Proprietà delle potenze

Cosa sono le proprietà delle potenze?

Le potenze hanno un paio di semplici e molto importanti proprietà che ci aiutano moltissimo nello svolgere i calcoli o nel risolvere i problemi. Cominciamo subito:

Moltiplicazione tra potenze con la stessa base

La moltiplicazione di due potenze con stessa base è uguale ad una potenza con sempre la medesima base e con esponente la somma dei due esponenti:

$\displaystyle { n^a \cdot n^b = n^{a+b} }$

Vediamo qualche esempio:

$\displaystyle { 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7 }$

$\displaystyle { 5^{12} \cdot 5^3 = 5^{12+3}= 5^{15} }$

Moltiplicazione di potenze con lo stesso esponente

La moltiplicazione di due potenze con stesso esponente è uguale ad una potenza con sempre il medesimo esponente e con base il prodotto delle due basi:

$\displaystyle { n^a \cdot m^a = (n\cdot m)^a }$

Vediamo qualche esempio:

$\displaystyle { 2^4 \cdot 5^4 = (2\cdot 5)^4 = 10^4 }$

$\displaystyle { 3^2 \cdot 2^2 = (3\cdot 2)^2 = 6^2 }$

Queste due proprietà sono affiancate da quello che succede quando al posto che moltiplicando stiamo dividendo.

Proprietà con la divisione

Nel caso della divisone tra due potenze con la stessa base, l' esponente sarà la differenza tra i due esponenti, quindi:

$\displaystyle { n^a : n^b = n^{a-b} }$

Possiamo ricordarcelo pensando che come la divisione è “il contrario” della moltiplicazione, la sottrazione lo è per l’addizione.

Facciamo qualche esempio:

$\displaystyle { 2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1 =2 }$

$\displaystyle { 3^8 : 3^5 = 3^{8-5}=3^3 }$

Nel caso della divisione tra potenze con lo stesso esponente, la base sarà il quoziente della divisione tra le basi:

$\displaystyle { n^a : m^a = (n:m)^a }$

Vediamo qualche esempio:

$\displaystyle { 4^3 : 2^3 = (4:2)^3 = 2^3 }$

$\displaystyle { 20^7 : 2^7 = (20:2)^7 = 10^7 }$

La potenza di una potenza

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza con sempre la stessa base e con esponente il prodotto tra gli esponenti:

$\displaystyle { (n^a)^b=n^{a\cdot b} }$

Vediamo qualche esempio:

$\displaystyle { {(2^3)}^5 = 2^{3\cdot 5}=2^{15} }$

$\displaystyle { 4^7={(2^2)}^7=2^{2\cdot7}=2^{14} }$