Esercizi su Leggi di Keplero

Determina l'altitudine di un satellite geosincrono rispetto alla superficie terrestre.\nUsa il parametro gravitazionale terrestre $\displaystyle { \mu=GM_{E}=3.986004418\times10^{14}\ \text{m}^{3}\text{s}^{-2} }$, il raggio terrestre $\displaystyle { R_{E}=6.371\times10^{6}\ \text{m} }$ e il periodo sidereo terrestre $\displaystyle { T=86164\ \text{s} }$.\nApplica la relazione orbitale $\displaystyle { r=\left(\dfrac{\mu T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3} }$ poi calcola l'altitudine $\displaystyle { h=r-R_{E} }$ e fornisci $\displaystyle { h }$ in chilometri con tre cifre significative.

Un corpo orbitante ha distanza al perielio $\displaystyle { r_p=0.70\,\mathrm{AU} }$ e distanza all'afelio $\displaystyle { r_a=1.30\,\mathrm{AU} }$.

Calcola il semiasse maggiore $\displaystyle { a }$ e l'eccentricit\u00e0 $\displaystyle { e }$ dell'orbita usando le relazioni $\displaystyle { r_p=a(1-e) }$ e $\displaystyle { r_a=a(1+e) }$.

Una stella attira un pianeta la cui orbita ha semiasse maggiore $\displaystyle { a=0.100\ \text{AU} }$ e periodo orbitale $\displaystyle { T=10.0\ \text{d} }$.\nUsa $\displaystyle { G=6.67430\times10^{-11}\ \text{m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} }$, $\displaystyle { 1\ \text{AU}=1.495978707\times10^{11}\ \text{m} }$ e $\displaystyle { 1\ M_{\odot}=1.98847\times10^{30}\ \text{kg} }$.\nDetermina la massa della stella tramite $\displaystyle { M=\dfrac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}} }$ e fornisci il risultato in kilogrammi e in masse solari con tre cifre significative.

Un esopianeta ha semiasse maggiore $\displaystyle { a=0.05\,\mathrm{AU} }$ e periodo orbitale $\displaystyle { T=4.23\,\mathrm{d} }$.

Determinare la massa della stella centrale usando la forma generale della terza legge di Keplero $\displaystyle { M=\dfrac{4\pi^2a^3}{GT^2} }$ e la costante gravitazionale $\displaystyle { G=6.674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}} }$.

Esprimi la massa sia in chilogrammi sia in masse solari assumendo $\displaystyle { M_{\odot}=1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg} }$.

Calcola il periodo orbitale del pianeta dato il semiasse maggiore attorno al Sole.

Il semiasse maggiore è $\displaystyle { a=1.52\,\mathrm{AU} }$.

Si può usare la forma ridotta della terza legge di Keplero per masse planetarie trascurabili rispetto al Sole.

Un pianeta orbita attorno al Sole con semiasse maggiore $\displaystyle { a=4.50\ \mathrm{AU} }$.

Calcolare il periodo orbitale in anni usando la terza legge di Keplero nella forma per il Sistema Solare: $\displaystyle { P^2=a^3 }$ con $\displaystyle { P }$ in anni e $\displaystyle { a }$ in unità astronomiche.

Applica la terza legge di Keplero per pianeti intorno al Sole nella forma ridotta $\displaystyle { T^{2}=a^{3} }$ con $\displaystyle { T }$ in anni e $\displaystyle { a }$ in unit\`a astronomiche.\nCalcola il periodo orbitale per un pianeta il cui semiasse maggiore vale $\displaystyle { a=2.50\ \text{AU} }$.

Calcola il periodo orbitale del pianeta dato il semiasse maggiore.

La semiasse maggiore vale $\displaystyle { a=0.50\,\mathrm{AU} }$.

Assumi che la massa della stella sia $\displaystyle { M=1.00\,M_{\odot} }$ e usa la forma ridotta della terza legge di Keplero per masse stellari simili al Sole $\displaystyle { \left(\frac{P}{1\,\mathrm{yr}}\right)^2=\left(\frac{a}{1\,\mathrm{AU}}\right)^3 }$.

Trova il periodo $\displaystyle { P }$ in anni.

Due pianeti attorno allo stesso astro hanno semiasse maggiore $\displaystyle { a_1=0.72\,\mathrm{AU} }$ e $\displaystyle { a_2=1.52\,\mathrm{AU} }$.

Determina il rapporto dei loro periodi orbitalI $\displaystyle { \dfrac{T_1}{T_2} }$ e il periodo del pianeta interno sapendo che il periodo del pianeta esterno è $\displaystyle { T_2=1.87\,\mathrm{yr} }$.

Due pianeti orbitano la stessa stella con semiasse maggiore rispettivamente $\displaystyle { a_1=0.70\,\mathrm{AU} }$ e $\displaystyle { a_2=3.50\,\mathrm{AU} }$.

Usando la relazione di Keplero $\displaystyle { P\propto a^{3/2} }$ calcola i periodi $\displaystyle { P_1 }$ e $\displaystyle { P_2 }$ in anni e il rapporto $\displaystyle { P_2/P_1 }$.

Due pianeti intorno alla stessa stella hanno periodi orbitali rispettivamente $\displaystyle { P_1=8.00\ \mathrm{yr} }$ e $\displaystyle { P_2=0.50\ \mathrm{yr} }$ misurati nello stesso sistema di unità.

Determinare il rapporto tra i semiasse maggiori $\displaystyle { \frac{a_1}{a_2} }$ usando la relazione $\displaystyle { \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 }$ che deriva dalla terza legge.

Un satellite artificiale completa un'orbita intorno alla Terra in $\displaystyle { P=2.00\ \mathrm{h} }$.

Calcolare il semiasse maggiore $\displaystyle { a }$ in chilometri e l'altezza sull'orbita circolare equivalente rispetto al raggio terrestre $\displaystyle { R_\oplus=6371\ \mathrm{km} }$.

Usare la formula di Keplero generale $\displaystyle { P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} }$ con $\displaystyle { GM_\oplus=3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\ s^{-1}} }$ e cura nelle unità.

Un corpo orbita attorno a una stella con distanza al perielio $\displaystyle { r_p=0.50\,\mathrm{AU} }$ e distanza all'afelio $\displaystyle { r_a=1.50\,\mathrm{AU} }$.

Determina il semiasse maggiore e l'eccentricità dell'orbita.

Un oggetto ha distanza al perielio $\displaystyle { r_{p}=0.50\ \text{AU} }$ e distanza all'afelio $\displaystyle { r_{a}=4.50\ \text{AU} }$.\nDetermina il semiasse maggiore $\displaystyle { a }$, l'eccentricit\`a $\displaystyle { e }$ e il periodo orbitale $\displaystyle { T }$ usando la terza legge nella forma ridotta $\displaystyle { T^{2}=a^{3} }$.

Un asteroide ha distanza al perielio $\displaystyle { r_p=0.70\ \mathrm{AU} }$ e distanza all'afelio $\displaystyle { r_a=1.30\ \mathrm{AU} }$.

Determinare il semiasse maggiore $\displaystyle { a }$, l'eccentricità $\displaystyle { e }$ e il periodo $\displaystyle { P }$ in anni usando le relazioni $\displaystyle { a=\frac{r_p+r_a}{2} }$, $\displaystyle { e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p} }$ e la terza legge $\displaystyle { P^2=a^3 }$.

Calcola la velocit\`a orbitale circolare media della Terra alla distanza media dal Sole.\nUsa $\displaystyle { GM_{\odot}=1.32712440018\times10^{20}\ \text{m}^{3}\text{s}^{-2} }$ e $\displaystyle { 1\ \text{AU}=1.495978707\times10^{11}\ \text{m} }$.\nApplica la formula $\displaystyle { v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} }$ e esprimi il risultato in $\displaystyle { \text{km s}^{-1} }$ con tre cifre significative.

Un pianeta orbita attorno al Sole con semiasse maggiore $\displaystyle { a=2.00\,\mathrm{AU} }$ e perielio $\displaystyle { r_p=1.20\,\mathrm{AU} }$.

Calcola la velocit\u00e0 del pianeta al perielio usando l'equazione di vis-viva $\displaystyle { v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) }$ e considera $\displaystyle { GM_{\odot}=4\pi^2\,\mathrm{AU^3\,yr^{-2}} }$.

Esprimi la velocit\u00e0 finale in $\displaystyle { \mathrm{km\,s^{-1}} }$ ricordando che $\displaystyle { 1\,\mathrm{AU\,yr^{-1}}=4.74047\,\mathrm{km\,s^{-1}} }$.

Per un'orbita di semiasse maggiore $\displaystyle { a=1.50\,\mathrm{AU} }$ e eccentricit\u00e0 $\displaystyle { e=0.40 }$ calcola l'area areolare media, cio\u00e8 l'area totale dell'ellisse divisa per il periodo, usando $\displaystyle { A_{tot}=\pi a b }$ con $\displaystyle { b=a\sqrt{1-e^2} }$.

Usa la terza legge nella forma $\displaystyle { P^2=a^3\,\mathrm{yr^2\,AU^{-3}} }$ per trovare il periodo e fornisci la velocit\u00e0 areolare sia in $\displaystyle { \mathrm{AU^2\,yr^{-1}} }$ sia convertita in $\displaystyle { \mathrm{km^2\,s^{-1}} }$.

Per le conversioni usa $\displaystyle { 1\,\mathrm{AU}=1.496\times10^8\,\mathrm{km} }$ e $\displaystyle { 1\,\mathrm{yr}=3.15576\times10^7\,\mathrm{s} }$.

Un corpo in orbita ellittica attorno al Sole ha distanza al perielio $\displaystyle { r_p=0.80\ \mathrm{AU} }$ e distanza all'afelio $\displaystyle { r_a=5.20\ \mathrm{AU} }$.

Se la velocità tangenziale all'afelio è $\displaystyle { v_a=5.00\ \mathrm{km\ s^{-1}} }$ e il moto agli apsidi è perpendicolare al raggio, trovare la velocità al perielio $\displaystyle { v_p }$ usando la conservazione del momento angolare $\displaystyle { r_p\,v_p=r_a\,v_a }$.

Un pianeta ha semiasse maggiore $\displaystyle { a=1.00\,\mathrm{AU} }$ e eccentricità $\displaystyle { e=0.20 }$.

Calcola la velocità al perielio usando la costante gravitazionale del Sole $\displaystyle { \mu=GM_{\odot}=1.327\times10^{20}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}} }$.

Usa la legge di vis-viva $\displaystyle { v=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)} }$ e fornisci il risultato sia in $\displaystyle { \mathrm{m\,s^{-1}} }$ sia in $\displaystyle { \mathrm{km\,s^{-1}} }$.