Il quadrato è un quadrilatero, cioè una figura con quattro lati, che ha quattro lati congruenti e quattro angoli retti di 90°. È sia un rettangolo, cioè un quadrilatero con quattro angoli retti, sia un rombo, cioè un quadrilatero con quattro lati uguali.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Lato | I quattro lati sono uguali. | |
| Angoli | I quattro angoli sono retti, cioè misurano . | — |
| Area | Si calcola moltiplicando il lato per sé stesso. | |
| Perimetro | Si ottiene sommando i quattro lati uguali. | |
| Diagonale | Le diagonali sono uguali, perpendicolari e si bisecano. | |
| Rapporto con altre figure | Il quadrato è sia un rettangolo, cioè un quadrilatero con quattro angoli retti, sia un rombo, cioè un quadrilatero con quattro lati uguali. | — |
Si studia il quadrato, cioè un quadrilatero con quattro lati uguali e quattro angoli retti.
Questa figura serve perché riunisce in un solo oggetto regolarità di lati, angoli e diagonali.
Si pensa a un foglio perfettamente ritagliato, oppure a una piastrella identica in ogni verso.
La sua definizione formale richiede due condizioni insieme: lati congruenti e angoli di .
Per esempio, se il lato misura , allora tutti i lati misurano , e ogni angolo interno misura .
Da questa regolarità derivano poi tutte le formule utili: perimetro, area e diagonale.
[IMMAGINE: Quadrato ABCD disegnato su piano cartesiano, lati tutti uguali, angoli retti evidenziati con il simbolo dell'angolo retto, lato l annotato su un lato.]
Il perimetro, cioè la somma delle lunghezze dei lati, risponde alla domanda su quanta strada si percorre lungo il bordo.
Nel quadrato tutti i lati sono uguali, quindi il calcolo diventa molto semplice.
Qui indica il perimetro e indica il lato.
Se il lato misura , allora si calcola .
La formula vale perché si sommano quattro lati uguali.
In modo equivalente, si può dire che il perimetro è quattro volte il lato.
L'area, cioè la misura della superficie interna, serve quando si vuole sapere quanto spazio occupa la figura.
Nel quadrato l'area si ottiene moltiplicando il lato per se stesso, perché base e altezza coincidono.
Se il lato misura , allora si ha .
La formula si legge anche come lato al quadrato.
Se il lato è espresso in centimetri, l'area si esprime in centimetri quadrati.
La diagonale, cioè il segmento che unisce due vertici opposti, attraversa il quadrato da un angolo all'altro.
La sua lunghezza si ricava con il teorema di Pitagora, cioè la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.
Nel quadrato si formano due cateti uguali, entrambi lunghi .
Se il lato misura , allora si ottiene , cioè circa .
La diagonale è quindi più lunga del lato, ma resta legata ad esso in modo fisso.
Le diagonali del quadrato hanno tre proprietà importanti: sono uguali, sono perpendicolari e si bisecano.
La bisettrice comune, cioè il punto medio di ciascuna diagonale, coincide con il centro del quadrato.
Per esempio, se la diagonale misura , ciascuna metà misura .
Queste proprietà aiutano anche a costruire il quadrato a partire dalle diagonali.
Il quadrato è contemporaneamente un rettangolo, cioè un quadrilatero con quattro angoli retti, e un rombo, cioè un quadrilatero con quattro lati uguali.
La differenza sta nel fatto che il rettangolo richiede gli angoli retti, mentre il rombo richiede i lati uguali.
Il quadrato soddisfa entrambe le condizioni nello stesso tempo.
Un rombo qualsiasi può avere angoli non retti, mentre un rettangolo qualsiasi può avere lati non tutti uguali.
Per questo il quadrato è un caso speciale di entrambe le figure.
Per esempio, un quadrilatero con lati tutti uguali, ma con angoli diversi da , è un rombo ma non un quadrato.
Se invece i quattro angoli sono retti, ma i lati non sono tutti uguali, si ha un rettangolo ma non un quadrato.
Quando entrambe le condizioni sono presenti, la figura è proprio il quadrato.
Nel disegno di un esercizio si riconosce il quadrato controllando prima i lati e poi gli angoli.
Se i quattro lati sono uguali e ogni angolo è retto, la figura è un quadrato senza bisogno di ulteriori verifiche.
Se sono note solo le diagonali, si usa la loro uguaglianza, la loro perpendicolarità e il fatto che si dimezzano a vicenda.
Per esempio, se due diagonali misurano entrambe e si incrociano a metà ad angolo retto, il contorno può essere un quadrato.
In molti problemi si parte dal lato, perché da esso si ricavano subito perimetro, area e diagonale.
Questa è la ragione pratica per cui il lato è la misura centrale del quadrato.
Il quadrato, cioè il quadrilatero con quattro lati uguali e quattro angoli retti, si descrive con poche formule fondamentali.
La grandezza principale è il lato, indicato con . Le misure si esprimono in , oppure altre unità di lunghezza.
L’area, cioè la misura della superficie interna, si ottiene moltiplicando il lato per sé stesso.
Se , allora . L’unità di misura dell’area è sempre quadrata.
Calcolare l’area di un quadrato di lato 7 cm.
Si ottiene .
Il perimetro, cioè la somma dei quattro lati, si calcola moltiplicando il lato per 4.
Se , allora . Il perimetro si misura in unità di lunghezza.
Calcolare il perimetro di un quadrato di lato 9 m.
Si ottiene .
La diagonale, cioè il segmento che unisce due vertici opposti, si ottiene con il teorema di Pitagora.
Se , allora . La diagonale è una lunghezza, quindi si misura in cm, m o unità analoghe.
Calcolare la diagonale di un quadrato di lato 6 cm.
Si ottiene , cioè circa 8,49 cm.
Il quadrato è anche un rettangolo, cioè un quadrilatero con quattro angoli retti, e anche un rombo, cioè un quadrilatero con quattro lati uguali.
La differenza tra quadrato e rombo sta negli angoli: nel quadrato sono tutti retti, nel rombo no necessariamente.
Le diagonali del quadrato sono uguali, perpendicolari e si bisecano, cioè si dividono a metà nel loro punto d’incontro.
Per trovare il lato a partire dal perimetro si usa . Se , allora .
Per trovare il lato a partire dall’area si usa . Se , allora .
Calcolare il perimetro di un quadrato di lato 6 cm.
Si conosce il lato e si cerca il perimetro .
Il metodo consiste nell’usare la formula del perimetro del quadrato, cioè .
Si esegue il prodotto tra 4 e il lato. Si ottiene .
Il risultato finale è che il perimetro misura 24 cm.
Errore comune: moltiplicare il lato per 2 invece che per 4.
Calcolare l’area di un quadrato di lato 9 m.
Si conosce il lato e si cerca l’area .
Si applica la formula dell’area del quadrato, cioè .
Si eleva al quadrato il lato, quindi si calcola e si ottiene .
Il risultato finale è che l’area misura 81 m².
Errore comune: usare 2l al posto di l².
Calcolare la diagonale di un quadrato di lato 5 cm.
Si conosce il lato e si cerca la diagonale .
Si usa la relazione , che deriva dal teorema di Pitagora.
Sostituendo il valore del lato, si ottiene cm.
Il risultato finale è che la diagonale misura 5\sqrt{2} cm.
Errore comune: scambiare la diagonale con il lato del quadrato.
Un quadrilatero ha quattro lati uguali e quattro angoli retti. Stabilire se è un quadrato.
[IMMAGINE: Quadrilatero ABCD con quattro lati uguali, angoli retti segnati con il simbolo dell’angolo di 90°, lati etichettati l, diagonali tracciate e indicate come uguali e perpendicolari]
Si analizzano due condizioni: tutti i lati sono congruenti e tutti gli angoli misurano .
Un quadrilatero con queste proprietà è un quadrato, cioè un quadrilatero regolare con lati uguali e angoli retti.
Le diagonali risultano anche uguali, perpendicolari e si bisecano.
Il risultato finale è che la figura è un quadrato.
Errore comune: confondere il quadrato con un rombo che non ha angoli retti.
Per l'area si scrive .
Per l'area si scrive .
L'area, cioè la misura della superficie interna, non si ottiene sommando i lati. Si moltiplica il lato per sé stesso. Con si ha .
Per il perimetro si scrive .
Per il perimetro si scrive .
Il perimetro, cioè la somma dei lati, non misura la superficie. Si sommano i quattro lati uguali. Con si ha .
La diagonale si calcola con .
La diagonale si calcola con .
La diagonale non coincide con due lati messi in fila. Si ottiene con il teorema di Pitagora, cioè con il calcolo sul triangolo rettangolo interno. Con si ha .
Un rombo e un quadrato sono la stessa figura.
Il quadrato ha anche quattro angoli retti, il rombo no per forza.
Il rombo, cioè il quadrilatero con quattro lati uguali, può avere angoli obliqui. Il quadrato è un caso speciale di rombo. Con lato e angoli di , la figura è un quadrato, non un rombo generico.
Il quadrato non è un rettangolo.
Il quadrato è sia un rettangolo sia un rombo.
Il rettangolo, cioè il quadrilatero con quattro angoli retti, include anche il quadrato. Il quadrato soddisfa sia la definizione di rettangolo sia quella di rombo. Con lati tutti uguali e angoli di , entrambe le proprietà risultano vere.
Le diagonali del quadrato non si incontrano a metà e non sono perpendicolari.
Le diagonali del quadrato sono uguali, perpendicolari e si bisecano.
La bisecazione, cioè la divisione in due parti uguali, avviene nel loro punto di incontro. Le diagonali del quadrato hanno proprietà molto precise. In un quadrato di lato , ogni diagonale viene divisa in due segmenti uguali.
L'area del quadrato si calcola moltiplicando il lato per se stesso.
Per esempio, se il lato misura , allora l'area è .
La formula del perimetro del quadrato è quattro volte il lato.
Per esempio, con lato , si ottiene .
La diagonale del quadrato si calcola moltiplicando il lato per .
Per esempio, se il lato è , la diagonale vale circa .
Il quadrato ha quattro angoli retti, mentre il rombo non li ha necessariamente.
Entrambi hanno quattro lati uguali, ma il quadrato è anche un rettangolo.
Per esempio, un rombo può avere angoli di e , mentre nel quadrato tutti gli angoli misurano .
Sì, il quadrato è un rettangolo perché ha quattro angoli retti.
In più, ha anche quattro lati uguali, quindi è pure un rombo.
Per esempio, un quadrato di lato resta un rettangolo, perché tutti gli angoli sono di .
Le diagonali del quadrato sono uguali, perpendicolari e si bisecano.
Questo significa che si incontrano nel punto medio di entrambe.
Per esempio, se una diagonale misura , anche l'altra misura .
Le formule principali del quadrato sono area, perimetro e diagonale.
Per esempio, con lato , si ottengono , e .
