Proporzioni

Cos'è una proporzione?

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti.

Ad esempio, $6:3$ fa $2.$ Anche $12:6$ fa $2.$ Quindi possiamo scrivere:

$6:3 = 12:6$

Che si tratta proprio di una proporzione! Come si legge? Si legge così: $6$ sta a $3$ come $12$ sta a $6$.

Cioè diciamo il primo numero, poi "sta", poi il secondo, poi "come", poi il terzo numero, quindi un'altra volta "sta" ed infine il quarto numero.

Se dunque abbiamo la seguente proporzione:

$2:1 = 4:2$

Allora la leggeremo " $2$ sta ad $1$ come $4$ sta a $2$ ".

Ok, ma quindi a che servono? E che domande possono farti su di esse?

Le proporzioni servono a risolvere molti problemi, soprattutto di geometria. Normalmente avrete un'incognita $x$ dentro la proporzione e vi verrà chiesta di trovarla.

Per esempio potreste avere questa proporzione:

$x: 4 = 12 :3$

E dovete trovare quanto vale la $x.$ Come fare?

Dobbiamo usare la propietà fondamentali delle proporzioni. Vediamo subito cosa dice:

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Prima di vedere cosa dice, però, dobbiamo studiare un po' di nomenclatura (cioè dobbiamo vedere come si chiamano le cose).

Quando abbiamo una proporzione, i termini al centro, cioè quelli accanto all'uguale, sono detti i medi .

Quindi nella proporzione $4:2 = 10:5,$ i medi sono $2$ e $10.$

Gli altri due, cioè quelli che stanno agli estremi della proporzione, vengono invece chiamati gli estremi .

Quindi nella proporzione qui sopra, gli estremi sono $4$ e $5.$

Ora che abbiamo imparato la nomenclatura, possiamo studiare cosa dice la proprietà fondamentale delle proporzioni :

In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Se infatti facciamo $2 \times 10$ (che erano i medi della proporzione di prima), ottengo $20.$ E se moltiplico gli estremi, cioè $4$ e $5,$ ottengo sempre $20!$ Potete tornare all'inizio della lezione, prendere gli esempi di proporzioni che avevamo proposto e verificare che la proprietà è valida anche per loro.

Ora riprendiamo la proporzione con l'incognita che avevamo prima:

$x: 4 = 12 :3$

Prima non sapevamo come trovare la $x,$ ma ora possiamo applicare questa nuova proprietà ed ottenere che $x\times 3$ (prodotto degli estremi) è uguale a $4\times 12$ (prodotto dei medi). Cioè:

$x \times 3 = 4 \times 12$

Da cui otteniamo $x = 16.$ Infatti se faccio $16:4$ ottengo $4$ e se faccio $12:3$ ottengo sempre $4.$

Adesso concludiamo vedendo altre proprietà delle proporzioni:

Altre proprietà

Esistono altre due proprietà che possono essere utili per risolvere i problemi.

La prima è la proprietà dell'inversione , la quale afferma che:

In una proporzione, possiamo scambiare i medi con gli estremi.

Infatti, se ho la proporzione $4:2 = 6:3$ è vera anche la proporzione $2 : 4 = 3:6.$ L'importante è che se inverto l'estremo e il medio a sinistra dell'uguale, devo invertire anche il medio e l'estremo a destra dell'uguale, come abbiamo fatto adesso.

La seconda proprietà invece è quella della permutazione , la quale afferma che:

In una proporzione, posso scambiare i due medi tra loro o i due estremi tra loro.

Cioè se ho la proporzione di prima, $4:2 = 6:3,$ è anche vera la proporzione che ottengo scambiando i due medi, cioè $4: 6 = 2 : 3,$ e quella che ottengo scambiando i due estremi, cioè $3:2 = 6:4.$