Il pentagono regolare è un poligono cioè una figura piana chiusa con cinque lati e cinque angoli tutti congruenti. Nel pentagono regolare ogni lato ha la stessa lunghezza e ogni angolo interno misura .
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Pentagono regolare | Ha 5 lati e 5 angoli uguali. | — |
| Angolo interno | La somma degli angoli interni è e ogni angolo misura . | |
| Apotema | È il segmento dal centro al punto medio di un lato, perpendicolare al lato. | |
| Area | Si calcola con perimetro e apotema. | |
| Diagonale | Collega due vertici non consecutivi e vale in rapporto al lato il numero aureo. | , con |
| Perimetro | È la somma dei 5 lati uguali. | |
| Costruzione geometrica | Si può tracciare con compasso e riga a partire da un cerchio. | — |
Il pentagono, cioè un poligono con cinque lati, serve a studiare una figura con forte simmetria e proprietà misurabili con precisione.
Si parla di pentagono regolare, cioè di un pentagono con cinque lati congruenti e cinque angoli congruenti.
Questa regolarità permette di calcolare facilmente angoli, apotema, area e diagonali.
Pensarlo come una figura "perfettamente bilanciata" aiuta a capire perché ogni lato e ogni angolo hanno lo stesso ruolo geometrico.
Per esempio, se il lato misura cm, anche gli altri quattro lati misurano cm.
Lo stesso vale per gli angoli interni: se uno vale , allora tutti gli altri valgono ancora .
La somma degli angoli interni si studia perché permette di ricostruire la forma del pentagono senza misurare ogni angolo separatamente.
In un poligono con lati, la somma degli angoli interni è uguale a , cioè si divide il poligono in triangoli.
Per esempio, con , si ottiene .
Nel pentagono regolare gli angoli sono tutti uguali, quindi ciascun angolo interno misura .
Per esempio, se si sommano i cinque angoli e si ottiene , ciascun angolo misura .
Questo risultato è importante anche per riconoscere un pentagono regolare in un disegno o in una costruzione geometrica.
L'apotema, cioè il segmento che va dal centro del poligono al punto medio di un lato ed è perpendicolare al lato, misura quanto il poligono è "profondo".
Si usa l'apotema perché permette di calcolare l'area di un poligono regolare in modo semplice e uniforme.
Nel pentagono regolare si ottiene la relazione , dove è il lato e è l'apotema.
Per esempio, se cm, allora cm.
Si può anche ricordare che l'apotema è sempre più corto del lato, perché arriva dal centro al lato senza raggiungere un vertice.
L'area si calcola partendo dall'idea che il pentagono regolare si può dividere in cinque triangoli uguali.
Per questo motivo compare il perimetro, cioè la somma dei cinque lati, insieme all'apotema.
Qui è il perimetro, è il lato e è l'apotema.
Per esempio, se il lato misura cm e l'apotema misura cm, allora il perimetro vale cm.
Quindi l'area è circa cm².
Questa formula è la più utile nei problemi applicativi, perché usa solo lato e apotema.
Le diagonali si studiano perché mostrano un legame sorprendente tra pentagono regolare e numero aureo, cioè un rapporto geometrico molto frequente in figure regolari.
In un pentagono regolare, ogni diagonale misura , dove è il numero aureo.
Per esempio, se cm, allora e la diagonale vale circa cm.
Le diagonali non hanno tutte lunghezza diversa: in un pentagono regolare sono tutte uguali a coppie corrispondenti.
Questo legame con è una delle ragioni per cui il pentagono regolare è molto studiato in geometria euclidea.
La costruzione si studia perché permette di ottenere il pentagono senza misurazioni approssimate, usando solo riga e compasso.
L'idea è costruire prima segmenti e archi che fissano il lato e le diagonali, poi unire i vertici in modo simmetrico.
La costruzione completa richiede passaggi più lunghi, ma il principio resta questo: la simmetria della circonferenza guida la simmetria del pentagono.
Per esempio, se il raggio della circonferenza è fissato in cm, si può costruire un pentagono inscritto con vertici tutti sulla stessa circonferenza.
[IMMAGINE: Disegno di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza. Indicare centro O, lato l, apotema a perpendicolare al lato, angolo interno 108°, diagonale d, vertici A, B, C, D, E etichettati.]
In una figura del genere si osservano subito lati uguali, angoli uguali, diagonali uguali e simmetria rispetto al centro.
Per esempio, il segmento dal centro al punto medio di un lato rappresenta l'apotema e permette anche di capire la formula dell'area.
In sintesi, il pentagono regolare si riconosce perché combina cinque lati uguali, cinque angoli uguali, un apotema utile per l'area e diagonali legate al numero aureo.
Il pentagono regolare è un poligono di cinque lati congruenti e cinque angoli congruenti.
Le formule seguenti si applicano quando il pentagono è regolare, cioè quando tutti i lati hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza.
Qui è il perimetro, cioè la somma dei lati, e è la lunghezza di un lato, misurata in oppure in un'altra unità di lunghezza.
Si consideri un pentagono regolare con lato .
Il perimetro misura . Si ottiene moltiplicando il lato per 5.
L'apotema, cioè il segmento che unisce il centro del pentagono con il punto medio di un lato, si usa nelle formule dell'area.
Nella formula, è l'apotema e è il lato. L'angolo compare perché il pentagono regolare si divide in triangoli isosceli uguali.
Si prenda .
L'apotema vale circa . Il risultato è una lunghezza, quindi si misura in .
L'area è la misura della superficie interna del pentagono, cioè della parte di piano contenuta nella figura.
Nella formula, è l'area, è il perimetro e è l'apotema. Se è in e è in , allora è in .
Si calcola l’angolo interno di un pentagono regolare a partire dalla somma degli angoli interni.
Dati: un pentagono regolare ha lati uguali e angoli uguali. Incognita: l’ampiezza di ogni angolo interno.
Il metodo consiste nel calcolare prima la somma degli angoli interni di un poligono di lati.
Si divide poi la somma per , perché gli angoli sono tutti uguali.
Ogni angolo interno misura .
Errore comune: dividere 540° per 4 invece che per 5.
Si calcola l’area di un pentagono regolare di lato noto.
Dati: lato . Incognita: area del pentagono.
Si usa la formula dell’area in funzione del perimetro e dell’apotema, cioè la distanza dal centro a un lato.
Il perimetro vale .
Per trovare l’apotema si usa la relazione del pentagono regolare.
Sostituendo , si ottiene circa .
L’area è circa .
Errore comune: usare il lato al posto dell’apotema nella formula dell’area.
Si determina l’apotema di un pentagono regolare conoscendo il lato.
Dati: . Incognita: apotema del pentagono.
L’apotema, cioè il segmento che unisce il centro al punto medio di un lato, si ricava con la tangente di .
Si sostituisce il valore del lato.
Poiché , si ottiene un valore approssimato.
L’apotema misura circa .
Errore comune: confondere l’apotema con il lato del poligono.
Si calcola la diagonale di un pentagono regolare a partire dal lato.
Dati: lato . Incognita: diagonale principale.
In un pentagono regolare la diagonale è legata al lato dal numero aureo, cioè il rapporto .
Si approssima .
Sostituendo il lato dato, si ottiene:
La diagonale misura circa .
Errore comune: pensare che la diagonale sia sempre il doppio del lato.
Si usa per l'area del pentagono regolare.
Si usa .
L'area non dipende dal quadrato del lato, perché il pentagono regolare non è un quadrato. Si parte dal perimetro e dall'apotema, cioè l'altezza dei triangoli interni.
Si confonde l'apotema con il lato del pentagono.
L'apotema è il segmento perpendicolare dal centro al punto medio di un lato.
Il lato è un bordo del poligono. L'apotema è interno e serve nella formula dell'area. Si controlla sempre che formi un angolo retto con il lato.
Si afferma che ogni angolo interno misura .
Ogni angolo interno misura .
è l'angolo al centro del pentagono regolare, non l'angolo interno. La somma degli angoli interni vale , quindi ciascun angolo è .
Si calcola l'angolo interno con .
Si usa .
divide il giro completo in cinque parti uguali. Questo dà l'angolo al centro, non l'angolo interno. Per il pentagono regolare si usa la somma degli angoli interni.
Si scrive che il pentagono regolare ha diagonali tutte uguali al lato.
La diagonale vale , con .
La diagonale è più lunga del lato. Il rapporto con il lato non è , ma il numero aureo. Si distingue sempre tra lato e diagonale nei disegni.
Si usa qualsiasi formula dell'area senza verificare la regolarità della figura.
La formula vale per il pentagono regolare, cioè con 5 lati e 5 angoli uguali.
Se il pentagono non è regolare, l'apotema non coincide con un'unica misura utile per tutta la figura. Prima si controlla che i lati e gli angoli siano tutti congruenti.
L'area di un pentagono regolare si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo per 2. L'apotema, cioè il segmento che unisce il centro al punto medio di un lato, è essenziale nella formula.
Per esempio, con lato e apotema , si ottiene .
L'apotema del pentagono è il segmento che va dal centro del poligono al punto medio di un lato, formando un angolo retto con quel lato.
Per esempio, se , allora .
L'angolo interno di un pentagono regolare misura . Si ottiene dividendo la somma degli angoli interni, cioè , per 5.
Ogni angolo interno di un pentagono regolare misura .
Per esempio, la somma totale è e, divisa in 5 angoli uguali, dà .
Un pentagono regolare ha . Una diagonale unisce due vertici non consecutivi.
Per esempio, se il lato misura , allora la diagonale misura circa .
Il pentagono regolare si può costruire con compasso e righello usando una circonferenza e suddividendo l'arco in cinque parti uguali. Si lavora con segmenti e intersezioni, non con misure approssimate a occhio.
Per esempio, si traccia un cerchio di raggio e si ricavano i vertici sulla circonferenza con una costruzione geometrica precisa.
