Scomposizione dei polinomi

Scomporre un polinomio consiste nel riscriverlo come un prodotto tra polinomi di grado inferiore.

Molto spesso, può capitare di ritrovarsi a fare calcoli con polinomi di grado molto alto e che sono quindi molto difficili da maneggiare. Scomporre un polinomi può aiutare a semplificare i calcoli. Vediamo qualche esempio:

Esempi:

Metodi di scomposizione

Per scomporre un polinomio ci sono varie alternative che sono più o meno frequenti a seconda dei casi.

I metodi che affronteremo sono quello del raccoglimento totale e parziale , il metodo di Ruffini , che trovate spiegato qui, la regola del trinomio notevole (o speciale) e le regole dei prodotti notevoli .

Di seguito troverete una spiegazione dettagliata di ogni metodo, tranne quello di Ruffini che trovate spiegato nella sua lezione apposita.

Raccoglimento totale (o a fattor comune)

Il raccoglimento totale è una tecnica di scomposizione dei polinomi che permette di raccogliere un fattore comune (se presente) tra tutti i termini di un polinomio.

Per effettuare un raccoglimento totale bisogna prima verificare se i termini del polinomio abbiano uno o più fattori comuni e effettuare la divisione tra il polinomio e questi fattori.

Una volta fatto questo basterà riscrivere il polinomio come prodotto tra i fattori comuni e il risultato della divisione.

Il risultato sarà una moltiplicazione tra polinomio e monomio (o tra polinomio e polinomio, ma è più raro).

Esempi:

${\tiny{•}} \, \, 6x^2-2x+4x^4 \longrightarrow 2x(3x-1+2x^2)$ Fattore comune: $2x$

${\tiny{•}} \, \, x^3-x^2-x \longrightarrow x(x^2-x-1)$ Fattore comune: $x$

${\tiny{•}} \, \, 3ab-4a^2b^2+ab \longrightarrow ab(3-4ab+1)$ Fattore comune: $ab$

${\tiny{•}} \, \, 2x-4y+6 \longrightarrow 2(x-2y+3)$ Fattore comune: $2$

Raccoglimento parziale

Il raccoglimento parziale consiste nel suddividere il polinomio in coppie di termini con uno o più fattori in comune, raccogliere i fattori in comune in ogni coppia e poi raccogliere i fattori in comune del nuovo polinomio(se non si può raccogliere non si può svolgere il raccoglimento parziale).

Può suonare complicato ma in realtà si tratta di $3$ soli passaggi:

1) Suddivisione in coppie (in base ai fattori in comune)

2) Raccoglimento dei fattori all’interno delle coppie

3) Raccoglimento totale dei fattori tra tutte le coppie

Ecco alcuni esempi:

${\tiny{•}} \, \, 4x^2-2x-2xy+y$ $\longrightarrow 2x(2x-1)-y(2x-1)$ $\longrightarrow (2x-1)(2x-y)$

${\tiny{•}} \, \, 3ac-c+6a-2$ $\longrightarrow c(3a-1)+2(3a-1)$ $\longrightarrow (3a-1)(c+2)$

${\tiny{•}} \, \, x^2+2x^3-3-6x$ $\longrightarrow x^2(1+2x)-3(1+2x)$ $\longrightarrow (1+2x)(x^2-3)$

Scomposizione con i prodotti notevoli

Questa tecnica di scomposizione consiste nel riconoscere un polinomio come prodotto notevole e riscriverlo come i fattori del prodotto notevole.

Ecco alcuni esempi:

${\tiny{•}} \, \, 25-10x+x^2$ $\longrightarrow$ $(x-5)^2$ -Quadrato di un binomio

${\tiny{•}} \, \, x^3+8$ $\longrightarrow$ $(x+2)(x^2-2x+4)$ -Somma di due cubi

${\tiny{•}} \, \, 4x^2+9+y^2+12x+4xy+6y$ $\longrightarrow$ $(2x+3+y)^2$ -Quadrato di un trinomio

Questo semplifica incredibilmente i calcoli ed è molto facile da applicare, ma ci vuole occhio per riconoscere i prodotti notevoli, per questo è molto importante averli tutti bene in mente (la nostra spiegazione su i prodotti notevoli qui).

Regola del trinomio notevole

La regola del trinomio notevole si usa per scomporre alcuni trinomi particolari ed è particolarmente veloce se ci si prende la mano.

Iniziamo analizzando come scomporre i trinomi del tipo:

$x^2+sx+p$

Hanno come coefficiente del termine al quadrato $1$ ed è spesso possibile (non sempre) scomporlo trovando $2$ numeri la cui somma da $s$ e il cui prodotto è $p$ .

Per trovare i due numeri che ci permettono di scomporre il polinomio si può impostare un sistema, anche se spesso le soluzioni si trovano a colpo d’occhio.

$\left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = p\end{array} \right.$

Trovate le soluzioni del sistema ci basterà riscrivere il polinomio come:

$(x+a)(x+b)$

Esempi:

${\tiny{•}} \, \, x^2-x-2 \longrightarrow (x-2)(x+1)$

${\tiny{•}} \, \, x^2+6x+5 \longrightarrow (x+1)(x+5)$

In generale, però, il coefficiente del termine di secondo grado non è $1.$ Potremmo avere dei trinomi del tipo:

$cx^2 + sx +p$

In tal caso abbiamo due opzioni:

La prima è di raccogliere $c,$ ottenendo $c (x^2 + {s\over c} x + {p\over c})$ e scomporre il trinomio tra parentesi con il metodo di prima.

Quando, però, $s$ e $p$ non sono divisibili per $c,$ otteniamo delle frazioni con cui può essere molto scomodo lavorare.

Quindi possiamo usare la seconda opzione:

Impostiamo sempre un sistema per trovare due numeri $a$ e $b,$ ma questa volta la loro somma deve essere uguale a $s$ ed il prodotto uguale a $pc$ (Notate infatti che se mettiamo $c=1$ riotteniamo le formule di prima).

$\left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = pc\end{array} \right.$

Una volta trovati $a$ e $b,$ siccome $s=a+b,$ possiamo riscrivere $sx$ com $ax + bx.$

Sostituendolo nel trinomio otteniamo $cx^2 + ax + bx + pc.$ Se avete trovato correttamente $a$ e $b,$ questo polinomio deve essere scomponibile tramite un raccoglimento parziale.

Vediamo un esempio:

Esempio:

Scomponiamo il trinomio $2x^2 + 5x + 3.$

Dobbiamo trovare due numeri che sommati facciano $5$ e moltipicati diano $6$ (perché $2\cdot 3 = 6$ ).

Notiamo facilmente che si tratta proprio di $2$ e $3.$

Rischiviamo quindi il trinomio come $2x^2 + 2x + 3x +3.$

Infine effettuiamo un raccoglimento parziale:

$2x^2 + 2x + 3x +3$ $\longrightarrow 2x(x+1) + 3(x+1)$ $\longrightarrow (2x+3)(x+1)$

Quindi: $2x^2 + 5x +3 = (2x+3)(x+1).$