Forme bilineari

Cosa sono le forme bilineari?

Sia $\displaystyle { V }$ uno spazio vettoriale reale, una forma bilineare $\displaystyle { \left< \, ,\right> }$ su $\displaystyle { V }$ è una funzione a valori reali dal prodotto cartesiano $\displaystyle { V\times V }$ ad $\displaystyle { \mathbb{R} }$ lineare per entrambe le variabili, cioè deve sia essere vero che:

Sia che:

Per ogni $\displaystyle { v,v_1,v_2,w,w_1,w_2 }$ vettori di $\displaystyle { V }$ ed ogni scalare $\displaystyle { r }$ di $\displaystyle { \mathbb{R}. }$

Ovviamente abbiamo spostato lo scalare davanti quando stava moltiplicando la prima variabile e dietro quando stava moltiplicando la seconda soltanto per convenzione, siccome sono tutti numeri reali vale la proprietà commutativa quindi è la stessa cosa.

Forse non lo avrete ancora notato, ma il prodotto scalare è proprio una forma bilineare, anzi è la forma bilineare per eccellenza.

Lasciamo il verificare le condizioni come esercizio per il lettore.

Se dunque indichiamo con $\displaystyle { \left< \, , \right> }$ il prodotto scalare, allora avremo:

$\displaystyle { \left< v\, ,w \right> = v^t w }$

Dove ovviamente $\displaystyle { v^t }$ sarebbe il vettore trasposto di $\displaystyle { v. }$

In generale, se $\displaystyle { V }$ ha dimensione $\displaystyle { n, }$ possiamo aggiungere una matrice $\displaystyle { A \, \, n\times n }$ a moltiplicare in mezzo al prodotto ottenendo sempre una forma bilineare.

Se chiamiamo, quindi, $\displaystyle { X }$ ed $\displaystyle { Y }$ i vettori coordinate di $\displaystyle { v }$ e $\displaystyle { w }$ in generale avremo:

$\displaystyle { \left< v , w \right> = X^t A Y }$

In questo caso, ovviamente, $\displaystyle { \left< v, w \right> }$ non indicherà più il prodotto scalare ammenochè $\displaystyle { A = I. }$

Talvolta potremmo avere una forma bilineare e voler trovare la matrice della forma rispetto ad una base $\displaystyle { \textbf{B} = (v_1,...,v_n) }$ , come fare?

Si nota facilmente che basterrà inserire nell'entrata $\displaystyle { a_{ij} }$ di $\displaystyle { A }$ il risultato di $\displaystyle { \left< v_i, v_j \right>. }$

Una forma bilineare è detta simmetrica se $\displaystyle { \left< v, w\right> =\left< w,v \right> }$ mentre è detta antisimmetrica se $\displaystyle { \left< v,w\right> = - \left< w,v \right> }$

Notiamo che una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice $\displaystyle { A }$ è anch'essa simmetrica ( $\displaystyle { A^t = A }$ ).

Infatti, se $\displaystyle { A^t = A, }$ allora, siccome possiamo vedere un numero come una matrice $\displaystyle { 1\times 1 }$ e questa tipologie di matrici sono sempre simmetriche, dobbiamo avere:

$\displaystyle { \left< v , w\right > = X^t A Y }$ $\displaystyle { = (X^t A Y)^t = Y^t A^t X }$ $\displaystyle { = Y^t A X = \left < w,v \right >. }$

E d'altra parte, siccome avevamo detto che $\displaystyle { a_{ij} = \left< v_i, v_j \right>, }$ allora deve essere vero che $\displaystyle { a_{ji} = \left< v_j, v_i \right> = \left< v_i, v_j \right> = a_{ij} }$ e dunque se la forma è simmetrica, anche la matrice è simmetrica.

Spesso può essere utile sapere come cambia $\displaystyle { A }$ al variare della base $\displaystyle { \textbf{B}. }$

Vediamo come si calcola la nuova base a seguito di un cambiamento di base tramite una matrice $\displaystyle { P: }$

Avremo dunque $\displaystyle { \textbf{B}' = BP. }$

Siccome $\displaystyle { v = BX }$ e $\displaystyle { v = B'X', }$ avremo:

$\displaystyle { X = P X' }$

e per lo stesso ragionamento avremo anche $\displaystyle { Y = PY'. }$

Dunque avremo:

$\displaystyle { \left < v , w \right > = X^t A Y = (PX')^t A (PY') = X'^t (P^t A P ) Y' }$

E quindi la nuova matrice sarà $\displaystyle { A' = P^t A P. }$

Questo ci dice che tutte le matrici che rappresentano la stessa forma bilineare di $\displaystyle { A }$ ma rispetto ad altre basi, sono quelle riscrivibili come $\displaystyle { P^tAP, }$ per qualche matrice $\displaystyle { P. }$