Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti.
Ad esempio, fa Anche fa Quindi possiamo scrivere:
Che si tratta proprio di una proporzione! Come si legge? Si legge così: sta a come sta a .
Cioè diciamo il primo numero, poi "sta a", poi il secondo, poi "come", poi il terzo numero, quindi un'altra volta "sta a" ed infine il quarto numero.
Se dunque abbiamo la seguente proporzione:
Allora la leggeremo " sta a come sta a ".
Ok, ma quindi a che servono? E a che domande rispondono?
Le proporzioni servono a risolvere molti problemi, soprattutto di geometria. Normalmente avrete un'incognita dentro la proporzione e vi verrà chiesta di trovarla.
Per esempio potreste avere questa proporzione:
E dovete trovare quanto vale la Come fare?
Dobbiamo usare la proprietà fondamentale delle proporzioni. Vediamo cosa dice:
Prima di vedere cosa dice dobbiamo studiare un po' di nomenclatura (cioè dobbiamo vedere come si chiamano le cose).
Quando abbiamo una proporzione, i termini al centro, cioè quelli accanto all'uguale, sono detti i medi.
Quindi nella proporzione i medi sono e
Gli altri due, cioè quelli che stanno agli estremi della proporzione, vengono invece chiamati gli estremi.
Quindi nella proporzione qui sopra, gli estremi sono e
Ora che abbiamo imparato la nomenclatura, possiamo studiare cosa dice la proprietà fondamentale delle proporzioni:
In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Se infatti facciamo (che erano i medi della proporzione di prima), ottengo E se moltiplico gli estremi, cioè e ottengo sempre
Potete tornare all'inizio della lezione, prendere gli esempi di proporzioni che avevamo proposto e verificare che la proprietà è valida anche per loro.
Ora riprendiamo la proporzione con l'incognita che avevamo prima:
Prima non sapevamo come trovare la ma ora possiamo applicare questa nuova proprietà ed ottenere che (prodotto degli estremi) è uguale a (prodotto dei medi). Cioè:
Da cui otteniamo Infatti se faccio ottengo e se faccio ottengo sempre
Adesso concludiamo vedendo altre proprietà delle proporzioni:
Esistono altre due proprietà che possono essere utili per risolvere i problemi.
La prima è la proprietà dell'inversione, la quale afferma che:
In una proporzione, possiamo scambiare i medi con gli estremi.
Infatti, se ho la proporzione è vera anche la proporzione L'importante è che se inverto l'estremo e il medio a sinistra dell'uguale, devo invertire anche il medio e l'estremo a destra dell'uguale, come abbiamo fatto adesso.
La seconda proprietà invece è quella della permutazione, la quale afferma che:
In una proporzione, posso scambiare i due medi tra loro o i due estremi tra loro.
Cioè se ho la proporzione di prima, è anche vera la proporzione che ottengo scambiando i due medi, cioè e quella che ottengo scambiando i due estremi, cioè
