La logica matematica studia proposizioni, cioè enunciati che sono veri oppure falsi. I connettivi logici servono a costruire nuove proposizioni combinando quelle di partenza.
| Concetto | Definizione | Esempio / nota |
|---|---|---|
| Proposizione | Enunciato che è vero oppure falso, ma non entrambi. | “” è una proposizione vera. |
| Negazione | Proposizione che risulta vera quando è falsa. | Se è “oggi piove”, è “oggi non piove”. |
| Congiunzione | È vera solo se entrambe le proposizioni sono vere. | Vera solo quando e sono entrambe vere. |
| Disgiunzione | È falsa solo se entrambe le proposizioni sono false. | È vera anche se una sola tra e è vera. |
| Implicazione | È falsa solo nel caso vera e falsa. | Equivale a . |
| Doppia implicazione | È vera quando e hanno lo stesso valore di verità. | Vera se entrambe vere o entrambe false. |
| Tavola di verità | Tabella che elenca tutti i casi possibili dei valori di verità. | Serve per controllare il comportamento dei connettivi. |
| Leggi di De Morgan | Trasformazioni tra negazione e connettivi. | . |
| Quantificatore universale | Indica che una proprietà vale per tutti gli elementi. | “Per ogni numero naturale , ”. |
| Quantificatore esistenziale | Indica che esiste almeno un elemento con la proprietà. | “Esiste un numero pari primo”: vale per . |
La logica, cioè lo studio dei ragionamenti corretti, serve a controllare se una conclusione segue davvero da alcune informazioni iniziali.
Si usano frasi precise, chiamate proposizioni, cioè enunciati che possono essere veri oppure falsi, ma non entrambi.
Questo linguaggio è utile perché permette di trasformare il ragionamento in regole chiare.
Per esempio, l’enunciato "7 è un numero primo" è vero, mentre "5 è maggiore di 8" è falso.
Non ogni frase è una proposizione.
Una domanda o un ordine non hanno valore di vero o falso, quindi non si trattano come proposizioni.
Si introduce allora un linguaggio simbolico per combinare proposizioni semplici e costruire proposizioni più complesse.
[IMMAGINE: Schema con due riquadri: a sinistra una proposizione vera, a destra una proposizione falsa. Al centro una freccia verso simboli logici p, q, ¬, ∧, ∨, →, ↔. Etichette ben leggibili.]
Si considerino due proposizioni e . I connettivi logici servono a unirle o a modificarle.
La negazione, cioè l’operazione che cambia il valore di verità, trasforma una proposizione vera in falsa e viceversa.
Per esempio, se significa "8 è dispari", allora è vera, perché 8 non è dispari.
La negazione si può pensare come un interruttore che scambia acceso e spento.
Se è vera, allora è falsa. Se è falsa, allora è vera.
Per esempio, se vale falso, come in "12 è un numero primo", allora è vero, perché 12 non è primo.
La congiunzione, cioè il collegamento logico di tipo AND, richiede che entrambe le proposizioni siano vere.
Per esempio, se è "2 è pari" e è "3 è dispari", allora è vera, perché entrambe le frasi sono vere.
La disgiunzione, cioè il collegamento logico di tipo OR, richiede che almeno una delle due proposizioni sia vera.
Per esempio, se è vera e è falsa, allora resta vera.
La differenza tra AND e OR si ricorda con una regola semplice.
AND è vera solo quando tutto è vero. OR è falsa solo quando tutto è falso.
Per esempio, se è "4 è pari" e è "9 è pari", allora è falsa, ma è vera.
L’implicazione, cioè il legame "se... allora...", collega una condizione iniziale a una conclusione.
Si legge: se è vera, allora deve essere vera.
La proposizione è falsa solo nel caso in cui la premessa sia vera e la conclusione sia falsa.
Per esempio, se è "un numero è multiplo di 4" e è "il numero è pari", allora è vera.
Infatti, ogni multiplo di 4 è pari.
L’implicazione si può anche riscrivere come .
Per esempio, se è vera e è falsa, allora è falsa, quindi anche è falsa.
La doppia implicazione, cioè il legame "se e solo se", richiede che le due proposizioni abbiano lo stesso valore di verità.
Per esempio, se è "10 è pari" e è "10 è divisibile per 2", allora è vera, perché entrambe sono vere.
Se una sola delle due è falsa, allora la doppia implicazione è falsa.
La tavola di verità, cioè la tabella che mostra il valore di una proposizione per tutte le combinazioni possibili, serve a controllare il comportamento dei connettivi.
Si costruisce elencando tutti i casi possibili per e , poi si calcola il valore finale riga per riga.
Per esempio, se è vera e è falsa, allora la congiunzione vale falsa.
La tavola di verità è utile perché elimina i dubbi e mostra il comportamento esatto di ogni connettivo.
Le leggi di De Morgan, cioè le regole che trasformano la negazione di una congiunzione o di una disgiunzione, descrivono equivalenze fondamentali.
Per esempio, se è vero e è falso, allora è falso, quindi è vero.
Dall’altro lato, è vero perché almeno una delle due negazioni è vera.
Le due espressioni coincidono, quindi la legge è verificata nel caso concreto.
I quantificatori, cioè i simboli che parlano di tutti gli elementi o di almeno uno, estendono la logica alle affermazioni su insiemi interi.
Il simbolo si legge "per ogni". Esprime che una proprietà vale per tutti gli elementi di un insieme.
Per esempio, se è l’insieme dei numeri pari minori di 10 e significa "x è divisibile per 2", allora è vera.
Il simbolo si legge "esiste almeno un elemento".
Per esempio, se è l’insieme dei numeri naturali minori di 5 e significa "x è uguale a 3", allora è vera, perché il valore 3 esiste nell’insieme.
I quantificatori sono importanti perché permettono di formulare proprietà generali in modo rigoroso.
In sintesi, la logica matematica studia come si combinano proposizioni, connettivi e quantificatori per costruire ragionamenti controllabili.
La negazione, cioè il connettivo che inverte il valore di verità di una proposizione, è vera quando è falsa.
Se è vera, allora è falsa. Se è falsa, allora è vera.
Si consideri la proposizione: "Roma è in Francia".
Essa è falsa, quindi la sua negazione è vera.
La congiunzione, cioè il connettivo AND, è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.
Se anche una sola tra e è falsa, allora è falsa.
Si considerino le proposizioni: "2 è pari" e "5 è dispari".
Entrambe sono vere, quindi anche la congiunzione è vera.
La disgiunzione, cioè il connettivo OR, è falsa solo quando entrambe le proposizioni sono false.
In tutti gli altri casi, è vera.
Si considerino: "3 è pari" e "7 è minore di 10".
La prima è falsa, la seconda è vera. La disgiunzione risulta vera.
L'implicazione, cioè la forma "se p allora q", è falsa solo nel caso in cui è vera e è falsa.
La forma equivalente permette di studiare l'implicazione con la disgiunzione.
Si prenda: "Se un numero è multiplo di 4, allora è pari".
Per il numero 8 la proposizione è vera, perché 8 è multiplo di 4 ed è pari.
La doppia implicazione, cioè il connettivo "se e solo se", è vera quando e hanno lo stesso valore di verità.
Risulta vera se entrambe sono vere oppure se entrambe sono false.
Si considerino: "2 è pari" e "2 è divisibile per 2".
Le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità, quindi la doppia implicazione è vera.
La legge di De Morgan trasforma la negazione di una congiunzione nella disgiunzione delle negazioni.
Questa proprietà è utile per riscrivere espressioni logiche in forma equivalente.
Si consideri: "Non è vero che oggi piove e fa freddo".
L'equivalenza corretta diventa: "oggi non piove oppure non fa freddo".
Il quantificatore universale, cioè , indica che una proprietà vale per ogni elemento di un insieme.
Il quantificatore esistenziale, cioè , indica che esiste almeno un elemento che soddisfa la proprietà.
Si consideri l'insieme dei numeri naturali minori di 5.
La frase "per ogni numero l'insieme contiene un pari" è falsa. La frase "esiste un numero pari" è vera.
Stabilire il valore di verità di quando è vera e è falsa.
Si riconoscono i dati: una proposizione cioè un enunciato che può essere vero oppure falso, e il connettivo , cioè la congiunzione.
Il problema chiede il valore della congiunzione nel caso dato. Si usa la definizione: la congiunzione è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.
Con e , la condizione non è soddisfatta. La congiunzione vale quindi .
Risultato finale: la proposizione è falsa.
Errore comune: pensare che basti una proposizione vera per rendere vera la congiunzione.
Costruire la tavola di verità di , cioè della disgiunzione.
Si conoscono due proposizioni, e . L'obiettivo è elencare tutti i casi possibili e valutare il connettivo.
La disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni sono false. In tutti gli altri casi è vera.
Si considerano i quattro casi: , , , . Solo nell'ultimo caso il risultato è .
Risultato finale: la disgiunzione è vera in tre casi su quattro.
Errore comune: confondere "oppure" con l'idea di scelta esclusiva.
Determinare il valore di verità di quando è vera e è falsa.
Si tratta dell'implicazione cioè del connettivo "se p allora q". Il caso critico è uno solo.
Un'implicazione è falsa soltanto quando l'ipotesi è vera e la conclusione è falsa. In ogni altro caso è vera.
Nel caso dato si ha e . Quindi si ottiene il solo caso in cui l'implicazione vale .
Risultato finale: falsa, perché l'ipotesi è verificata ma la conclusione no.
Errore comune: credere che un'implicazione sia falsa quando l'ipotesi è falsa.
Riscrivere la negazione di e di usando le leggi corrette.
I quantificatori cioè i simboli che indicano "per ogni" ed "esiste", cambiano il modo in cui si nega una proposizione.
Si usa la regola: la negazione di un "per ogni" diventa un "esiste" con negazione interna. Per De Morgan, la negazione di una congiunzione diventa una disgiunzione di negazioni.
Per esempio, se si dice "per ogni studente la verifica è sufficiente", la negazione corretta è "esiste uno studente la cui verifica non è sufficiente". Allo stesso modo, se e sono entrambe vere, la negazione della congiunzione risulta falsa.
Risultato finale: le negazioni si spostano all'interno e il quantificatore cambia da a .
Errore comune: lasciare invariato il quantificatore quando si nega una frase universale.
Dire che una proposizione può essere vera, falsa o entrambe.
Una proposizione è un enunciato che risulta vero oppure falso, ma non entrambi.
L’errore nasce quando si confonde una frase con una proposizione. Per evitare il problema, si verifica sempre se l’enunciato ammette un solo valore di verità.
Scrivere che la negazione di è ancora , oppure che basta aggiungere “non” senza cambiare il significato.
La negazione di è , cioè l’enunciato con valore di verità opposto a quello di .
La negazione non ripete la proposizione. Trasforma una proposizione vera in falsa e una falsa in vera.
Pensare che sia vera quando almeno una delle due proposizioni è vera.
La congiunzione è vera solo se e sono entrambe vere.
L’errore deriva dal confondere AND con OR. Nella congiunzione serve la verità simultanea di entrambe le proposizioni.
Pensare che sia vera solo quando entrambe le proposizioni sono vere.
La disgiunzione è falsa solo quando entrambe sono false.
L’OR è inclusivo nella logica matematica. Basta almeno una proposizione vera per ottenere verità.
Leggere come “se allora ” senza controllare il caso in cui è vera e è falsa.
L’implicazione è falsa solo nel caso vera e falsa; in tutti gli altri casi è vera.
Questo errore è molto comune nelle tavole di verità. Per evitarlo, si ricorda che l’implicazione esclude soltanto il caso controesempio.
Scambiare la tavola di verità con una semplice lista di esempi, oppure compilare solo alcuni casi.
La tavola di verità è la tabella che mostra il valore di verità di una proposizione composta in tutti i casi possibili.
La tavola deve essere completa. Ogni combinazione dei valori di e va controllata, altrimenti il risultato è incompleto.
I connettivi logici sono simboli che uniscono proposizioni, cioè enunciati che possono essere veri oppure falsi.
Servono per costruire proposizioni più complesse a partire da proposizioni semplici.
I più usati sono , , , e .
La negazione è il connettivo che cambia il valore di verità di una proposizione.
Se è vera, allora è falsa; se è falsa, allora è vera.
AND e OR sono due connettivi diversi: AND corrisponde alla congiunzione, OR corrisponde alla disgiunzione.
La congiunzione è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.
La disgiunzione è falsa solo se entrambe le proposizioni sono false.
La tavola di verità è una tabella che mostra il valore di una proposizione composta per tutte le combinazioni possibili dei valori delle proposizioni semplici.
Si usa per controllare il significato di un connettivo e per confrontare due formule logiche.
L'implicazione logica è il connettivo e si legge: se allora .
È falsa solo nel caso in cui è vera e è falsa.
Un modo utile per ricordarla è l'equivalenza .
I quantificatori servono a dire se una proprietà vale per tutti gli elementi oppure per almeno uno.
Il quantificatore universale significa 'per ogni', mentre il quantificatore esistenziale significa 'esiste almeno uno'.
Ad esempio, la frase afferma che il quadrato di ogni numero reale è non negativo.
