Esercizi su Teoremi di analisi matematica

Sia $\displaystyle { f(x)=x^5-4x+1 }$ sul segmento $\displaystyle { [0,1] }$.

Dimostrare l'esistenza di almeno una radice in $\displaystyle { [0,1] }$ mediante il teorema di Bolzano e approssimare la radice con tre cifre significative usando il metodo di bisezione.

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln x }$ definita su $\displaystyle { [1,e^2] }$.

Usare il teorema di Lagrange per trovare un punto $\displaystyle { c\in(1,e^2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} }$.

Sia la funzione $\displaystyle { f(x)=x^3-3x+1 }$ definita sull'intervallo chiuso $\displaystyle { [0,2] }$.

Verifica che i prerequisiti del teorema di Lagrange sono soddisfatti e trova un punto $\displaystyle { c\\in(0,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0} }$.

Verifica le ipotesi del teorema di Rolle per la funzione $\displaystyle { f(x)=(x-1)^2(x+2) }$ sull'intervallo $\displaystyle { [-2,1] }$.

Trova un punto $\displaystyle { c\in(-2,1) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=0 }$.

Applica il teorema di Lagrange (valore medio) alla funzione $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ sull'intervallo $\displaystyle { [1,3] }$.

Trova il punto $\displaystyle { c\in(1,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} }$.

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} }$ usando il teorema di de L'Hospital.

Motiva ogni passaggio e arrivi al valore numerico finale.

Calcolare $\displaystyle { \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3} }$.

Si può utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor di $\displaystyle { \sin x }$ in un intorno di $\displaystyle { 0 }$ o applicare ripetutamente la regola di l'Hôpital.

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} }$ usando la regola di de L'Hôpital.

Mostrare i passaggi di verifica dell'indeterminatezza e l'applicazione della regola.

Trova i punti critici della funzione $\displaystyle { f(x)=x^4-4x^2+3 }$ e calcola i corrispondenti valori di $\displaystyle { f }$.

Indica solo i punti critici e i valori associati.

Trovare il polinomio di Taylor di ordine $\displaystyle { 3 }$ di $\displaystyle { \sin x }$ intorno a $\displaystyle { 0 }$.

Stimare il resto di Lagrange in $\displaystyle { x=0.5 }$ radianti fornendo una stima numerica del modulo del resto.

Approssimare $\displaystyle { e^{0.2} }$ con il polinomio di Taylor centrato in $\displaystyle { 0 }$ di ordine $\displaystyle { 2 }$.

Stimare il resto in forma di Lagrange $\displaystyle { R_2 }$ e fornire il valore numerico della stima.

Approssima $\displaystyle { \ln(1+x) }$ attorno a $\displaystyle { x=0 }$ con il polinomio di Taylor di ordine $\displaystyle { 2 }$ e stima il resto per $\displaystyle { x=0.1 }$ usando la forma di Lagrange.

Forni l'approssimazione numerica e una stima superiore del valore assoluto del resto.

Considera $\displaystyle { f(x)=\ln(x) }$ definita su $\displaystyle { [1,e^2] }$.

Mostrare che esiste $\displaystyle { c\in(1,e^2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} }$ e determinare esplicitamente $\displaystyle { c }$.

Considerare $\displaystyle { f(x)=e^x }$ e $\displaystyle { g(x)=x }$ sull'intervallo $\displaystyle { [0,1] }$.

Dimostrare l'esistenza di $\displaystyle { c\in(0,1) }$ che soddisfa la formula di Cauchy e determinarlo esplicitamente.

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3-3x^2+2x }$ definita su $\displaystyle { [0,1] }$.

Verificare le ipotesi del teorema di Rolle e determinare almeno un punto $$c

otin\{0,1\}$\displaystyle { tale che }$f'(c)=0$$.

Verificare le ipotesi del teorema di Rolle per la funzione $\displaystyle { f(x)=x^3-3x^2 }$ sull'intervallo $\displaystyle { [0,3] }$.

Se soddisfatte, trovare un punto $\displaystyle { c\\in(0,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=0 }$.