Potenze

Cos'è una potenza?

Sappiamo che se sommiamo tante volte un numero per sé stesso, possiamo abbreviarlo usando la moltiplicazione.

Se ad esempio ho $\displaystyle { 2+2+2+2+2, }$ posso riscriverlo come $\displaystyle { 2\times 5. }$

Se ho $\displaystyle { 3+3+3+3, }$ posso riscriverlo come $\displaystyle { 3\times 4. }$

Allo stesso modo, se moltiplico tante volte un numero per sé stesso, possiamo abbreviarlo usando la potenza:

Il numero che sto moltiplicando viene chiamato base e il numero di volte che lo sto moltiplicando è detto esponente.

Per scrivere una potenza, scrivo prima la base come un numero normale e poi scrivo in alto a destra l'esponente in piccolo.

Se ad esempio ho $\displaystyle { 2 }$ moltiplicato per sé stesso quattro volte, cioè $\displaystyle { 2\times 2\times 2\times 2, }$ posso riscriverlo come $\displaystyle { 2^4, }$ perché la base è $\displaystyle { 2 }$ e l'esponente è $\displaystyle { 4. }$

Se ho $\displaystyle { 7\times 7\times 7, }$ la base è $\displaystyle { 7 }$ e l'esponente è $\displaystyle { 3, }$ dunque posso riscriverlo come $\displaystyle { 7^3. }$

Come si legge una potenza? Diciamo prima la base, poi "alla" e poi l'esponente detto come un numero ordinale. Ad esempio, se ho $\displaystyle { 2^4, }$ posso leggerlo "due alla quarta". Se ho $\displaystyle { 3^2, }$ posso leggerlo come "tre alla seconda".

Se ho $\displaystyle { 7^5 }$ posso leggerlo "sette alla quinta".

Nel caso in cui l'esponente è $\displaystyle { 2, }$ possiamo anche dire "al quadrato".

Quindi, ad esempio, $\displaystyle { 3^2 }$ posso anche leggerlo come "tre al quadrato".

Se l'esponente è $\displaystyle { 3, }$ inoltre, possiamo anche dire "al cubo".

Quindi se ho $\displaystyle { 4^3 }$ posso anche leggerlo come "quattro al cubo".

Il perché di queste alternative è per questioni geometriche che più avanti vedrete.

Quindi la potenza è l'operazione successiva alla moltiplicazione.

Ci ricordiamo che quando addizioniamo dei numeri, $\displaystyle { 0 }$ è il numero che non cambia niente. Quando moltiplico, $\displaystyle { 1 }$ è il numero che non fa niente.

E quando elevo a potenza? In questo caso è sempre $\displaystyle { 1, }$$\displaystyle { 1, }$ perché se ho, ad esempio, $\displaystyle { 2^1, }$ sto dicendo che sto moltiplicando $\displaystyle { 2 }$ per sé stesso una sola volta, cioè ho solo $\displaystyle { 2. }$

Quindi se elevo un numero alla prima non cambio niente.

E se elevo alla $\displaystyle { 0? }$ Può sembrare che la domanda non abbia nemmeno senso, come faccio a moltiplicare un numero per sé stesso $\displaystyle { 0 }$ volte?

Per far tornare i conti, però, i matematici hanno definito che se elevi un numero alla $\displaystyle { 0 }$ ottieni $\displaystyle { 1. }$ Quindi $\displaystyle { 8^0 }$ è uguale a $\displaystyle { 1. }$

Esiste però un eccezione: non posso fare $\displaystyle { 0^0. }$

La ragione è la stessa per la quale non si può dividere per $\displaystyle { 0 }$ e più avanti capirete il perché. Se dunque trovate da qualche parte uno $\displaystyle { 0^0, }$ dovete dire che avete una forma indeterminata.

Notiamo poi che siccome moltiplicare per $\displaystyle { 1 }$ non cambia niente, se ho $\displaystyle { 1^3 }$ o anche $\displaystyle { 1^{3918038}, }$ avrò sempre una serie di $\displaystyle { 1 }$ moltiplicati tra loro, cioè $\displaystyle { 1\times 1\times 1\times ...\times 1 }$ che farà sempre $\displaystyle { 1. }$

Quindi $\displaystyle { 1 }$ elevato a qualsiasi potenza fa sempre $\displaystyle { 1. }$

Anche se elevo $\displaystyle { 0 }$ ad un numero naturale ottengo sempre $\displaystyle { 0, }$ tranne quando l'esponente è uguale a $\displaystyle { 0 }$ perché ricordiamo che in quel caso otteniamo una forma indeterminata.

Le potenze godono di tante altre proprietà che abbiamo analizzato in quest'altra lezione apposita: proprietà delle potenze 👈