyle { a }$ al posto della $\displaystyle { x }$ ).

In questa lezione ci limiteremo a spiegare come e quando applicare la regola e non dimostreremo il teorema in sé. Chiarito questo possiamo procedere.

Quando usare Ruffini

Dato che usare la regola di Ruffini è il metodo più lento per scomporre un polinomio, consigliamo di provare prima tutte le altre tecniche di scomposizione perché, se il grado del polinomio è minore o uguale a 3, molto probabilmente è scomponibile in altri modi più veloci.

Se ci si trova davanti un polinomio di grado elevato e non si riesce a ricondurlo a gradi inferiori usando, ad esempio, il raccoglimento totale, allora è conveniente procedere con Ruffini in quanto è facile e sicuro.

Come applicare Ruffini

La prima cosa che bisogna fare con il nostro polinomio è trovare un numero che lo annulli, cioè un numero che se sostituito all’incognita faccia venire $\displaystyle { 0 }$ .

Per fortuna esiste una regola che questo numero deve seguire. Esso deve infatti essere una frazione con:

• Un divisore del termine noto come numeratore.
• Un divisore del termine di grado massimo come denominatore.

Spesso la lista dei candidati può essere piuttosto lunga, ma sempre avere una lista lunga ma finita che dover provare a caso ogni numero reale.

Con il tempo imparerete a trovare questi numeri ad occhio, senza dover scrivere ogni volta la lista. Vediamo un esempio:

Esempio:

Prendiamo il polinomio $\displaystyle { 7x^2+4x-3. }$ I divisori del termine noto sono $\displaystyle { \left\{ 1;-1;3;-3\right\}, }$ mentre i divisori del coefficiente del termine di grado massimo sono $\displaystyle { \left\{ 1;-1;7;-7\right\}. }$

Quindi tutti i numeri possibili sono $\displaystyle { \left\{1; -1; 3; -3; {1\over 7}; - {1\over 7}; {3\over 7}; -{3\over 7} \right\} }$ (le frazioni che avevano $\displaystyle { 1 }$ al denominatore le abbiamo scritte direttamente come numeri interi e non abbiamo scritto due volte i doppioni).

Conviene iniziare dai valori più semplici da controllare. Proviamo con $\displaystyle { 1, }$ ma non viene $\displaystyle { 0. }$ Proviamo quindi con $\displaystyle { -1 }$ ed esce $\displaystyle { 0 }$ ( $\displaystyle { 7(-1)^2 +4(-1) - 3 = 0 }$ ).

Bingo! Ora sappiamo che il nostro polinomio sarà divisibile per $\displaystyle { x }$ più il reciproco del numero trovato, cioè $\displaystyle { 1 }$ .

Potremmo dunque affermare che $\displaystyle { (x+1) \cdot (...) = 7x^3+4x-3 }$

Fatto questo non ci resta che svolgere la divisione e scoprire quale polinomio si ottiene se si divide il primo per $\displaystyle { x+1 }$ .

Per fare questo disegniamo una tabella, e scriviamo dopo la prima colonna, ordinati in base al grado, i coefficienti numerici dei termini del polinomio di partenza e l’ultimo coefficiente aldilà della seconda linea verticale:

Se dovesse mancare il termine di un certo grado, non va saltato, ma va messo $\displaystyle { 0 }$ come coefficiente. Se ad esempio avessimo $\displaystyle { 3x^4 + 2x^3 + 3x + 1, }$ andrebbe visto come $\displaystyle { 3x^4 + 2x^3 + 0x^2 + 3x +1. }$ Fai attenzione a non saltare i termini o l'algoritmo non funzionerà.

Fatto questo primo passaggio, procediamo a scrivere il numero che annulla il polinomio a sinistra sopra la linea orizzontale e iniziamo a fare i calcoli:

Per svolgere i calcoli si segue questo procedimento: si parte dal primo coefficiente che abbiamo scritto in alto e lo si trascrive sotto la linea orizzontale, ora si svolge la moltiplicazione tra questo numero e il numero scritto a sinistra della linea verticale e il risultato lo si scrive sotto il secondo coefficiente, si somma il secondo coefficiente al risultato della moltiplicazione di prima e si scrive il risultato sotto la linea.

Si ripete il procedimento fino all’ultimo coefficiente e eseguendo la somma di questo con il numero sottostante si ottiene $\displaystyle { 0 }$ (se tutto è stato fatto correttamente).

Il polinomio risultante avrà per coefficienti i numeri scritti sotto la linea orizzontale (notare che i coefficienti sono uno in meno perché il risultato è di un grado inferiore al polinomio di partenza).

Il risultato della nostra scomposizione sarà quindi $\displaystyle { (x+1)(7x-3) }$ .