Insiemi numerici

Cosa sono gli insiemi numerici?

Gli insiemi numerici sono insiemi infiniti che raggruppano una determinata categoria di numeri. Partiamo subito con il primo!

Insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$

Il simbolo è semplice da ricordare: $\displaystyle { \mathbb{N} }$ di “naturali” . Il tratto obliquo si scrive due volte per differenziarlo da una generica $\displaystyle { N }$ maiuscola.

Allora cosa sono i numeri naturali? Concettualmente si possono immaginare come tutti i numeri interi positivi. Si definiscono però come tutti i numeri che puoi ottenere partendo da $\displaystyle { 0 }$ ed aggiungendo una unità alla volta (ovvero sommando $\displaystyle { 1 }$ ). Quindi avremo:

$\displaystyle { \mathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,6,7,…} }$

Sono diffusi online video matematici che litigano per decidere se $\displaystyle { 0 }$ appartiene ai numeri naturali o no. Infatti ci sono ancora dei dibattiti su questo argomento, ma in generale $\displaystyle { 0 }$ viene accettato come appartenente ai numeri naturali.

Siccome li usiamo per contare, gli elementi di $\displaystyle { \mathbb{N} }$ oltre ad essere chiamati numeri naturali, vengono talvolta chiamati numeri cardinali.

Insieme dei numeri relativi $\mathbb{Z}$

I numeri relativi sono tutti gli interi caratterizzati da un segno, che può essere positivo ( $\displaystyle { + }$ ), nullo (lo $\displaystyle { 0 }$ ), o negativo ( $\displaystyle { - }$ ). Quindi ad $\displaystyle { \mathbb{N} }$ aggiungiamo tutti gli interi negativi.

$\displaystyle { \mathbb{Z} ={…,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…} }$

Il simbolo da ricordare questa volta è meno intuitivo, ma anche in questo caso, per differenziare $\displaystyle { \mathbb{Z} }$ da una generica $\displaystyle { Z }$, scriviamo due volte il lato obliquo.

Notate che se chiamiamo tutti i numeri negativi $\displaystyle { \mathbb{N^-} }$

$\displaystyle { \mathbb{Z} ={0, -1, -2, -3, -4,…} }$

Avremo che $\displaystyle { \mathbb{Z} }$ sarà l’unione di $\displaystyle { \mathbb{N} }$ e $\displaystyle { \mathbb{N^-} }$ :

$\displaystyle { \mathbb{Z} =\mathbb{N} \cup \mathbb{N^-} }$

Di conseguenza $\displaystyle { \mathbb{N} }$ è un sottoinsieme di $\displaystyle { \mathbb{Z} }$ .

Insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$

I numeri razionali sono i tutti i numeri esprimibili come rapporto tra due numeri relativi. In altre parole, sono tutte le frazioni formate da numeri interi. Quindi, come per i numeri relativi, i numeri razionali sono caratterizzati da un segno: positivo (+), nullo (lo 0), o negativo (-).

Dobbiamo però aggiungere una restrizione. Il numero relativo che sta al denominatore non può essere uguale a $\displaystyle { 0 }$ , perché non si può dividere per 0.

Quindi:

$\displaystyle { c \in \mathbb{Q} \leftrightarrow c={ a \over b}, }$ con $\displaystyle { a,b \in \mathbb{Z},b \neq 0 }$

Se si pensa che in inglese “rapporto” si dice “quotient”, il perché della $\displaystyle { \mathbb{Q} }$ come simbolo ha più senso. Come per gli altri, mettiamo due volte il cerchietto per differenziare $\displaystyle { \mathbb{Q} }$ dalla generica $\displaystyle { Q }$ .

Esempi di numeri razionali sono:

• $\displaystyle { {1 \over 2},{10 \over 7},-8,-{2 \over 3},-{9 \over 17},5,{4 \over 3} }$

$\displaystyle { -8 }$ e $\displaystyle { 5 }$ sono numeri razionali? Certo, hanno soltanto $\displaystyle { 1 }$ al denominatore. Infatti $\displaystyle { -8={-8 \over 1}. }$

Di conseguenza i numeri razionali contengono tutti i numeri relativi, ovvero $\displaystyle { \mathbb{Z} }$ è un sottoinsieme di $\mathbb{Q}.$

Insieme dei numeri irrazionali $\mathbb{I}$

Ai tempi di Pitagora si pensava che tutti i numeri fossero esprimibili tramite frazioni di numeri interi (i nostri numeri razionali). Però, osservarono che la diagonale di un quadrato di lato $\displaystyle { 1 }$ , per il teorema di Pitagora, doveva essere uguale a $\displaystyle { \sqrt2 . }$ Dimostrarono che questo numero non era esprimibile tramite rapporto di numeri interi. Scoprirono così i numeri irrazionali.

Come avrete intuito, i numeri irrazionali sono tutti i numeri che non sono esprimibili tramite una frazione formata da numeri interi.

Tra questi ci sono tutte le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti, ma anche $\displaystyle { \pi }$ e molte altre costanti che si trovano in giro.

Questa volta la $\displaystyle { \mathbb{I} }$ è facile da ricordare perché sta per “irrazionale” . Come per gli altri mettiamo un doppio tratto per differenziarla dalla generica $\displaystyle { I. }$

Quindi esempi di numeri irrazionali sono:

• $\displaystyle { \sqrt2 ,\sqrt5 , \pi,\sqrt{7 \over 3},{1 \over \sqrt{10}} }$

Insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

Adesso che conosciamo i numeri razionali e i numeri irrazionali, sarebbe molto pratico avere un insieme che li contiene entrambi, l’insieme dei numeri reali:

$\displaystyle { \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} }$

La $\displaystyle { \mathbb{R} }$ che sta per “reali” anche questa volta ha un doppio tratto per differenziarla dalla generica $\displaystyle { R }$.

Quindi esempi di numeri reali sono:

• $\displaystyle { 2,{7 \over 4},\sqrt7 }$

Per comprendere poi meglio i legami tra i vari insiemi numerici proponiamo il seguente grafico di Eulero-Venn: