Funzioni esponenziali

Cos’è una funzione esponenziale?

Una funzione esponenziale è una funzione espressa da una potenza con base fissa ed esponente variabile, ovvero una funzione del tipo:

$\displaystyle { f(x)=a^x }$

Esempi di funzioni esponenziali sono:

$\displaystyle { f(x)=2^x }$

$\displaystyle { f(x)=4^x }$

$\displaystyle { f(x)={0.5}^{x} }$

$\displaystyle { g(x)={13.179}^x }$

Non sono invece funzioni esponenziali le seguenti:

$\displaystyle { f(x)=x^2 }$ perché è espressa da una potenza con base variabile ed esponente fisso.

$\displaystyle { f(x)=2^3 }$ perché è espressa da una potenza con base ed esponente fisso ed è in realtà una funzione costante.

Funzioni esponenziali con base maggiore di 1

Il grafico di una funzione esponenziale con base maggiore di $\displaystyle { 1 }$ è fatto così:

Osserviamo innanzitutto che si tratta di una funzione sempre positiva. Infatti la sua immagine I è l’intervallo $\displaystyle { (0;+\infty) }$ .

Poi notiamo che il grafico di qualsiasi funzione esponenziale interseca l'asse $\displaystyle { y }$ sempre ad altezza $\displaystyle { 1 }$ perché qualsiasi numero (diverso da $\displaystyle { 0 }$ ) elevato alla $\displaystyle { 0 }$ da sempre $\displaystyle { 1. }$

Inoltre è una funzione monotona crescente(aumenta sempre) ed è quindi anche biunivoca . Questo è molto importante perché ci permetterà di definire una funzione inversa, il logaritmo , che vedremo in un’altra lezione (qui).

Queste funzioni crescono molto velocemente, più di qualsiasi altra funzione polinomiale.

Pure se all'inizio aumentano lentamente, più si va avanti e più aumenta velocemente e prima o poi supererà qualsiasi funzione polinomiale. Questo andamento viene chiamato crescita esponenziale .

Per questo quando qualcosa cresce molto velocemente si dice che "sta aumentando esponenzialmente".

Funzione esponenziale con base compresa tra 0 ed 1

Nel caso in cui la base sia $\displaystyle { 1 }$ , siccome $\displaystyle { 1^n=1 }$ per ogni $\displaystyle { n }$ , otterremo la funzione continua $\displaystyle { f(x) = 1. }$

Stessa cosa nel caso in cui la base sia uguale a $\displaystyle { 0 }$ . L’unica differenza è che ad $\displaystyle { x=0 }$ otterremo $\displaystyle { 0^0 }$ che non è definito.

Per gli altri valori tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1 }$ , però, otteniamo delle funzioni più interessanti. Queste funzioni si comportano esattamente come quelle con base maggiore di $\displaystyle { 1 }$ , ma al contrario. Ovvero, sono anche loro sempre positive, ma questa volta sono monotone decrescenti e diminuiscono sempre più lentamente.

Perché avviene questo?

Prendiamo un numero $\displaystyle { b>1 }$ con cui prendiamo la funzione esponenziale $\displaystyle { f(x)= b^x. }$

La funzione simmetrica rispetto all’asse $\displaystyle { y }$ di $\displaystyle { f(x) }$ è $\displaystyle { f(-x) }$ . Dunque il simmetrico $\displaystyle { g(x) }$ dela nostra funzione sarà $\displaystyle { f(-x) = b^{-x}. }$

Grazie alle proprietà delle potenze possiamo riscriverla come $\displaystyle { g(x) = {1\over b^x}, }$ cioè $\displaystyle { g(x) = ({1\over b})^x. }$

$\displaystyle { 1\over b }$ è appunto un numero compreso tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1, }$ perciò se tutte le funzioni esponenziali con base maggiori di $\displaystyle { 1 }$ erano della stessa tipologia di $\displaystyle { f(x), }$ tutte le funzioni esponenziali con base compresa tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1 }$ saranno della tipologia di $\displaystyle { g(x). }$ Per questo otteniamo quella simmetria.

Perché non possiamo prendere basi negative?

Questo perché funzioni esponenziali con basi negative hanno valori che non appartengono ai numeri reali. Ad esempio nel punto $\displaystyle { x={1\over 2} }$ , la funzione vale:

$\displaystyle { f({1\over 2})=a^{1\over 2}=\sqrt{a} }$

Ed è impossibile nei numeri reali fare la radice quadrata di un numero negativo.

Oltre al caso $\displaystyle { x={1\over 2} }$ abbiamo infiniti altri casi analoghi in cui non otteniamo valori reali, per questo non ci interessano per ora.

La funzione esponenziale e^x

Tra tutte le funzioni esponenziali ce n’è una che è più importante di tutte: quella che ha come base il Numero di Nepero .

Essa ha infatti alcune proprietà extra che la rendono veramente speciale, facendole ottenere un posto nell’Olimpo delle funzioni matematiche. Queste proprietà extra richiedono però matematica più avanzata e le studieremo più avanti.

Per adesso vi basta sapere che questo numero viene solitamente indicato con la lettera $\displaystyle { e }$ e vale circa $\displaystyle { 2,71. }$

Talvolta infatti quando si dice “funzione esponenziale” è sottinteso che ci stiamo riferendo ad essa e non ad una funzione esponenziale generica. Spesso la troverete scritta come $\displaystyle { exp(x) }$ (notazione usata dalla maggior parte delle calcolatrici scientifiche).