I numeri razionali, cioè i numeri scrivibili come rapporto tra due interi, formano l’insieme . Le frazioni permettono di rappresentare, confrontare e calcolare questi numeri.
| Concetto | Definizione | Esempio |
|---|---|---|
| Numero razionale | Numero scrivibile come con | , , |
| Frazione equivalente | Frazione con lo stesso valore, ottenuta moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero | |
| Riduzione ai minimi termini | Semplificazione della frazione dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD, cioè massimo comune divisore | , perché |
| Somma con denominatori diversi | Si porta tutto allo stesso denominatore usando il mcm, cioè minimo comune multiplo | |
| Moltiplicazione tra frazioni | Si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro | |
| Divisione tra frazioni | Si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda | |
| Confronto tra frazioni | Si confrontano i valori rendendo uguale il denominatore o usando il prodotto incrociato | , e è maggiore di |
| Numero irrazionale | Numero non esprimibile come con e interi | e |
| Retta numerica | Rappresentazione dei numeri su una linea ordinata | si colloca tra e |
I numeri razionali, cioè i numeri scrivibili come rapporto tra due interi con denominatore diverso da zero, servono per rappresentare misure precise e parti di un intero.
Si incontrano quando una quantità non è intera. Si pensi a metà torta, a tre quarti di litro, oppure a 7 diviso 2.
Per esempio, è razionale perché indica tre parti su quattro uguali. In forma decimale vale .
L'insieme dei razionali si indica con . Dentro si trovano interi, frazioni proprie, improprie e numeri decimali finiti o periodici.
Per esempio, appartiene a perché si può scrivere come . Anche vale .
Due frazioni equivalenti, cioè diverse nella scrittura ma uguali nel valore, rappresentano la stessa quantità sulla retta numerica.
Per esempio, . Ogni volta il numeratore e il denominatore sono stati moltiplicati per lo stesso numero.
La riduzione ai minimi termini, cioè la trasformazione di una frazione in una equivalente con numeratore e denominatore più piccoli possibile, si ottiene dividendo per il MCD, cioè il massimo comune divisore dei due termini.
Per esempio, si semplifica dividendo entrambi i termini per . Si ottiene , che è la forma ridotta.
Per confrontare due frazioni si cerca quale rappresenta la quantità maggiore. È come confrontare due porzioni di pizza dello stesso tipo.
Per esempio, perché e , quindi .
[IMMAGINE: Retta numerica da 0 a 2 con le frazioni 1/2, 2/3, 3/4, 1 e 5/4 segnate e ordinate. Le tacche devono essere equidistanti e ogni frazione deve avere etichetta leggibile.]
La somma di frazioni richiede una base comune, cioè un denominatore uguale. Si pensa alle frazioni come a pezzi della stessa grandezza.
Per esempio, . Si calcola .
Quando i denominatori sono diversi, si usa il mcm, cioè il minimo comune multiplo, per trovare il denominatore comune più piccolo.
Per esempio, si trasforma in e poi in .
Nel prodotto tra frazioni, si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro. È una regola compatta e regolare.
Per esempio, . Si può poi semplificare il risultato.
La divisione tra frazioni si trasforma in moltiplicazione per il reciproco, cioè per la frazione scambiata di numeratore e denominatore.
Per esempio, . Il risultato è una frazione impropria.
Accanto ai razionali esistono i numeri irrazionali, cioè numeri che non si possono scrivere come rapporto di due interi.
Per esempio, e hanno sviluppo decimale infinito e non periodico. Per questo non appartengono a .
La differenza essenziale è questa: un razionale si scrive come frazione di interi, un irrazionale no. Un esempio razionale è . Un esempio irrazionale è .
La rappresentazione sulla retta numerica mostra che i razionali sono fitti ovunque. Tra due razionali se ne trova sempre un altro.
Per esempio, tra e si può prendere la media , che è ancora razionale.
In sintesi, l'insieme organizza tutti i numeri ottenibili come frazioni. Le operazioni con le frazioni permettono di calcolare quantità precise in problemi reali.
Il simbolo indica il denominatore, cioè il numero che divide il numeratore.
La condizione evita la divisione per zero, che non è definita.
Si consideri la frazione .
Il denominatore è e quindi la condizione è rispettata.
Un numero razionale si scrive nella forma , con intero e diverso da zero.
In questa scrittura è il numeratore, cioè la parte sopra la barra, e è il denominatore, cioè la parte sotto la barra.
Si osservi il numero .
Esso rappresenta un numero razionale perché ha forma con e .
Due frazioni sono equivalenti, cioè hanno lo stesso valore, se si moltiplicano numeratore e denominatore per lo stesso numero non nullo .
La proprietà permette di ottenere frazioni diverse ma uguali nel valore.
Si parte da .
Scegliendo , si ottiene .
La riduzione ai minimi termini, cioè la semplificazione completa della frazione, si ottiene dividendo numeratore e denominatore per il MCD , cioè il massimo comun divisore.
Il risultato è una frazione equivalente con numeri più piccoli e non ulteriormente semplificabili.
Si consideri .
Il tra e è .
La frazione finale è in minimi termini perché e non hanno divisori comuni maggiori di 1.
Per sommare frazioni con denominatori diversi si porta prima al denominatore comune. Il risultato scritto sopra è una formula utile, ma il denominatore comune va scelto in modo efficiente con il mcm , cioè il minimo comune multiplo.
Nella pratica si riscrive ogni frazione con denominatore comune e poi si sommano i numeratori.
Si calcoli .
Il denominatore comune è , perché è il di e .
La moltiplicazione tra frazioni si esegue moltiplicando numeratore per numeratore e denominatore per denominatore.
Questa proprietà rende il prodotto di frazioni rapido e regolare.
Si consideri .
Si ottiene .
La divisione tra frazioni si trasforma in una moltiplicazione per il reciproco, cioè per la frazione invertita.
Il divisore non deve essere zero, perché il reciproco di una quantità nulla non esiste.
Si calcoli .
Si moltiplica per il reciproco di , cioè .
Il confronto tra frazioni con denominatori diversi si riduce al confronto dei prodotti incrociati.
La regola evita di trasformare sempre le frazioni in decimali e resta valida in modo generale.
Si confrontino e .
Si calcolano i prodotti incrociati: e .
L'insieme contiene tutti i numeri razionali.
Un numero appartenente a può essere scritto come frazione e può anche avere un decimale finito o periodico.
Si osservino e .
Entrambi sono numeri razionali e appartengono a .
I numeri irrazionali, cioè non esprimibili come frazione di interi, non appartengono a .
Esempi importanti sono e .
Si consideri .
Non si può scrivere come con e interi.
Per rappresentare un numero razionale sulla retta numerica si individua il punto corrispondente al suo valore.
La rappresentazione è esatta per frazioni semplici e approssimata con la misura per frazioni più complesse.
Si prenda .
Il numero vale e si colloca tra e sulla retta.
Riconoscere se e sono numeri razionali.
Si osserva la definizione di numero razionale, cioè un numero scrivibile come con .
Nel primo caso, è già scritto in forma di frazione.
Nel secondo caso, si può scrivere come .
Si verifica quindi che entrambi i numeri appartengono a , cioè l'insieme dei razionali.
Risultato: entrambi sono razionali.
Errore comune: pensare che un numero intero non sia razionale.
Ridurre la frazione ai minimi termini.
Si cercano numeratore, denominatore e MCD, cioè massimo comune divisore.
Il di e è .
Si divide numeratore e denominatore per lo stesso numero, cioè .
La frazione in forma ridotta è .
Errore comune: dividere solo il numeratore o solo il denominatore.
Calcolare .
Si cercano denominatori diversi e si usa il mcm, cioè minimo comune multiplo.
Il di e è .
La somma si ottiene sommando i numeratori e mantenendo il denominatore comune.
Risultato: .
Errore comune: sommare anche i denominatori.
Calcolare .
Si usa la divisione come moltiplicazione per il reciproco, cioè si inverte la seconda frazione.
Si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro.
Risultato: .
Errore comune: lasciare invariata la seconda frazione durante la divisione.
Confrontare e , poi indicarle sulla retta numerica.
[IMMAGINE: Retta numerica da 0 a 1 con i punti 2/3 e 3/5 evidenziati e una legenda per il confronto visivo]
Si cerca un denominatore comune, cioè un numero che permetta il confronto diretto.
Poiché , si ha .
Sulla retta numerica, si colloca più a destra di .
Risultato: \frac{2}{3} è maggiore di .
Errore comune: confrontare solo i numeratori o solo i denominatori.
Dire che un numero razionale è solo un numero intero.
Un numero razionale è ogni numero scrivibile come con .
Un intero è solo un caso particolare. Anche , e sono numeri razionali.
Pensare che i numeri con virgola siano sempre irrazionali.
Molti numeri con virgola sono razionali, per esempio e .
La scrittura decimale non basta per decidere. Si verifica se il numero si può scrivere come frazione con numeratore e denominatore interi.
Semplificare una frazione dividendo solo il numeratore oppure solo il denominatore.
Si divide numeratore e denominatore per lo stesso divisore comune, fino ai minimi termini.
La frazione cambia forma, ma non valore. Per esempio dividendo entrambi per .
Sommare frazioni con denominatori diversi sommando anche i denominatori, per esempio .
Si trova un denominatore comune, di solito il mcm, e poi si sommano i numeratori.
I denominatori indicano in quante parti è diviso l’intero. Prima si rende uguale la suddivisione, poi si somma.
Credere che una frazione con numeratore e denominatore entrambi negativi sia negativa.
Il rapporto tra due numeri negativi è positivo, per esempio .
Il segno meno si può mettere davanti alla frazione oppure solo al numeratore o al denominatore. Due segni meno si annullano.
Confondere i numeri razionali con gli irrazionali, pensando che o siano razionali.
I numeri irrazionali non si scrivono come frazione di interi; e ne sono esempi.
Un razionale ha decimali finiti o periodici. Un irrazionale ha decimali infiniti non periodici.
Un numero razionale è un numero che si scrive come frazione con .
Qui e sono interi, cioè numeri senza parte decimale.
Esempi: , e .
Un numero razionale si scrive come frazione; un numero irrazionale non si può scrivere così.
La scrittura decimale di un razionale è finita oppure periodica.
La scrittura decimale di un irrazionale è infinita e non periodica.
Esempi di irrazionali sono e .
Una frazione si semplifica dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero.
La frazione diventa equivalente e più semplice da leggere.
Nell'esempio si divide per , che è il massimo comune divisore.
Si sommano trovando prima un denominatore comune, cioè il minimo comune multiplo dei denominatori.
Per esempio, .
Si riscrive come e come .
Due frazioni si confrontano portandole allo stesso denominatore oppure moltiplicando in croce.
Per esempio, perché e .
I numeri razionali si rappresentano sulla retta numerica come punti in posizioni precise.
Prima si individua l'intervallo tra due interi vicini, poi lo si divide in parti uguali.
Per esempio, si trova tra e dividendo il segmento in quattro parti uguali.
