Un poligono regolare è un poligono, cioè una figura piana chiusa formata da segmenti, con tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. In esso si possono calcolare angolo interno, somma degli angoli interni, apotema e area con formule specifiche.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Poligono regolare | Ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. | — |
| Angolo interno | Dipende dal numero di lati . | |
| Somma angoli interni | Somma di tutti gli angoli interni. | |
| Area | Si calcola con perimetro e apotema. | |
| Apotema | È il segmento dal centro al punto medio di un lato, perpendicolare al lato. | |
| Raggio circoscritto | È il raggio del cerchio che passa per i vertici. | |
| Triangolo equilatero | Caso notevole con . | , |
| Quadrato | Caso notevole con . | , |
| Esagono regolare | Caso notevole con . | , |
Un poligono regolare nasce dall’esigenza di descrivere figure perfettamente simmetriche. Si osserva che tutti i lati hanno la stessa misura e tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza.
Un poligono regolare, cioè un poligono con lati congruenti e angoli congruenti, si comporta come una figura “equilibrata” in ogni direzione.
La simmetria rende questi poligoni utili nei calcoli di perimetro, area e costruzioni geometriche. Per questo si studiano come casi fondamentali della geometria euclidea.
Se si considera un pentagono regolare, ogni lato ha la stessa lunghezza e ogni angolo interno ha la stessa ampiezza. Questo permette di dividere la figura in parti uguali e di trattarla con formule uniche.
Per esempio, in un esagono regolare con lato cm, il perimetro è cm. Il calcolo è immediato proprio perché i lati sono tutti uguali.
Con si indica il numero dei lati, e con la misura di ciascun lato. Nel caso precedente, cm.
Gli angoli interni servono a capire quanto una figura “si apre” in ogni vertice. In un poligono regolare, tutti questi angoli sono uguali tra loro.
L’angolo interno, cioè l’angolo formato da due lati consecutivi dentro il poligono, si calcola con una formula che dipende solo da .
La formula si giustifica pensando al fatto che un poligono di lati può essere diviso in triangoli. Ogni triangolo contribuisce con .
Per esempio, in un quadrato si ha . Allora . Ogni angolo interno del quadrato misura quindi 90°.
Questa relazione dà la somma di tutti gli angoli interni del poligono. Nel quadrato, la somma vale .
In un poligono regolare, la somma totale si distribuisce in parti uguali. Per questo l’angolo singolo si ottiene dividendo la somma per .
L’area di un poligono regolare si capisce meglio se si immagina di tagliare la figura in triangoli uguali. L’apotema è la distanza più utile per questa scomposizione.
L’apotema, cioè il segmento che va dal centro del poligono al punto medio di un lato ed è perpendicolare a quel lato, misura quanto la figura è “profonda” verso il centro.
Qui indica l’apotema. La formula dipende dal lato e da .
Per esempio, in un quadrato con lato cm, si ha cm. Nel quadrato, l’apotema coincide con metà lato.
Il raggio del cerchio circoscritto, cioè la distanza dal centro a un vertice, permette di collegare il poligono al cerchio che lo contiene.
Per esempio, in un triangolo equilatero con lato cm, si ottiene cm. Il valore è circa cm.
L’area si calcola in modo elegante perché il poligono regolare si può dividere in triangoli congruenti. L’idea è sommare le aree di tutti questi triangoli.
L’area di un poligono regolare, cioè la misura della parte di piano interna alla figura, si trova con il perimetro e con l’apotema.
Poiché , si ottiene anche . Questa forma è comoda quando si conoscono lato, numero dei lati e apotema.
Per esempio, in un esagono regolare con lato cm e apotema cm, il perimetro è cm. Allora cm².
Un altro modo di leggerla è questo: ogni triangolo ha base uguale al lato e altezza uguale all’apotema. La formula dell’area nasce proprio da questa somma ordinata.
Alcuni poligoni regolari compaiono spesso perché sono facili da riconoscere e da calcolare. I casi più importanti sono triangolo equilatero, quadrato ed esagono regolare.
Nel triangolo equilatero, cioè un triangolo con tre lati uguali e tre angoli uguali, si ha .
Per esempio, se il lato misura cm, il perimetro vale cm. L’area si ottiene con l’apotema oppure con la formula nota del triangolo equilatero.
Nel quadrato, cioè un poligono regolare di quattro lati, si ha . L’angolo interno vale , l’apotema vale metà lato e il raggio circoscritto è legato alla diagonale.
Per esempio, se cm, allora cm. Si riconosce subito la struttura simmetrica del quadrato.
Nell’esagono regolare, cioè un poligono con sei lati uguali e sei angoli uguali, si ha .
Per esempio, con lato cm, il perimetro è cm. L’area si calcola subito se si conosce l’apotema.
Nei problemi, il punto di partenza è quasi sempre il numero dei lati e la misura del lato. Da questi dati si ricavano gli altri elementi con passaggi ordinati.
Questo schema funziona perché ogni formula dipende da grandezze geometriche già note. Si procede quindi dal dato più semplice al risultato finale.
[IMMAGINE: Poligono regolare inscritto in una circonferenza, con centro O, apotema a perpendicolare a un lato, raggio R verso un vertice, lato l evidenziato, angolo interno α marcato, e suddivisione in triangoli congruenti.]
Un poligono regolare, cioè un poligono con tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti, ha formule molto compatte per angoli, apotema e area.
L'angolo interno, cioè ciascun angolo interno del poligono, si indica con e dipende dal numero di lati .
Si osserva che rappresenta il numero di lati, mentre il simbolo indica la misura in gradi.
Calcolare l'angolo interno di un poligono regolare con .
Ogni angolo interno misura . Questo valore vale per ogni angolo dell'esagono regolare.
La somma degli angoli interni, cioè la somma di tutti gli angoli interni del poligono, si ottiene moltiplicando per .
Questa formula dipende solo dal numero di lati e non dalla lunghezza dei lati.
Si consideri un poligono con .
La somma degli angoli interni è . Nel pentagono regolare ogni angolo misura .
L'area, cioè la misura della superficie interna, si calcola con il perimetro e con l'apotema .
Nel caso regolare, il perimetro vale , dove è la lunghezza del lato.
Si usa la formula perché il poligono si può dividere in triangoli congruenti.
Si consideri un ottagono regolare con lato e apotema .
L'area misura . L'unità di misura è un'area, quindi compare il quadrato dell'unità di lunghezza.
L'apotema, cioè il segmento che va dal centro al punto medio di un lato, è perpendicolare al lato.
La lunghezza dipende dal lato e dal numero di lati .
Per un quadrato si ha e .
L'apotema misura . Nel quadrato l'apotema coincide con la distanza dal centro a un lato.
Determinare la misura di un angolo interno di un esagono regolare di lato 6 cm.
[IMMAGINE: Esagono regolare con tutti i lati uguali, un angolo interno evidenziato in un vertice e il numero dei lati n = 6 indicato vicino alla figura]
Si conosce il numero dei lati, cioè ; si cerca la misura di un singolo angolo interno.
Si usa la formula dell’angolo interno, cioè .
Si calcola prima la differenza: ; poi si moltiplica per .
Si ottiene , quindi ogni angolo interno misura 120 gradi.
Risultato: l’angolo interno misura .
Errore comune: dividere 180° per il numero dei lati senza sottrarre 2.
Calcolare l’area di un quadrato regolare di lato 8 cm usando l’apotema.
[IMMAGINE: Quadrato con lato l = 8 cm, apotema tracciata dal centro al punto medio di un lato, centro della figura evidenziato]
Si conosce il lato, cioè ; nel quadrato il numero dei lati è ; si cerca l’area.
Si usa la formula dell’area, cioè , dove è il perimetro e è l’apotema.
Si ottiene .
Poiché , risulta .
Si calcola infine l’area: .
Risultato: l’area è .
Errore comune: usare il lato al posto del perimetro nella formula dell’area.
Calcolare la somma degli angoli interni di un decagono regolare.
Si conosce il numero dei lati, cioè ; si cerca la somma di tutti gli angoli interni.
Si usa la formula, cioè .
Si esegue prima la sottrazione: ; poi si moltiplica per .
Si ottiene .
Risultato: la somma degli angoli interni è .
Errore comune: confondere la somma degli angoli interni con la misura di un singolo angolo.
Determinare il raggio del cerchio circoscritto a un triangolo equilatero di lato 12 cm.
[IMMAGINE: Triangolo equilatero con lato l = 12 cm inscritto in una circonferenza, centro della circonferenza evidenziato e raggio R indicato]
Si tratta di un poligono regolare con lati; si conosce il lato ; si cerca il raggio del cerchio circoscritto.
Si usa la formula, cioè .
Si ricorda che ; quindi il denominatore diventa .
Si ottiene .
Risultato: il raggio misura .
Errore comune: usare la formula dell’apotema al posto di quella del raggio.
Un poligono regolare è un poligono con tutti i lati uguali, anche se gli angoli sono diversi.
Un poligono regolare ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
L’errore nasce perché si confondono i lati uguali con la regolarità completa. La definizione richiede entrambe le condizioni.
L’angolo interno di un poligono regolare si calcola con .
La formula corretta è .
Si scambiano numeratore e denominatore. È utile ricordare che, aumentando i lati, l’angolo interno si avvicina a .
La somma degli angoli interni di un poligono è sempre .
La somma degli angoli interni è .
vale solo per il triangolo. Per controllare il risultato, si sostituisce il numero di lati .
L’area di un poligono regolare si calcola con , usando un solo lato.
La formula corretta è .
Il lato da solo non basta. Serve il perimetro, cioè la somma di tutti i lati, e l’apotema.
L’apotema è un lato del poligono oppure il raggio del cerchio circoscritto.
L’apotema è il segmento che va dal centro al punto medio di un lato, perpendicolare a quel lato.
Si confonde spesso con il raggio. Il raggio arriva a un vertice, mentre l’apotema arriva al lato.
Nel quadrato e nell’esagono l’angolo interno ha sempre la stessa misura.
Le misure cambiano con il numero di lati: nel quadrato è , nell’esagono è .
Ogni poligono regolare dipende da . Verificare il caso notevole evita di usare una misura unica per figure diverse.
Un poligono regolare è un poligono, cioè una figura piana chiusa formata da segmenti, con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
In un esagono regolare, per esempio, i sei lati hanno la stessa lunghezza e i sei angoli interni hanno la stessa ampiezza.
Questa regolarità rende possibili formule semplici per angoli, area e apotema.
La formula dell'angolo interno di un poligono regolare è , dove è il numero dei lati.
Per un pentagono regolare, con , si ottiene .
L'area di un poligono regolare si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo per 2.
In alternativa, se il lato è e i lati sono , si usa .
Per un quadrato di lato 4 cm, il perimetro è 16 cm e l'apotema coincide con 2 cm; quindi l'area è 16 cm².
L'apotema è il segmento che va dal centro del poligono regolare al punto medio di un lato, ed è perpendicolare a quel lato.
È la distanza del centro dal lato e serve nella formula dell'area.
In un esagono regolare con lato 6 cm, l'apotema vale circa 5,2 cm.
La somma degli angoli interni di un poligono con lati è .
Per un ottagono, con , la somma è .
Il raggio del cerchio circoscritto è la distanza dal centro a un vertice del poligono regolare.
Per un quadrato di lato 4 cm, si ottiene cm, cioè circa 2,83 cm.
I casi notevoli sono il triangolo equilatero, il quadrato e l'esagono regolare.
Per il triangolo equilatero vale , per il quadrato , per l'esagono .
In questi casi si riconoscono subito angoli, area e apotema con formule più semplici o molto frequenti negli esercizi.
