Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che ha esattamente due divisori positivi, cioè 1 e se stesso. Il numero 1 non è primo per definizione.
| Concetto | Definizione | Esempio |
|---|---|---|
| Numero primo | Numero naturale maggiore di divisibile solo per e per se stesso. | |
| Numero non primo | Numero naturale che ha altri divisori oltre a e se stesso. | |
| Non è un numero primo per definizione. | ||
| È l’unico numero primo pari. | ||
| Crivello di Eratostene | Metodo sistematico per trovare i numeri primi fino a un certo limite. | Fino a si ottengono |
| Scomposizione in fattori primi | Scrittura di un numero come prodotto di numeri primi. | |
| Teorema fondamentale dell’aritmetica | Ogni numero si scompone in fattori primi in modo unico. | |
| MCD e mcm | Si ricavano dalla scomposizione in fattori primi. | , |
| Infinità dei primi | I numeri primi sono infiniti. | Nuovi primi esistono oltre ogni lista finita |
I numeri primisono importanti perché permettono di costruire tutti gli altri numeri naturali in modo ordinato.
Si pensa a un numero primo come a un numero che non si può spezzare in blocchi più piccoli, se non nei casi ovvi.
Un numero naturale maggiore di è primo se ha esattamente due divisori positivi: e se stesso.
Per esempio, è primo, perché i suoi divisori sono solo e .
Invece non è primo, perché è divisibile anche per e .
La definizione richiede anche che il numero sia maggiore di .
Perciò non è un numero primo.
Questo serve a mantenere unica la scomposizione in fattori primi, che sarà studiata più avanti.
Tra i numeri primi, 2 ha un ruolo speciale, perché è l'unico numero primo pari.
Un numero pari è divisibile per , quindi ogni numero pari maggiore di non può essere primo.
Per esempio, è pari e ha divisori .
Quindi non è primo.
Il numero invece ha solo due divisori, cioè e .
Si osserva quindi che il primo numero primo è anche il più piccolo numero primo.
Per riconoscere se un numero è primo, si controlla se ha divisori diversi da e da se stesso.
Il controllo non richiede di provare tutti i numeri fino in fondo.
Basta cercare divisori fino alla radice quadrata del numero.
Per esempio, per verificare , si provano i divisori primi minori o uguali di .
Si controllano quindi , , e .
Nessuno divide .
Quindi è primo.
Verificare se 21 è primo.
Si prova la divisibilità per i numeri primi minori o uguali di .
Poiché è divisibile per , non è primo.
Il crivello di Eratostene è un metodo sistematico per trovare tutti i numeri primi fino a un certo limite.
Si immagina una lista ordinata dei numeri naturali. Poi si cancellano, passo dopo passo, i multipli dei numeri primi già trovati.
Per esempio, fino a , si parte da , poi , poi .
Alla fine restano i numeri primi: .
[IMMAGINE: Tabella numerata da 2 a 30 con i multipli di 2, 3 e 5 barrati in colori diversi; i numeri primi rimasti evidenziati in blu; legenda con frecce e titolo 'Crivello di Eratostene']
La scomposizione in fattori primi, cioè la scrittura di un numero come prodotto di numeri primi, serve a capire la struttura interna di un numero naturale.
Si parte da un numero composto e lo si divide in fattori, finché ogni fattore non è primo.
Per esempio, si scompone in , poi , poi .
Raccogliendo i fattori si ottiene la forma finale.
L'albero di fattorizzazione aiuta a vedere tutti i passaggi in modo ordinato.
Scomporre 60 in fattori primi.
Si può scrivere .
Poi e .
La scomposizione finale è unica.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica, cioè il risultato che garantisce l'unicità della scomposizione in fattori primi, è centrale nello studio dei numeri naturali.
Ogni numero naturale maggiore di si scrive come prodotto di numeri primi in un solo modo, a meno dell'ordine dei fattori.
Per esempio, si scrive come .
Non esiste un'altra scomposizione in primi diversa da questa, se si ignorano solo l'ordine dei fattori.
Questo teorema spiega perché i numeri primi sono i mattoni dell'aritmetica.
Senza l'unicità, molti calcoli sui numeri naturali diventerebbero ambigui.
La scomposizione in fattori primi permette di calcolare il MCD cioè il massimo comune divisore, e il mcm cioè il minimo comune multiplo.
Si confrontano le scomposizioni e si scelgono i fattori adatti.
Per esempio, e .
Il fattore comune è e .
Per il MCD si prendono gli esponenti minori: .
Per il mcm si prendono gli esponenti maggiori: .
I numeri primi sono infiniti, cioè non esiste un ultimo numero primo.
L'idea di Euclide è semplice: si suppone di avere una lista finita di primi e si costruisce un numero nuovo.
Questo numero lascia resto se si divide per ciascun .
Quindi non è divisibile da nessuno dei primi della lista.
Allora deve essere primo, oppure deve avere un fattore primo non presente nella lista.
In entrambi i casi la lista iniziale non era completa.
Per esempio, se si prendono si ottiene .
Il numero è primo, quindi compare un nuovo primo oltre la lista iniziale.
Un numero primo, cioè un numero naturale maggiore di divisibile solo per e per se stesso, si riconosce controllando i suoi divisori.
Qui indica un numero naturale. La proprietà vale per ogni primo, per esempio per , che ha come divisori solo e .
Si verifica se 7 ha divisori oltre a 1 e 7.
Si prova con i numeri naturali minori di . Nessuno divide 7 esattamente, tranne .
Quindi 7 è un numero primo, perché ha solo due divisori.
Per riconoscere un numero primo, cioè un numero con soli due divisori, basta controllare i divisori fino alla radice quadrata.
Qui è il numero da verificare e è un possibile divisore. Se nessun divide , allora è primo.
Si controllano i divisori fino a .
Si prova con , , e .
Poiché nessuno divide 29, il numero è primo.
Il numero non è primo, cioè non appartiene all'insieme dei numeri primi per definizione.
Questa scelta evita ambiguità nella scomposizione in fattori primi. Con si perderebbe l'unicità della scrittura di un numero.
Si considera la scomposizione di 6.
Se fosse primo, si potrebbero aggiungere fattori inutili come .
Per questo 1 non è considerato primo.
Il numero è l'unico primo pari, perché ogni altro numero pari è divisibile per e quindi ha almeno tre divisori.
Per esempio, ha divisori e . Invece ha anche il divisore .
Si analizza il numero 2.
I suoi divisori sono solo e .
Quindi 2 è primo, e rappresenta l'unico primo pari.
Il crivello di Eratostene, cioè un metodo sistematico per trovare i numeri primi, elimina via via i multipli dei numeri già trovati.
Si parte da una lista di numeri naturali. Si cancellano i multipli di , poi quelli di , e così via.
Si scrivono i numeri da 2 a 20.
Si cancellano i multipli di 2, 3 e 5.
Restano .
Il teorema fondamentale dell'aritmetica, cioè il risultato che garantisce la scomposizione unica in fattori primi, vale per ogni numero naturale maggiore di .
Qui è il numero dato, sono numeri primi distinti e sono esponenti naturali.
Si scompone 60 in fattori primi.
La scomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.
Per esempio, rappresenta la stessa scomposizione.
La scomposizione in fattori primi, cioè la scrittura di un numero come prodotto di primi, si ottiene con un albero di fattorizzazione.
Si divide il numero per il più piccolo primo possibile. Si continua fino ad ottenere solo numeri primi.
Si parte da 84 e si divide per 2.
I fattori primi finali sono 2, 2, 3 e 7.
Quindi .
Le scomposizioni in fattori primi servono per calcolare MCD, cioè massimo comune divisore, e mcm, cioè minimo comune multiplo.
Si confrontano le scomposizioni dei numeri dati. Nel si prendono solo i fattori comuni con esponente minore. Nel si prendono tutti i fattori con esponente maggiore.
Si scompongono i numeri.
Il fattore comune è 2 e 3.
Il metodo funziona perché ogni numero è scritto in fattori primi.
I numeri primi sono infiniti. L'idea di Euclide mostra che, dato un elenco finito di primi, se ne può costruire uno nuovo.
Qui sono tutti i primi dell'elenco. Il numero non è divisibile da nessuno di essi.
Si suppone di avere tutti i primi: 2, 3 e 5.
31 non è divisibile per 2, 3 o 5.
Quindi esiste almeno un altro numero primo.
Stabilire se è un numero primo.
Si cerca se ha divisori oltre a e a se stesso.
Basta controllare i numeri primi minori o uguali a , cioè circa .
Si prova con , e .
Poiché nessuno di questi divisori funziona, è primo.
Il numero è primo perché ha esattamente due divisori.
Errore comune: provare tutti i divisori fino a 29 invece di fermarsi a \sqrt{29}.
Elencare tutti i numeri primi minori di con il crivello di Eratostene.
Si scrivono i numeri da a . Il metodo consiste nell'eliminare i multipli dei numeri già trovati primi.
Si parte da , poi si cancellano i multipli di : .
Si passa a e si cancellano i suoi multipli: .
Poi si considera . I suoi multipli maggiori di superano , quindi il procedimento si ferma.
I numeri rimasti sono proprio i numeri primi minori di .
Errore comune: cancellare anche il numero primo da cui si parte.
Scomporre il numero in fattori primi.
Si cerca una divisione ad albero, cioè una sequenza di divisioni per numeri primi.
Si può iniziare con . Poi si scompone .
Il numero si scompone in .
La scomposizione è .
Il risultato finale è la scomposizione in fattori primi. unica a meno dell'ordine.
Errore comune: fermarsi dopo una sola divisione per 2.
Calcolare e di e .
Si scompongono i numeri: e .
Per il MCD si prendono i fattori comuni con esponente minore.
Per il mcm si prendono tutti i fattori con esponente maggiore.
Il è e il è .
Errore comune: confondere le regole di MCD e mcm.
Verificare che non è primo e scomporlo in fattori primi.
Si controlla la divisibilità per i primi fino a , cioè circa .
Si prova con e si osserva che .
Entrambi i fattori sono primi. La scomposizione è quindi già completa.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che questa scomposizione è unica.
Il numero è composto perché ha più di due divisori.
Errore comune: confondere un numero composto con un numero primo solo perché non è pari.
Un numero primo è qualsiasi numero divisibile per 1.
Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per 1 e per se stesso.
L’errore nasce dal dimenticare la condizione “maggiore di 1”. Un numero come 9 ha più divisori e quindi non è primo.
Per sapere se è primo, basta provare a dividere per 2 e per 3.
Per controllare se un numero è primo si provano i divisori primi fino a .
Provare pochi divisori non basta, perché un divisore può essere più grande di 3. Per esempio, non è primo perché è divisibile per .
è un numero primo perché ha solo un divisore.
non è primo per definizione.
Il numero ha un solo divisore, ma la definizione di primo richiede almeno due divisori. Questa esclusione serve a rendere unica la scomposizione in fattori primi.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica dice che ogni numero si scompone in modo unico in fattori qualsiasi.
Ogni numero naturale si scompone in modo unico in fattori primi, a parte l’ordine.
Non valgono fattori qualunque, ma solo fattori primi. Per esempio, è una scomposizione corretta e unica a meno dell’ordine.
Per scomporre in fattori primi si scrive direttamente il numero come prodotto di numeri casuali.
Si costruisce un albero di fattorizzazione e si continua finché tutti i fattori sono primi.
L’errore consiste nel fermarsi troppo presto. Per esempio, non è ancora la scomposizione completa, perché .
I numeri primi sono pochi, quindi basta memorizzare una lista corta.
I numeri primi sono infiniti, quindi si usa il crivello di Eratostene per trovarli in modo ordinato.
La lista dei primi non finisce. Il crivello aiuta a eliminare i multipli e a riconoscere i primi in una tabella.
Un numero primo è un numero naturale maggiore di divisibile solo per e per se stesso.
Per esempio, , e sono primi.
Si controlla se il numero ha divisori oltre e se stesso.
Basta provare i divisori primi fino a , perché un divisore maggiore avrebbe un compagno minore già controllato.
Per esempio, per si provano , e . Nessuno divide , quindi il numero è primo.
No, non è un numero primo per definizione.
La definizione richiede un numero naturale maggiore di .
Per esempio, ha un solo divisore, cioè , quindi non rispetta la regola dei due divisori.
Ogni numero naturale maggiore di si scompone in fattori primi in modo unico, a meno dell'ordine dei fattori.
Per esempio, si scrive come . La scomposizione è unica.
Si divide il numero per i numeri primi più piccoli finché si ottengono solo fattori primi.
Un metodo utile è l'albero di fattorizzazione, cioè una scomposizione a ramificazioni successive.
Per esempio, si scompone in .
Il crivello di Eratostene è un metodo sistematico per trovare i numeri primi fino a un certo limite.
Si scrivono i numeri in ordine e si cancellano i multipli di , poi quelli di , poi quelli di e così via.
Per esempio, fino a , restano .
Sì, i numeri primi sono infiniti.
L'idea di Euclide è considerare un numero ottenuto moltiplicando tutti i primi noti e aggiungendo .
Questo numero non è divisibile per nessuno dei primi elencati, quindi esiste sempre un nuovo primo oppure un suo fattore primo.
