Esercizi su Teorema di Lagrange

Selezione di esercizi con passaggi e soluzioni. Per la teoria, vedi la lezione: Teorema di Lagrange.

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su $x^3$

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3 }$ definita sull'intervallo chiuso $\displaystyle { [0,2] }$ .

Mostra che esiste $\displaystyle { c\in(0,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} }$ e trova il valore di $\displaystyle { c }$ .

Applicazione su $\sin x$ in $[0,\pi]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita su $\displaystyle { [0,\pi] }$ .

Dimostrare che esiste $\displaystyle { c\in(0,\pi) }$ con $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0} }$ e determinare tale $\displaystyle { c }$ .

Cubo meno termine lineare su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3-3x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Determinare un punto $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ garantito dal teorema di Lagrange tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Determinare $c$ per $e^x$ su $[0,1]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^x }$ su $\displaystyle { [0,1] }$ .

Applicare il Teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,1) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0} }$ e fornire il valore esatto e un'approssimazione numerica.

Determinare il punto fornito dal Teorema per $\ln x$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,e] }$ .

Applica il Teorema di Lagrange e determina il punto $\displaystyle { c }$ in $\displaystyle { (1,e) }$ che realizza la pendenza media.

Dimostrare l'ineguaglianza $\ln(1+x)\le x$ con il Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Per ogni $\displaystyle { x>-1 }$ usa il Teorema di Lagrange applicato alla funzione logaritmo per provare che $\displaystyle { \ln(1+x)\le x }$ .

Determina anche quando si ha l'uguaglianza.

Esponenziale su $[0,1]$ e calcolo esplicito di $c$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^{2x} }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [0,1] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange e trovare il valore numerico di $\displaystyle { c\in(0,1) }$ per il quale $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} }$ . Fornire il risultato con tre cifre significative.

Funzione $f(x)=1/x$ su $[1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\dfrac{1}{x} }$ su $\displaystyle { [1,2] }$ .

Verificare le ipotesi del Teorema di Lagrange e trovare il valore di $\displaystyle { c\in(1,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1} }$ .

Lagrange per $f(x)=\ln x$ su $[1,e^2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln x }$ definita su $\displaystyle { [1,e^2] }$ .

Determinare il punto $\displaystyle { c\in(1,e^2) }$ che soddisfa $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} }$ e fornire il valore numerico con quattro cifre significative.

Lagrange per $f(x)=\sin x$ su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,\tfrac{\pi}{2}) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(\tfrac{\pi}{2})-f(0)}{\tfrac{\pi}{2}-0} }$ e fornire il valore numerico in radianti con tre cifre significative.

Lagrange per $f(x)=e^x$ su $[0,1]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^x }$ definita su $\displaystyle { [0,1] }$ .

Usare il teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,1) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} }$ e dare il valore esatto ed un'approssimazione numerica con quattro cifre significative.

Lagrange per $f(x)=x^2$ su $[1,3]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ definita su $\displaystyle { [1,3] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange e determinare il punto $\displaystyle { c\in(1,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1} }$ .

Lagrange per $f(x)=x^3$ su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3 }$ definita su $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange e trovare tutti i punti $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ tali che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Lagrange per $f(x)=x^3-3x+1$ su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3-3x+1 }$ definita su $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Verificare le ipotesi del Teorema di Lagrange e trovare un punto $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Logaritmo naturale su $[1,e]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln(x) }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,e] }$ .

Dimostrare che le ipotesi di Lagrange sono soddisfatte e determinare $\displaystyle { c\in(1,e) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1} }$ .

Parabola e Teorema di Lagrange su $[1,4]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,4] }$ .

Verificare le ipotesi del teorema di Lagrange e trovare un punto $\displaystyle { c\in(1,4) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1} }$ .

Punto interno per $\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }$ sull'intervallo $[0,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\dfrac{x}{x+1} }$ definita su $\displaystyle { [0,2] }$ .

Usa il Teorema di Lagrange per trovare il valore di $\displaystyle { c\in(0,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} }$ .

Quadratica $x^2$ su $[-1,3]$ : trovare $c$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ su $\displaystyle { [-1,3] }$ .

Verificare il teorema e determinare il punto $\displaystyle { c\in(-1,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} }$ .

Seno su $[0,\pi]$ e punto con derivata nulla

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [0,\pi] }$ .

Usare il teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,\pi) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0} }$ .

Velocità istantanea uguale alla velocità media per un movimento unidimensionale

Teorema di Lagrange

La posizione di una particella è data da $\displaystyle { s(t)=t^3-6t^2+9t }$ per il tempo $\displaystyle { t }$ in secondi.

Sull'intervallo temporale $\displaystyle { [0,4] }$ mostra che esistono istanti in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media e determina tali istanti $\displaystyle { t }$ .

Esercizi su Teorema di Lagrange

Selezione di esercizi con passaggi e soluzioni. Per la teoria, vedi la lezione: Teorema di Lagrange.

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su $x^3$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3 }$ definita sull'intervallo chiuso $\displaystyle { [0,2] }$ .

Mostra che esiste $\displaystyle { c\in(0,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} }$ e trova il valore di $\displaystyle { c }$ .

Applicazione su $\sin x$ in $[0,\pi]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita su $\displaystyle { [0,\pi] }$ .

Dimostrare che esiste $\displaystyle { c\in(0,\pi) }$ con $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0} }$ e determinare tale $\displaystyle { c }$ .

Cubo meno termine lineare su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3-3x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Determinare un punto $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ garantito dal teorema di Lagrange tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Determinare $c$ per $e^x$ su $[0,1]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^x }$ su $\displaystyle { [0,1] }$ .

Applicare il Teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,1) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0} }$ e fornire il valore esatto e un'approssimazione numerica.

Determinare il punto fornito dal Teorema per $\ln x$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,e] }$ .

Applica il Teorema di Lagrange e determina il punto $\displaystyle { c }$ in $\displaystyle { (1,e) }$ che realizza la pendenza media.

Dimostrare l'ineguaglianza $\ln(1+x)\le x$ con il Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Per ogni $\displaystyle { x>-1 }$ usa il Teorema di Lagrange applicato alla funzione logaritmo per provare che $\displaystyle { \ln(1+x)\le x }$ .

Determina anche quando si ha l'uguaglianza.

Esponenziale su $[0,1]$ e calcolo esplicito di $c$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^{2x} }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [0,1] }$ .

Funzione $f(x)=1/x$ su $[1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\dfrac{1}{x} }$ su $\displaystyle { [1,2] }$ .

Verificare le ipotesi del Teorema di Lagrange e trovare il valore di $\displaystyle { c\in(1,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1} }$ .

Lagrange per $f(x)=\ln x$ su $[1,e^2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln x }$ definita su $\displaystyle { [1,e^2] }$ .

Determinare il punto $\displaystyle { c\in(1,e^2) }$ che soddisfa $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} }$ e fornire il valore numerico con quattro cifre significative.

Lagrange per $f(x)=\sin x$ su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$ .

Lagrange per $f(x)=e^x$ su $[0,1]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=e^x }$ definita su $\displaystyle { [0,1] }$ .

Lagrange per $f(x)=x^2$ su $[1,3]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ definita su $\displaystyle { [1,3] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange e determinare il punto $\displaystyle { c\in(1,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1} }$ .

Lagrange per $f(x)=x^3$ su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3 }$ definita su $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Applicare il teorema di Lagrange e trovare tutti i punti $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ tali che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Lagrange per $f(x)=x^3-3x+1$ su $[-1,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^3-3x+1 }$ definita su $\displaystyle { [-1,2] }$ .

Verificare le ipotesi del Teorema di Lagrange e trovare un punto $\displaystyle { c\in(-1,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} }$ .

Logaritmo naturale su $[1,e]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\ln(x) }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,e] }$ .

Dimostrare che le ipotesi di Lagrange sono soddisfatte e determinare $\displaystyle { c\in(1,e) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1} }$ .

Parabola e Teorema di Lagrange su $[1,4]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [1,4] }$ .

Verificare le ipotesi del teorema di Lagrange e trovare un punto $\displaystyle { c\in(1,4) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1} }$ .

Punto interno per $\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }$ sull'intervallo $[0,2]$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\dfrac{x}{x+1} }$ definita su $\displaystyle { [0,2] }$ .

Usa il Teorema di Lagrange per trovare il valore di $\displaystyle { c\in(0,2) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} }$ .

Quadratica $x^2$ su $[-1,3]$ : trovare $c$

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ su $\displaystyle { [-1,3] }$ .

Verificare il teorema e determinare il punto $\displaystyle { c\in(-1,3) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} }$ .

Seno su $[0,\pi]$ e punto con derivata nulla

Teorema di Lagrange

Sia $\displaystyle { f(x)=\sin x }$ definita sull'intervallo $\displaystyle { [0,\pi] }$ .

Usare il teorema di Lagrange per trovare $\displaystyle { c\in(0,\pi) }$ tale che $\displaystyle { f'(c)=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0} }$ .

Velocità istantanea uguale alla velocità media per un movimento unidimensionale

Teorema di Lagrange

La posizione di una particella è data da $\displaystyle { s(t)=t^3-6t^2+9t }$ per il tempo $\displaystyle { t }$ in secondi.

Sull'intervallo temporale $\displaystyle { [0,4] }$ mostra che esistono istanti in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media e determina tali istanti $\displaystyle { t }$ .

Esercizi su Teorema di Lagrange

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su x3x^3x3

Applicazione su sin⁡x\sin xsinx in [0,π][0,\pi][0,π]

Cubo meno termine lineare su [−1,2][-1,2][−1,2]

Determinare ccc per exe^xex su [0,1][0,1][0,1]

Determinare il punto fornito dal Teorema per ln⁡x\ln xlnx

Dimostrare l'ineguaglianza ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x)\le xln(1+x)≤x con il Teorema di Lagrange

Esponenziale su [0,1][0,1][0,1] e calcolo esplicito di ccc

Funzione f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x su [1,2][1,2][1,2]

Lagrange per f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx su [1,e2][1,e^2][1,e2]

Lagrange per f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx su [0,π2]\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }[0,2π​]

Lagrange per f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex su [0,1][0,1][0,1]

Lagrange per f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 su [1,3][1,3][1,3]

Lagrange per f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 su [−1,2][-1,2][−1,2]

Lagrange per f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1f(x)=x3−3x+1 su [−1,2][-1,2][−1,2]

Logaritmo naturale su [1,e][1,e][1,e]

Parabola e Teorema di Lagrange su [1,4][1,4][1,4]

Punto interno per xx+1\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }x+1x​ sull'intervallo [0,2][0,2][0,2]

Quadratica x2x^2x2 su [−1,3][-1,3][−1,3]: trovare ccc

Seno su [0,π][0,\pi][0,π] e punto con derivata nulla

Velocità istantanea uguale alla velocità media per un movimento unidimensionale

Esercizi su Teorema di Lagrange

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su x3x^3x3

Applicazione su sin⁡x\sin xsinx in [0,π][0,\pi][0,π]

Cubo meno termine lineare su [−1,2][-1,2][−1,2]

Determinare ccc per exe^xex su [0,1][0,1][0,1]

Determinare il punto fornito dal Teorema per ln⁡x\ln xlnx

Dimostrare l'ineguaglianza ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x)\le xln(1+x)≤x con il Teorema di Lagrange

Esponenziale su [0,1][0,1][0,1] e calcolo esplicito di ccc

Funzione f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x su [1,2][1,2][1,2]

Lagrange per f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx su [1,e2][1,e^2][1,e2]

Lagrange per f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx su [0,π2]\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }[0,2π​]

Lagrange per f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex su [0,1][0,1][0,1]

Lagrange per f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 su [1,3][1,3][1,3]

Lagrange per f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 su [−1,2][-1,2][−1,2]

Lagrange per f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1f(x)=x3−3x+1 su [−1,2][-1,2][−1,2]

Logaritmo naturale su [1,e][1,e][1,e]

Parabola e Teorema di Lagrange su [1,4][1,4][1,4]

Punto interno per xx+1\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }x+1x​ sull'intervallo [0,2][0,2][0,2]

Quadratica x2x^2x2 su [−1,3][-1,3][−1,3]: trovare ccc

Seno su [0,π][0,\pi][0,π] e punto con derivata nulla

Velocità istantanea uguale alla velocità media per un movimento unidimensionale

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su $x^3$

Applicazione su $\sin x$ in $[0,\pi]$

Cubo meno termine lineare su $[-1,2]$

Determinare $c$ per $e^x$ su $[0,1]$

Determinare il punto fornito dal Teorema per $\ln x$

Dimostrare l'ineguaglianza $\ln(1+x)\le x$ con il Teorema di Lagrange

Esponenziale su $[0,1]$ e calcolo esplicito di $c$

Funzione $f(x)=1/x$ su $[1,2]$

Lagrange per $f(x)=\ln x$ su $[1,e^2]$

Lagrange per $f(x)=\sin x$ su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$

Lagrange per $f(x)=e^x$ su $[0,1]$

Lagrange per $f(x)=x^2$ su $[1,3]$

Lagrange per $f(x)=x^3$ su $[-1,2]$

Lagrange per $f(x)=x^3-3x+1$ su $[-1,2]$

Logaritmo naturale su $[1,e]$

Parabola e Teorema di Lagrange su $[1,4]$

Punto interno per $\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }$ sull'intervallo $[0,2]$

Quadratica $x^2$ su $[-1,3]$ : trovare $c$

Seno su $[0,\pi]$ e punto con derivata nulla

Applicazione diretta del Teorema di Lagrange su $x^3$

Applicazione su $\sin x$ in $[0,\pi]$

Cubo meno termine lineare su $[-1,2]$

Determinare $c$ per $e^x$ su $[0,1]$

Determinare il punto fornito dal Teorema per $\ln x$

Dimostrare l'ineguaglianza $\ln(1+x)\le x$ con il Teorema di Lagrange

Esponenziale su $[0,1]$ e calcolo esplicito di $c$

Funzione $f(x)=1/x$ su $[1,2]$

Lagrange per $f(x)=\ln x$ su $[1,e^2]$

Lagrange per $f(x)=\sin x$ su $\displaystyle { [0,\tfrac{\pi}{2}] }$

Lagrange per $f(x)=e^x$ su $[0,1]$

Lagrange per $f(x)=x^2$ su $[1,3]$

Lagrange per $f(x)=x^3$ su $[-1,2]$

Lagrange per $f(x)=x^3-3x+1$ su $[-1,2]$

Logaritmo naturale su $[1,e]$

Parabola e Teorema di Lagrange su $[1,4]$

Punto interno per $\displaystyle { \dfrac{x}{x+1} }$ sull'intervallo $[0,2]$

Quadratica $x^2$ su $[-1,3]$ : trovare $c$

Seno su $[0,\pi]$ e punto con derivata nulla