Cos’è una funzione esponenziale?

Una funzione esponenziale è una funzione espressa da una potenza con base fissa ed esponente variabile, ovvero una funzione del tipo:

$f(x)=a^x$

Esempi di funzioni esponenziali sono:

$f(x)=2^x$

$f(x)=4^x$

$f(x)={0.5}^{x}$

$g(x)={13.179}^x$

Non sono invece funzioni esponenziali le seguenti:

$f(x)=x^2$ perché è espressa da una potenza con base variabile ed esponente fisso.

$f(x)=2^3$ perché è espressa da una potenza con base ed esponente fisso ed è in realtà una funzione costante.

Funzioni esponenziali con base maggiore di 1

Il grafico di una funzione esponenziale con base maggiore di $1$ è fatto così:

Osserviamo innanzitutto che si tratta di una funzione sempre positiva. Infatti la sua immagine I è l’intervallo $(0;+\infty)$ .

Poi notiamo che il grafico di qualsiasi funzione esponenziale interseca l'asse $y$ sempre ad altezza $1$ perché qualsiasi numero (diverso da $0$ ) elevato alla $0$ da sempre $1.$

Inoltre è una funzione monotona crescente(aumenta sempre) ed è quindi anche biunivoca . Questo è molto importante perché ci permetterà di definire una funzione inversa, il logaritmo , che vedremo in un’altra lezione (qui).

Queste funzioni crescono molto velocemente, più di qualsiasi altra funzione polinomiale.

Pure se all'inizio aumentano lentamente, più si va avanti e più aumenta velocemente e prima o poi supererà qualsiasi funzione polinomiale. Questo andamento viene chiamato crescita esponenziale .

Per questo quando qualcosa cresce molto velocemente si dice che "sta aumentando esponenzialmente".

Funzione esponenziale con base compresa tra 0 ed 1

Nel caso in cui la base sia $1$ , siccome $1^n=1$ per ogni $n$ , otterremo la funzione continua $f(x) = 1.$

Stessa cosa nel caso in cui la base sia uguale a $0$ . L’unica differenza è che ad $x=0$ otterremo $0^0$ che non è definito.

Per gli altri valori tra $0$ ed $1$ , però, otteniamo delle funzioni più interessanti. Queste funzioni si comportano esattamente come quelle con base maggiore di $1$ , ma al contrario. Ovvero, sono anche loro sempre positive, ma questa volta sono monotone decrescenti e diminuiscono sempre più lentamente.

Perché avviene questo?

Prendiamo un numero $b>1$ con cui prendiamo la funzione esponenziale $f(x)= b^x.$

La funzione simmetrica rispetto all’asse $y$ di $f(x)$ è $f(-x)$ . Dunque il simmetrico $g(x)$ dela nostra funzione sarà $f(-x) = b^{-x}.$

Grazie alle proprietà delle potenze possiamo riscriverla come $g(x) = {1\over b^x},$ cioè $g(x) = ({1\over b})^x.$

$1\over b$ è appunto un numero compreso tra $0$ ed $1,$ perciò se tutte le funzioni esponenziali con base maggiori di $1$ erano della stessa tipologia di $f(x),$ tutte le funzioni esponenziali con base compresa tra $0$ ed $1$ saranno della tipologia di $g(x).$ Per questo otteniamo quella simmetria.

Perché non possiamo prendere basi negative?

Questo perché funzioni esponenziali con basi negative hanno valori che non appartengono ai numeri reali. Ad esempio nel punto $x={1\over 2}$ , la funzione vale:

$f({1\over 2})=a^{1\over 2}=\sqrt{a}$

Ed è impossibile nei numeri reali fare la radice quadrata di un numero negativo.

Oltre al caso $x={1\over 2}$ abbiamo infiniti altri casi analoghi in cui non otteniamo valori reali, per questo non ci interessano per ora.

La funzione esponenziale e^x

Tra tutte le funzioni esponenziali ce n’è una che è più importante di tutte: quella che ha come base il Numero di Nepero .

Essa ha infatti alcune proprietà extra che la rendono veramente speciale, facendole ottenere un posto nell’Olimpo delle funzioni matematiche. Queste proprietà extra richiedono però matematica più avanzata e le studieremo più avanti.

Per adesso vi basta sapere che questo numero viene solitamente indicato con la lettera $e$ e vale circa $2,71.$

Talvolta infatti quando si dice “funzione esponenziale” è sottinteso che ci stiamo riferendo ad essa e non ad una funzione esponenziale generica. Spesso la troverete scritta come $exp(x)$ (notazione usata dalla maggior parte delle calcolatrici scientifiche).