Forme hermitiane

Cos'è una forma hermitiana?

Dopo aver studiato le forme bilineari (clicca qui per ripassarle) per gli spazi vettoriali reali, possiamo passare a vedere le loro analoghe negli spazi vettoriali complessi.

Definiamo, infatti, una forma hermitiana $\displaystyle { \left < , \right > }$ una mappa da $\displaystyle { V\times V }$ a $\displaystyle { \mathbb{C} }$ che è antilineare nella prima variabile, lineare nella seconda ed hermitiana simmetrica, cioè se:

Se non è rispettata l'ultima condizione, si dice che è una forma sesquilineare.

Dalla terza condizione otteniamo che $\displaystyle { \left < v,v \right > = \overline{\left < v , v\right >} }$ e questo ci dice che $\displaystyle { \left < v,v \right > }$ è un numero reale.

Definiamo la forma hermitiana standard come la seguente:

$\displaystyle { \left < X, Y \right > = X^*Y = \bar{x_1} y_1 + }$ $\displaystyle { + \bar{x_2} y_2 + ... + \bar{x_n} y_n }$ $\displaystyle { = \underset{i}{\sum} \bar{x_i} y_i }$

Che infatti assomiglia molto al prodotto scalare, ma questa volta prendiamo il coniugato.

Ma perché abbiamo introdotto il coniugato? Perché in questo modo quando facciamo $\displaystyle { \left < X , X \right >, }$ come si nota facilmente, otteniamo sempre un numero reale, come imposto dalla terza condizione.

Ovviamente esistono altre forme hermitiane, ma questa è la più comune da utilizzare, per questo è detta standard.

Nella formula qui sopra, $\displaystyle { X^* }$ rappresenta il coniugato trasposto di $\displaystyle { X. }$ Allo stesso modo, se scriviamo $\displaystyle { A^*, }$ intendiamo dire la matrice aggiunta di $\displaystyle { A, }$ cioè il trasposto coniugato.

Una matrice $\displaystyle { A }$ tale che $\displaystyle { A^* = A }$ è detta hermitiana, o autoaggiunta.

Per esempio, la matrice $\displaystyle { \left[ \begin{array}{l} 1 & i \\ -i & 9 \end{array}\right] }$ è hermitiana.

Si dimostra facilmente che affinchè una matrice sia hermitiana dobbiamo avere $\displaystyle { a_{ji} = \overline{a_{ij}} }$ e dunque le entrate della diagonale principale devono essere numeri reali.

Probabilmente avrete capito che non è una coincidenza che queste matrici si chiamino hermitiane.

Prima di vedere il legame tra forme hermitiane e matrici hermitiane, però, definiamo che cos'è la matrice di una forma hermitiana rispetto ad una base $\displaystyle { \textbf{B} = (v_1,...,v_n). }$

Lo si fa esattamente come avevamo fatto per le forme bilineari, cioè si definisce la matrice $\displaystyle { A }$ come $\displaystyle { A = (a_{ij}) }$ dove $\displaystyle { a_{ij} = \left < v_i , v_j \right >. }$

Dimostriamo quindi che se $\displaystyle { \left < , \right > }$ è hermitiana, allora $\displaystyle { \left < v,w \right > = X^* A Y, }$ dove $\displaystyle { X }$ e $\displaystyle { Y }$ sono i due vettori coordinate rispetto ad una base $\displaystyle { B }$ ed $\displaystyle { A }$ è una matrice hermitiana e che se $\displaystyle { A }$ è una matrice hermitiana, allora $\displaystyle { \left < v,w \right >= X^* A Y }$ è una forma hermitiana.

Per farlo, notiamo che (con $\displaystyle { \textbf{B} }$ ed $\displaystyle { A }$ definite come due righe sopra) $\displaystyle { \left < v,w \right> = \left <\underset{i}{\sum} v_i x_i, \underset{j}{\sum}v_j y_j \right > }$ $\displaystyle { = \underset{i,j}{\sum} \overline{x_i} \left < v_i, v_j \right > y_j }$ $\displaystyle { = \underset{i,j}{\sum} \overline{x_i} a_{ij} y_j = X^* A Y }$

Si può, infine, notare che se $\displaystyle { A }$ è hermitiana, allora:

E dunque $\displaystyle { X^*AY }$ è una forma hermitiana, come volevasi dimostrare.