Cos'è una potenza?

Sappiamo che se sommiamo tante volte un numero per sé stesso, possiamo abbreviarlo usando la moltiplicazione.

Se ad esempio ho $2+2+2+2+2,$ posso riscriverlo come $2\times 5.$

Se ho $3+3+3+3,$ posso riscriverlo come $3\times 4.$

Allo stesso modo, se moltiplico tante volte un numero per sé stesso, possiamo abbreviarlo usando la potenza:

Il numero che sto moltiplicando viene chiamato base e il numero di volte che lo sto moltiplicando è detto esponente.

Per scrivere una potenza, scrivo prima la base come un numero normale e poi scrivo in alto a destra l'esponente in piccolo.

Se ad esempio ho $2$ moltiplicato per sé stesso quattro volte, cioè $2\times 2\times 2\times 2,$ posso riscriverlo come $2^4,$ perché la base è $2$ e l'esponente è $4.$

Se ho $7\times 7\times 7,$ la base è $7$ e l'esponente è $3,$ dunque posso riscriverlo come $7^3.$

Come si legge una potenza? Diciamo prima la base, poi "alla" e poi l'esponente detto come un numero ordinale. Ad esempio, se ho $2^4,$ posso leggerlo "due alla quarta". Se ho $3^2,$ posso leggerlo come "tre alla seconda".

Se ho $7^5$ posso leggerlo "sette alla quinta".

Nel caso in cui l'esponente è $2,$ possiamo anche dire "al quadrato".

Quindi, ad esempio, $3^2$ posso anche leggerlo come "tre al quadrato".

Se l'esponente è $3,$ inoltre, possiamo anche dire "al cubo".

Quindi se ho $4^3$ posso anche leggerlo come "quattro al cubo".

Il perché di queste alternative è per questioni geometriche che più avanti vedrete.

Quindi la potenza è l'operazione successiva alla moltiplicazione.

Ci ricordiamo che quando addizioniamo dei numeri, $0$ è il numero che non cambia niente. Quando moltiplico, $1$ è il numero che non fa niente.

E quando elevo a potenza? In questo caso è sempre $1,$$1,$ perché se ho, ad esempio, $2^1,$ sto dicendo che sto moltiplicando $2$ per sé stesso una sola volta, cioè ho solo $2.$

Quindi se elevo un numero alla prima non cambio niente.

E se elevo alla $0?$ Può sembrare che la domanda non abbia nemmeno senso, come faccio a moltiplicare un numero per sé stesso $0$ volte?

Per far tornare i conti, però, i matematici hanno definito che se elevi un numero alla $0$ ottieni $1.$ Quindi $8^0$ è uguale a $1.$

Esiste però un eccezione: non posso fare $0^0.$

La ragione è la stessa per la quale non si può dividere per $0$ e più avanti capirete il perché. Se dunque trovate da qualche parte uno $0^0,$ dovete dire che avete una forma indeterminata.

Notiamo poi che siccome moltiplicare per $1$ non cambia niente, se ho $1^3$ o anche $1^{3918038},$ avrò sempre una serie di $1$ moltiplicati tra loro, cioè $1\times 1\times 1\times ...\times 1$ che farà sempre $1.$

Quindi $1$ elevato a qualsiasi potenza fa sempre $1.$

Anche se elevo $0$ ad un numero naturale ottengo sempre $0,$ tranne quando l'esponente è uguale a $0$ perché ricordiamo che in quel caso otteniamo una forma indeterminata.

Le potenze godono di tante altre proprietà che abbiamo analizzato in quest'altra lezione apposita: proprietà delle potenze 👈